基础知识默写课件07 立体几何与空间向量

数学基础知识

默写小纸条第七章立体几何与空间向量简单几何体12.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝_________简单几何体23.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝___锥体S表＝S侧＋S底V＝_____台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝_____________球S表＝_____V＝_____简单几何体34.求空间几何体的体积的常用方法

规则几何体的体积，直接利用公式把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积简单几何体12.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l简单几何体23.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝___锥体S表＝S侧＋S底V＝_____Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝_____________球S表＝_____V＝_____4πR2简单几何体34.求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积球的接、切问题11.正方体与球①内切球：内切球直径2R＝正方体的

.②棱切球：棱切球直径2R＝正方体的.③外接球：外接球直径2R＝正方体体的.2.长方体与球球的接、切问题2②外接球:外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝

(正棱锥外接球半径为R，高为h).3.棱锥与球球的接、切问题36.R2＝

(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).球的接、切问题11.正方体与球①内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.②棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长③外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长2.长方体与球球的接、切问题2②外接球:外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h).3.棱锥与球球的接、切问题36.R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).1.基本事实①过

的三个点，有且只有一个平面.②如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

过该点的公共直线.④平行于同一条直线的两条直线

.2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，

个平面.推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.空间点线面位置关系1空间点线面位置关系23.空间中直线与直线的位置关系共面直线

直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在

一个平面内，没有公共点.4.等角定理:若空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角

.5.异面直线所成的角的范围：

.6.异面直线所成角的求法:空间点线面位置关系11.基本事实①过

的三个点，有且只有一个平面.②如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

过该点的公共直线.④平行于同一条直线的两条直线

.不在一条直线上两个点一条平行2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.相交平行空间点线面位置关系23.空间中直线与直线的位置关系共面直线

直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在

一个平面内，没有公共点.相交平行任何4.等角定理:若空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角

.5.异面直线所成的角的范围：

.相等或互补6.异面直线所成角的求法:平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，

形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解空间直线、平面平行1线面//

文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与

的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

⇒a∥α______________性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面

,那么该直线与交线平行

⇒a∥b____________________空间直线、平面平行2

面面//文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条

与另一个平面平行，那么这两个平面平行___________________________⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面

，那么两条

平行

⇒a∥b_______________________空间直线、平面平行3常用结论1.垂直于同一条直线的两个平面

，即若a⊥α，a⊥β，则

.2.平行于同一个平面的两个平面

，即若α∥β，β∥γ，则

.3.垂直于同一个平面的两条直线

，即若a⊥α，b⊥α，则

.4.若α∥β，a⊂α，则

.空间直线、平面平行1线面//

文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与

的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

⇒a∥α______________a⊄αb⊂αa∥b此平面内性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面

,那么该直线与交线平行

⇒a∥b____________________a∥αa⊂βα∩β＝b相交空间直线、平面平行2

面面//文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条

与另一个平面平行，那么这两个平面平行___________________________a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α相交直线性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面

，那么两条

平行

⇒a∥b_______________________α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b相交交线空间直线、平面平行3常用结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4.若α∥β，a⊂α，则a∥β.空间直线、平面垂直1

线面⊥文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的

垂直，那么该直线与此平面垂直

_____________________________⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b__________空间直线、平面垂直2面面⊥

文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的

，那么这两个平面垂直⇒α⊥β__________性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的

，那么这条直线与另一个平面垂直

______________________⇒l⊥α空间直线、平面垂直33.二面角(1)定义：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作

的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：

.空间直线、平面垂直4

*常用结论1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影

，那么它也和这条斜线

.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影

.3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线

于第三个平面.空间直线、平面垂直1

线面⊥文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的

垂直，那么该直线与此平面垂直

_____________________________m⊂αn⊂αm∩n＝Pl⊥ml⊥n⇒l⊥α两条相交直线性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b__________a⊥αb⊥α空间直线、平面垂直2面面⊥

文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的

，那么这两个平面垂直⇒α⊥β__________a⊂αa⊥β垂线性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的

，那么这条直线与另一个平面垂直

______________________α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α交线空间直线、平面垂直33.二面角(1)定义：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作

的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：

.两个半平面垂直于棱l[0，π]空间直线、平面垂直4

*常用结论1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.线面//与⊥线线//线面//面面//线线⊥线面⊥面面⊥

定理

定理

定理

定理

定理

定理

定理

定理

性质

定理

定理线、面//与⊥线线//线面//面面//线线⊥线面⊥面面⊥

线面垂直的性质定理

线面垂直的判定定理

线面垂直的性质定理

面面垂直性质定理

面面垂直判断

定理面面平行判定定理面面平行性质定理

面面平行判定定理

面面平行性质

线面平行性质

定理

线面平行判定

定理空间向量11.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p＝

.{a,b,c}叫做空间的一个基底.2.空间位置关系的向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔

(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔.直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔.l⊥αn∥m⇔n＝

(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝

(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔.空间向量2空间向量11.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p＝

.{a,b,c}叫做空间的一个基底.xa＋yb＋zc2.空间位置关系的向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0空间向量2空间向量求夹角1.若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝

.2.直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ＝|cos<u，n>|