内蒙古赤峰市高三4月模拟数学（理）试题

赤峰市高三4·20模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（）A．2B．2C．1D．03．已知且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设满足约束条件，则的最小值为（）A．6B．C．D．15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解，下图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A．23B．47C．24D．486．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某直三棱柱被一平面所截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．8C．9D．127．在平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（）A．B．C．D．8．“一支参加科技创新竞赛的师生的队伍中，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些师生中：①学生不少于老师；②男老师多于女学生；③女学生多于男学生；④至少有一位女教师.”，由此推测这位说话人是（）A．男学生B．女学生C．男老师D．女老师9．已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在的直线方程为（）A．B．C．D．10．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，当取得最小值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．在锐角中，内角的对边分别为，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．的展开式中含项的系数为．14．两人进行一局围棋比赛，获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示获胜；8,9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751，据此估计获胜的概率为．15．三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．16．在平行四边形中，边的长分别为2,1，，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列是各项都为正数的等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.18．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了300人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5070120女性60120180合计110190300（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取6人，再从这6人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人偶尔或不用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取5人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.20．经过点且中心在坐标原点，焦点在轴上椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，在轴上是否存在一点，记和的面积分别为，使得.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数.（1）求函数的极值；（2）设，为自然对数的底数，当时，若，不等式成立，求的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.23．选修45：不等式选讲已知，且（1）求证：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.赤峰市高三4·20模拟考试试题理科数学参考答案一、选择题15:CBCDA610:CBABD11、12：AD二、填空题13．1214．15．16．三、解答题17．解：（1）设公比为，由题意，即且，所以有，又因为，所以，所以.又因为①所以②①②得，即（2）由（1）得，所以所以①所以②①②得所以18．解：（1）由列联表中的数据得的观测值所以能在犯错误概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关（2）①依据题意可知所抽取的6名女网民中经常使用网络外卖的有人偶尔使用或者不使用网络外卖的有人则“选出3人中至少有2人偶尔或者不使用网络外卖”事件记为，则②由列联表可知：抽到经常使用网络外卖网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民概率为，由题意得，所以，.19．解：（1）证明：取的中点，连接，∵是的中点，∴.∵是三棱柱，∴，∴，∴平面∵是的中点，∴，∴平面又，∴平面平面，且平面，∴平面.（2）解：过点作，垂足为，连接，∵侧面底面，∴平面，∴，.∵，，∴，.∴，∴，∴平面.∵是的中点，∴，∴平面.又，∴平面平面，∴平面.（2）作与，因为平面底面，所以平面，所以由20．解：（1）设椭圆方程为，由已知得几何关系得到代入到椭圆方程中得到∴椭圆的方程为.（2）直线的方程，代入椭圆方程，得.由，设点，则，设的中点为，则点的坐标为.∵，∴点在线段的中垂线上，，化简，得，，所以，存在直线满足题意，直线的方程为或.21．解：（1）由已知得，（ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；（ⅱ）当时，由，得；由，得；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）恒成立即恒成立∵即恒成立即恒成立∵当时，命题等价于恒成立，此时当时，恒成立令，所以在为增函数∴（2）当时，由第一问可知，，不等式成立等价于当时，恒成立，即因为时，，所以对恒成立.即令，则，令，求导可知函数为增函数，因为所以，所以存在唯一的零点，使得，即当时，单调递减，时，单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值.因为又，且，所以的最大值为2.22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），所以的直角