初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题12全等三角形模型之手拉手和角平分线模型含答案及解析

专题12全等三角形模型之手拉手和角平分线模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、手拉手模型 3类型二、角平分线模型 8压轴能力测评 12模型五：手拉手模型【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）模型六：角平分线模型【模型1】：如图一，角平分线+对称型CCＣOBＢAAAＮＭ图一利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形对应角相等ＣＯＢ【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．如图二【几何语言】：∵OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型如图三【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。【模型4】角平分线+平行线型如图四【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。类型一、手拉手模型【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）例．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【变式训练1】．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（

）A． B． C．4 D．【变式训练2】．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①

②连接，则平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【变式训练3】．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【变式训练4】．【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．【变式训练5】．如图，在和中，，，若，连接、BD交于点；(1)求证：．(2)求的度数．(3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值．【变式训练6】．如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

(1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【变式训练7】．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【变式训练8】．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．类型二、角平分线模型【模型1】：如图一，角平分线+对称型【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型【模型4】角平分线+平行线型例．如图，已知平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练1】．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（）A． B． C． D．4【变式训练2】．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【变式训练3】．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式训练4】．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．【变式训练5】．阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

【变式训练6】．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．【变式训练7】．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【变式训练8】．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．1．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是．2．如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：（1）；（2）为等边三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正确的有（

）3．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．（1）当F在AC边上时，AF长为；（2）连结BF，则BF的取值范围为．4．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

5．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有．

6．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是．7．在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．8．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．9．已知：ΔABC中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．10．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

专题12全等三角形模型之手拉手和角平分线模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、手拉手模型 3类型二、角平分线模型 20压轴能力测评 34模型五：手拉手模型【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）模型六：角平分线模型【模型1】：如图一，角平分线+对称型CCＣOBＢAAAＮＭ图一利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形对应角相等ＣＯＢ【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．如图二【几何语言】：∵OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型如图三【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。【模型4】角平分线+平行线型如图四【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。类型一、手拉手模型【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）例．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB与△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．【变式训练1】．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵和均为等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键．【变式训练2】．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①

②连接，则平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明①；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明④．【详解】解：①∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正确；②如图所示，作于点，于点，则，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正确；③如图所示，作于点，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正确；④如图所示，在上取点，使得，∵，平分，∴，，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．【变式训练3】．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．证明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝•PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，从而得到≤PQ≤，那么≤•PQ2≤,即可得出答案．【详解】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝•PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤•PQ2≤，∴△PQR的面积不可能是8，故答案为：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式训练4】．【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；（3）度，，理由见解析．【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质等知识．（1）由等边三角形的性质可求解；（2）①由“SAS”可证，可得；②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，∴，，∴，故答案为：；（2）如图2中，

∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，设交于点．∵，∴，∴，故答案为：；（3）结论：，．理由：∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．【变式训练5】．如图，在和中，，，若，连接、BD交于点；(1)求证：．(2)求的度数．(3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值．【答案】(1)见解析(2)60°(3)或【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；（1）根据题意得出，即可证明；（2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴又∵，，∴（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴∵∴∴；（3）解：如图所示，当在线段上时，∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形∴，又∵，，∴∴∴∵∴如图所示，当在的延长线上时，同理可得，∴∴∵∴综上所述，或【变式训练6】．如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

(1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】(1)，；(2)为等腰直角三角形，理由见解析；(3)．【分析】（）根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，利用平行线的性质可证得；（）先通过证明，得，，再由()同理可证；（）由三角形三边关系可知：，由()知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．【详解】（1）解：∵，，∴，∵点分别为的中点，∴，，，，∴，，，∴，∵∠，∴，故答案为：，；（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：由旋转可知：，又∴，，∴，∴，，∵点分别为的中点，∴，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形；（3）解：由三角形三边关系可知：，即，∴的最大值为，由()知，是等腰直角三角形，，∴时，最大，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．【变式训练7】．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；（2）由“”可证，得，可求的度数；（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如图4，当点D在的延长线上时，，

证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．综上，或．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．【变式训练8】．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．类型二、角平分线模型【模型1】：如图一，角平分线+对称型【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型【模型4】角平分线+平行线型例．如图，已知平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长到点，使，连接，再得出，证明，即可作答．【详解】解：延长到点，使，连接，∵则，，，，∵，∴∵平分∴，∵，∴故答案为：D．【变式训练1】．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【详解】解：如图，在上截取，连接，平分，平分，，，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，周长为20，，，，．故选：B．【变式训练2】．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确．【详解】解：为的角平分线，，在和中，，，①正确；，，，，，，②正确，，，，，，，③正确；过作，交的延长线于点，

，

平分，，在和中，，，，在和中，，，，，④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练3】．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．【变式训练4】．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)结论仍成立，理由见解析【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键．（1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）同（1）可证明．【详解】（1）解：过作于，于，∵是的平分线，∴，，∵，，∴，∴．（2）画出图形，结论仍成立，理由如下：过作于，于，∵是的平分线，∴，，∵，，∴，∴，∴．【变式训练5】．阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；任务二：……，，；应用：延长、交于点，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练6】．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．【答案】证明过程见详解【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证．【详解】解：如图所示，过点作的延长线于，∵平分，，∴，为公共边，∴，∴，∵，∵，∴，∴在，中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明．【变式训练7】．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式训练8】．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．1．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：，，即，在和中，，，，，，，，，，，，故答案为：6．2．如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：（1）；（2）为等边三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正确的有（

）【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】证明，由全等三角形的性质得出，证得，由全等三角形的性质得出，再由，判定为等边三角形，进而得到，根据平行线的判定得出，连接，过点C作于点P，作于点Q，根据三角形面积公式和角平线定理可证（3），再证，可判断（5），即可解答．【详解】解：和均是等边三角形，，，，点A，C，B在同一条直线上，，，在和中，，，，在和中，，，，又，为等边三角形，，，，故（2）（4）正确，如图，连接，过点C作于点P，作于点Q，，，，，，，，平分，故（3）正确，在和中，，，，不一定等于，不一定平分，故（5）不正确，所以，正确的有（1）（2）（3）（4），故答案为：（1）（2）（3）（4）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平线定理，平行线的判定，属于综合压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．3．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．（1）当F在AC边上时，AF长为；（2）连结BF，则BF的取值范围为．【答案】【分析】（1）当F在AC边上时，由直角三角形的性质可得AF的长度．（2）连接BF之后，根据题意与手拉手模型作出图形讨论出BF在什么时候最短，什么时候最长即可得出BF的范围，详见解析．【详解】解：（1）如图所示：当F在AC边上时，,EFD是等边三角形，在RtADF中，（2）如图所示：在AB上方作等边ADG，作射线GF．与均为等边三角形AD=GD，ED=FD，即点F在射线GF上运动．当E与A重合时，F与G重合时，此时BF最长．连接BG，作GHAO于H，则又当BFGF时，BF最短，如图所示：又而综上所述：BF的范围是【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形，重点考查了手拉手模型这一知识点，是历年来中考常考的一种几何压轴题型之一．4．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

【答案】6【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．5．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有．

【答案】①②③④【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：∵、分别是与的角平分线，，∴，∴，①正确；过点P作，

∵、分别是与的角平分线，∴，∴，∴是的平分线，②正确；∴，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，③正确；在与中，，∴，同理，，∴，两式相加得，，∵，∴，④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．6．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是．【答案】5【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D作，，交延长线于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．7．在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．【答案】（1）△ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出，从而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出，得到，进一步推出，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，由非负性可知，，解得：，∴，，，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴；（3）由（2）可知CB=CA，∵∠CBA=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，∴，∴，∵，∴，即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，∵要使得OE最短，∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．8．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β【分析】、（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，则可得出结论；（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案为：80．（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，