艺考生专题讲义17 诱导公式及恒等变换

考点17诱导公式及恒等变换知识梳理一．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))三．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)四．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方变形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).精讲精练题型一诱导公式【例1】已知角的终边经过点.(1)求，；(2)求的值.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由题意可得：，由角的终边上的点的性质可得，；(2)由(1)可知，，再结合诱导公式得：，所以【方法总结】一．奇变偶不变，符号看象限的理解二．诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．三含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【举一反三】1．化简：.【答案】.【解析】.2．若角的终边上有一点，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)点到原点的距离为，根据三角函数的概念可得，解得，(舍去).(2)原式，由(1)可得，，所以原式.3．已知角的终边经过点(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意角的终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得.(2)由三角函数的诱导公式，可得.题型二恒等变化【例2】(1)等于()A． B． C． D．(2)()A． B． C． D．(3)若，则的值为()A．1 B．3 C．5 D．7【答案】(1)A(2)C(3)B【解析】(1).故选：A(2)∵，∴．故选C．(3)由，又，原式.故选：B.【举一反三】1．()A． B． C． D．【答案】C【解析】。故选：C2．=()A． B． C． D．【答案】A【解析】3．下列各式中，化简结果等于的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项A,=,不合题意,对于选项B,=,不合题意,对于选项C,，符合题意,对于选项D,=,不合题意,故选C.5．(2020·广西高三其他模拟(理))已知，，则＝______.【答案】【解析】因为，，所以，所以，则，则.6．若sin＝，则cos2x＝________.【答案】【解析】由诱导公式得sin＝－cosx＝，故cosx＝－.由二倍角公式得cos2x＝2cos2x－1＝.故答案为：．7．已知，则________；________．【答案】【解析】因为，所以；.故答案为：；.题型三角的拼凑【例3】(1)已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________.(2)已知，则的值为_________【答案】(1)－(2)【解析】(1)因为α为钝角，所以cos＝－，所以sin＝sin＝cos＝－.故答案为：．(2)由，可得，所以，所以.故答案为：.【方法总结】【方法总结】【举一反三】1．若，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.2．已知，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，故．故选：B3.已知，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】换元，可得，且，所以，.故选：D.4．若，则________．【答案】【解析】，．，．故答案为：题型四辅助角化一【例4】将函数化一，则f(x)【答案】【解析】【举一反三】将下列式子化成y=Asin(wx+φ)+B或y=Acos(wx+φ)+B的形式(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】见解析【解析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)题型五综合运用【例5】(1)若，且为第二象限角，则()A． B． C． D．(2)设，则()A． B． C．3 D．2【答案】(1)A(2)D【解析】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以．故选：A.(2∵，∴，故选：D.【举一反三】1．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.