2020-2024年高考数学试题分类汇编：直线和圆的方程（解析版）

专题11直线和通的方程（/兼8小考点帮灌拣+精通谖枢拣）

5年考情•探规律

5年考情

考题示例考点分析

2024年春考2、11题直线的倾斜角、圆的标准方程

2023年秋考7题圆的一般方程

2023年春考4题圆的一般方程

2022春考16题直线与圆的位置关系

2022春考7题方程组解的个数与两直线的位置关系

2021年秋考3题圆的一般方程

2021年春考5题两直线的夹角与到角问题

双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的

2020年秋考20题

联立，以及向量的数量积的几何意义

2020年春考7题

两条平行直线间的距离

5年真题•分点精准练

-.直线的倾斜角（共1小题）

1.（2024•上海）直线尤-y+1=0的倾斜角大小为_45。_.

K祥解》求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小.

【解答】解：由直线x-y+l=0变形得：y=x+l,

设直线的倾斜角为c,即tana=l,

因为ae[0,180°）,

所以（z=45°.

故答案为：45°.

【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系

是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题.

二.方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题）

2.（2022•上海）若关于x,y的方程组尸十”?：2有无穷多解，则实数加的值为4.

[jwc+16y=8

K祥解】根据题意，分析可得直线x+my=2和M+16y=8平行，由此求出机的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，若关于x,y的方程组「+”?=2有无穷多解，

贝U直线x+my=2和“zr+16y=8重合，则有1X16=WIX7〃，即加=16,解可得相=±4,

当加=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当m=Y时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故〃2=4.

故答案为：4

【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

三.两条平行直线间的距离（共1小题）

3.（2020•上海）已知直线/1:x+ay=1,12:ax+y=1,若IJ/1?,贝U/1与"的距离为_夜_•

（祥解1由4/4求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可.

【解答】解：直线Z,:x+ay=1,l2:ax+y=l,

当4//，时，a，—1=0,解得a=±1；

当a=1时4与4重合，不满足题意；

当a=-i时4///?,此时4：尤一y-i=o,6：尤-y+i=o；

贝!J4与的距离为d=J11L=>/2.

故答案为：A/2.

【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题.

四.两直线的夹角与到角问题（共1小题）

4.（2021•上海）直线x=-2与直线瓜-y+l=0的夹角为-.

一6一

（祥解》先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【解答】解：•.•直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为工，

2

直线百x-y+l=0的斜率为6,倾斜角为生，

3

故直线x=-2与直线氐7+1=0的夹角为工-工=巴

236

故答案为：

6

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题.

五.圆的标准方程（共1小题）

5.（2024•上海）正方形草地ABCD边长1.2,E到至，4）距离为0.2,歹到BC,CD距离为0.4,有个

圆形通道经过E,F,且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长2.73.（精确到0.01）

K祥解X先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论.

【解答】解：以A为原点，线段4?所在直线为x轴，4）所在直线为y轴，建立直角坐标系,

易知£（0.2,0.2）,寿（0.8,0。）.

不妨设EF中点为M（0.5,0.5）直线EF中垂线所在直线方程为y-0.5=-（x-0.5）,

化简得y=-x+l.

所以可设圆心为（a,-a+l）,半径为。，且经过E,F点,

即（a-0.2）2+（-a+1-0.2）2=a2,

化简得片—2Q+0.68:0,求得二］;］土逑.

210

4应

结合题意可得，a=1-士=0.434.

10

故有圆的周长C=2万4=2.725工2.73.

【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题.

六.圆的一般方程（共3小题）

6.（2023•上海）已知圆Y+;/-4尤-机=0的面积为万，贝！=_-3_.

（祥解》先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可.

【解答】解：圆V+;/-4x-根=0化为标准方程为：（x-2>+V=4+机，

•.•圆的面积为万，.•.圆的半径为1,

4+777=1,

m=—3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题.

7.（2023•上海）已知圆C的一般方程为f+2尤+丁=0,则圆C的半径为1.

（祥解》把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径.

【解答】解：根据圆C的一般方程为V+2尤+y2=o,可得圆C的标准方程为（x+Ip+/=1,

故圆C的圆心为（-1,0）,半径为1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题.

8.（2021•上海）^x2+y2-2x-4y=0,求圆心坐标为_（1,2）_.

K祥解》将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可.

【解答】解：由d+y2_2x_4y=0,可得圆的标准方程为（x-ir+（y-2）2=5,

所以圆心坐标为（1,2）.

故答案为：（1,2）.

【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题.

七.其他形式的圆和圆弧的方程（共1小题）

22

9.（2020•上海）已知双曲线六=1与圆r2：9+丁=4+/（6>0）交于点4（4，yA）（第一象限），

曲线「为口、「2上取满足IX|>XA的部分.

（1）若无A="，求6的值；

（2）当6=百，「2与X轴交点记作点耳、瑞，P是曲线「上一点，且在第一象限，且I尸£1=8,求/大尸鸟；

（3）过点。（0,7+2）斜率为-1的直线/与曲线「只有两个交点，记为Af、N,用b表示次7-ON,并求

府•两的取值范围.

k祥解》（1）联立曲线和与曲线口的方程，以及乙=病，解方程可得6；

（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；

2

（3）设直线/：>=-9b%+”4+2/7,求得O到直线/的距离，判断直线/与圆的关系：相切，可设切点为

22

考虑双曲线的渐近线方程，只有当力>2时，直线/才能与曲线r有两个交点，解不等式可得6的范围，由

向量投影的定义求得如•两，进而得到所求范围.

£_瓦=1

【解答】解：⑴由点A为曲线口与曲线口的交点，联立丁庐一，解得以=后，6=2；

x：+y：=4+b2

（2）由题意可得月，月为曲线口的两个焦点，

由双曲线的定义可得|「片|-|「乙|=2°,又|尸耳|=8,2。=4,

所以|即|=8-4=4,因为6=石，则c=V?Z?=3,

所以比玛|=6,

在△「月心中，由余弦定理可得cos/F』F2=।

64+16-3611

2x8x4~]6'

由0vZFXPF2<冗，可得ZFrPF2=arccos—；

[4+,

卜21

(3)设直线/:y=-4x+竺4+2A,可得原点o到直线I的距离d=।——o——=,/-4----+---至----,

22E

所以直线/是圆的切线，设切点为

A

所以如，9，并设OM：y，7x与圆/+);2=4+/联立，可得尤2+=炉=4+廿，

bbb"

可得x=6,y=2,即M(6,2),

注意直线/与双曲线的斜率为负的渐近线平行，

所以只有当%>2时，直线/才能与曲线「有两个交点，

岂-4=1/

由462T,可得月=—7，

必2+%2=4A+〃11

7,4

所以有4<上=，解得。2>2+26或匕2<2—2石(舍去)，

4+b~

因为两为两在两■上的投影可得，OM-ON=4+b2,

所以丽・西=4+〃>6+2百，

贝I]丽•西€(6+2括，+oo).

【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向

量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题.

八.直线与圆的位置关系(共1小题)

10.(2022•上海)设集合。={(无，y)\(x-k)2+(y-k2)2=4\k\,k&Z}

①存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合O中存在无数点在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

(祥解》分发=0,k>0,k<0,求出动点的轨迹，即可判定.

【解答】解：当左=0时，集合。={(x,y)l(x-k)2+(y-k2)2=4lkl，左eZ}={(0,0)},

当左>0时,集合C={(x,y)l(x-k)2+(y-k2)2=4lkl，keZ),

表示圆心为(匕左2),半径为「=2，仄的圆，

圆的圆心在直线>=/上，半径r=/(幻=2〃单调递增，

相邻两个圆的圆心距(i=J(k+l-k)2+[(k+l)2-k2]2=y/4k2+4k+2,相邻两个圆的半径之和为

l=24k+2yfk+l,

因为d>/有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离,

当左<0时，同左>0的情况，故存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧，故①正确,

若直线/斜率不存在，显然不成立,

设直线/：>=如+〃,若考虑直线/与圆（l-左）2+（>_左2）2=4|%］的焦点个数,

yjm*12+1

给定m,n,当上足够大时，均有d>r,

故直线/只与有限个圆相交，②错误.

故选：B.

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

1年模拟•精选模考题

一.选择题（共9小题）

1.（2024春•长宁区期末）圆丁+丁-8%+6>+16=0与圆芦+丁=64的位置关系是（）

A.相交B.内切C.相离D.外切

K祥解》把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径厂，再由第二个圆的方程找出圆心3

的坐标和半径尺，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离〃，发现d=R-r，从而判断出两圆位置

关系是内切

【解答】解：把圆Y+；/-8x+6y+16=0化为标准方程得：（x-4）2+（y+3）2=9,

圆心A的坐标为（4,-3）,半径r=3,

由圆/+丁=64,得到圆心3坐标为（0,0）,半径尺=8,

两圆心间的距禺d=|AB|=5,

•.-8-3=5,^d=R-r,

则两圆的位置关系是内切.

故选：B.

【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的

判断方法为：当0”d<R-r时，两圆内含；当4=尺一r时，两圆内切；当R—r<d<R+r时，两圆相交；

当〃=尺+厂时，两圆外切；当时，两圆相离（d表示两圆心间的距离，R及r分别表示两圆的半

径）.

2.（2024•浦东新区二模）“a=-1”是“直线依+2y+2=0与直线x+（。一l）y+l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K祥解X由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解.

【解答］解：若。=一1,贝!I两条直线分另!］为x-2y-2=0,x-2y+l=0,

显然两条直线相互平行，充分性成立；

若直线or+2y+2=0与直线x+（a-l）y+1=0平行，

贝!|a（a-l）-2=0,且a-2x0,

所以。=-1,必要性成立.

故选：C.

【点评】本题考查直线平行的应用，属于基础题.

3.（2024春•虹口区期末）已知两条直线4:2元+y-1=0和4：2x+y-3=0,以下说法正确的是（）

A.7,//Z2B.4与4重合

C./,±Z2D.4与4的夹角为60。

K祥解》根据题意，将两条直线都化成斜截式，然后比较它们的斜率与截距，可得正确结论.

【解答】解：直线4:2x+y-l=0,即y=-2x+l；直线/2：2x+y-3=0,即y=-2x+3.

因为直线4与直线4的斜率相等，且它们在y轴上的截距不相等，

所以/"〃2，A项的结论正确.

故选：A.

【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题.

4.（2024•杨浦区校级三模）已知awR,直线li:x+ay-2=0,/2:（a+1）%-ay+1=0,贝a=-2"是"</4”

的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

K祥解》根据两条直线平行与方程的关系，对两个条件进行正反推理论证，结合充要条件的定义判断出正

确结论.

【解答】解：当a=—2时，直线4:尤-2y-2=0,直线（：-x+2y+l=0,

两条直线的斜率都等于g,且在y轴上的截距不相等，所以卜氏；

当/1/〃2时，可得lx（-a）=a（a+l）,且1x1片-2（a+l）,解得a=—2或0.

综上所述，“。=-2”是“《/4”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查了两条直线平行与方程的关系、充要条件的定义与判断等知识，属于基础题.

5.（2024春•嘉定区期末）直线4：x-l=0与直线也>+2=0的夹角为（）

（祥解』先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角.

【解答】解：因为直线4的斜率不存在，故倾斜角为90。，

直线的斜率为心，倾斜角为30。，

3

故两直线的夹角为二.

3

故选：B.

【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，由两条直线的倾斜角求出两条直线的夹角，是基础题.

6.（2024•普陀区校级三模）已知圆C:f+（y—7〃）2=1,直线/：O+l）x+2y+l+M=0,则直线/与圆C有

公共点的必要不充分条件是（）

A.一啜帆1B.-啜弧-C.一啜加0D.喷瓦-

22

K祥解》先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出，〃的取值范围，即直线与圆有公共

点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件.

【解答】解：由题意可知圆C的圆心坐标为（0,〃z）,半径为1.

因为直线/与圆C有公共点，所以直线/与圆C相切或相交，

所以圆心C（0,m）到直线I的距离d=I3，"+"1,解得一啜b1.

J（相+1）2+42

其必要不充分条件是把机的取值范围扩大，

所以选项中只有-掇弧1是-啜弧工的必要不充分条件.

2

故选：A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题.

7.（2024•普陀区模拟）直线/经过定点尸（2,1）,且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A,3两点，O为

坐标原点，动圆”在公。钻的外部，且与直线/及两坐标轴的正半轴均相切，则AOIB周长的最小值是（

）

A.3B.5C.10D.12

K祥解X先设动圆M的圆心Af坐标为（〃?,%）,|OA|=a,|。3|=8,结合直线与圆相切的性质可得

\OA\+\OB\+\AB\^2m,当圆加与直线AB相切于点尸（2,1）处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即

可求解.

【解答】解：设动圆Af的圆心M坐标为（私闻，

即圆Af半径？•=，〃，由题意7〃>0,

设|OA|=a,|O8|=6,圆M与直线AB相切于点N,贝U|4V|=m-a,|8N|=机一6,

所以|OA|+|O3|+|AB|=|Ql|+|O3|+|4V|+|3N|=a+6+m-a+〃7-6=2〃2,即ACMB的周长为2〃z,

所以AQAB的周长最小即为圆M半径机最小，因为直线AB过定点P（2,l）,

所以当圆M与直线AB相切于点尸（2,1）处时，圆M半径最小，

此时r=d（m-2¥+（zn-l）2=m,化简得加？一6m+5=0,

则m=1或5,

当m=1时，圆心在Aas内，不合题意；

当根=5时，即圆M半径的最小值为5,AOIB周长的最小值为2m=10.

故选：C.

【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，直线方程的应用，属于中档题.

8.（2024•黄浦区校级三模）直线（标+1加一2殴+1=0的倾斜角的取值范围是（）

A.［。，事B•+口中争D.［0,乳牛］）

（祥解】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论.

【解答】解：①当。=0时，斜率不存在，即倾斜角为三;

②当3°时’直线的斜率^嚓

即直线的倾斜角的取值范围为［?,.

4+1a+~

③当a<0时，直线的斜率％=_a__V----------^-=--2=-1,

2a222

即直线的倾斜角的取值范围为（工，弘］.

24

综上，直线的倾斜角的取值范围为隹,当］,

44

故选：C.

【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的

关键.

9.（2024春•黄浦区校级期末）若直线，=依-1与曲线y=J-/+直-3恰有两个公共点,则实数左的取值

范围是（）

A.g,+8)B.[1,^)C.[1,^]D.(og)

K祥解》根据题意得：y=履-1为恒过定点(0,-1)的直线，曲线表示圆心为(2,0),半径为1的上半圆，由

此利用数形结合思想能求出k的取值范围.

【解答】解：根据题意得：丫=依-1为恒过定点A(0,T)的直线，

由曲线y=\/-x2+4x-3，可得(％-2)2+)/=l(y..O),

4

解得：左=0(舍去)或左=—,

3

把3(1,0)代入,二点一1,得k=l,

.•求的取值范围是口，1).

故选：B.

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、直线与圆相切等基

础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属

中档题.

二.填空题(共34小题)

10.(2024•嘉定区校级模拟)已知直线/与两直线4：2x-y+3=O和4：2x-y-l=0平行且距离相等，贝U/的

方程为_2x-y+l=0_.

K祥解力设直线/：2%-y+根=0,-l<m<3,利用两平行线间的距离公式，求得加的值.

【解答】解：根据直线/与两直线4：2x-y+3=0和y-1=0平行且距离相等，可设直线

l:2x-y+m=0,-1<m<3,

|m-31|m+11

:.m=l9

故答案为：2x-y+l=0.

【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x,y的系数化为相同的，

然后才能用两平行线间的距离公式.

11.（2024•青浦区二模）已知直线4的倾斜角比直线4：y=xtan80。的倾斜角小20。，则4的斜率为—拒

（祥解》由直线1的方程，可得它的倾斜角，由题意可得直线乙的倾斜角的大小，进而求出直线4的斜率.

【解答】解：直线/2：了=》曲80。的倾斜角为80。，

由题意可得直线4的倾斜角为80。-20。=60。，

所以直线<的斜率为tan60。=6.

故答案为：A/3.

【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题.

12.（2024•黄浦区校级三模）直线ar+（a-l）y+l=0与直线4x+冲-2=0互相平行，则实数U=2

（祥解》根据两直线平行的条件列出方程求得。的值.

【解答】解：直线方+（a-l）y+l=0与直线4x+ay-2=0互相平行，

贝！Ia2-4（a-l）=0,

解得a=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题.

13.（2024春•杨浦区期末）平行直线3x+4y-5=0及3x+4y+5=0之间的距离是

（祥解》根据两平行直线间的距离公式d=尸一,求解即可.

VA2+B2

【解答】解：平行直线3x+4y—5=0及3尤+4y+5=0之间的距离是d=乒乌=2.

V32+42

故答案为：2.

【点评】本题考查了两平行线间的距离计算问题，是基础题.

14.（2024春•杨浦区期末）已知圆C的方程为/+/-2尤+4y=0,则圆心C的坐标为_（1,-2）_.

（祥解力把圆的方程化为标准方程，即可求解圆心的坐标.

【解答】解：因为圆C的方程为V+_/-2x+4y=0可化为（x-l）2+（y+2）2=5,

则圆心C的坐标为（1,-2）.

故答案为：（1,-2）.

【点评】本题主要考查了圆心坐标的求解，属于基础题.

22

15.（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C:/+y3=i的

性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是

211

K祥解X先设曲线C上的动点为(x,y),则/=V+y2,再令公/，4/2=3(f--)2+-,计算可得d的范

'24

围.

【解答】解：由题意知x,ye[-l,1]

设曲线C上的动点为(尤,y),到原点的距离为

242

贝I][2=Y+/=无2+(]一无3)3=-3x3+1,

111

令，=兀3,则1£[0,1],则/=3/-3/+1=3«——)2+-,

24

可得/所以dw[Ll].

42

故答案为：[±1].

2

【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题.

16.(2024•嘉定区校级模拟)若2=(2,-4)是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为

万一arctan2_.

(祥解』先求出直线/的斜率上=心=-2,由此能求出直线/的倾斜角大小.

2

【解答】解：:2=(2,-4)是直线/的一个方向向量，

_4

直线/的斜率k=—=—2，

2

直线/的倾斜角大小为万-arctan2.

故答案为：万-arctan2.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的方向向量、斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

17.(2024•黄浦区校级三模)已知直线/的倾斜角为夕，且直线/与直线机:工-也丁+广。垂直，贝Ua=

三一.

K祥解》根据题意，求得直线加的斜率，结合直线/、加互相垂直算出/的斜率，进而求出倾斜角。的大

小.

【解答】解：直线加：X—6y+l=。即y=^x+等，斜率左=弓，

因为直线/、机互相垂直，所以直线/的斜率勺=二1=一百，

直线/的倾斜角为口，则tana=—6\结合aw[O,»），可知a=」.

3

故答案为：—.

3

【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题.

18.（2024春•徐汇区校级期末）已知直线2x-y+l=0与直线元+冲+2=0垂直，则m=2.

K祥解X根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果.

【解答】解：当机=0时，x+my+2=0=>x=-2,

由2%-y+l=0知y=2%+l,斜率为2,

所以直线2%-y+l=0与X=-2不垂直，不符合题意；

/12

当相w0时，x+Any+2=0=>y=x,

mm

因为直线2x-y+1=0与直线x+my+2=0垂直，

所以一[x2=-l,解得相=2.

m

故答案为：2.

【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题.

19.（2024春•虹口区期末）设实数。和6均是集合｛1,2,3,5｝中的两个不同的元素，则方程6+外=0所

表示的不同直线的条数为12.

（祥解1由于集合｛1,2,3,5｝中的元素不能选出成比例的两对，所以任取实数。、6,得到的直线改+加=0

都不与其它直线重合，由此利用计数原理算出答案.

【解答】解：从集合｛1,2,3,5｝中取出两个数作为a、b,得到方程依+勿=0,共有4x3=12种方法,

因为这12个方程对应的直线中任意两条直线都不重合，所以方程方+加=0所表示的不同直线有12条.

故答案为：12.

【点评】本题主要考查直线的方程、计数原理的应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础

题.

20.（2024春•长宁区期末）直线6x-y+l=0与直线y=0的夹角大小为-.

―3-

K祥解』由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可求解.

【解答】解：因为直线后-y+i=o的斜率为4=百，则其倾斜角为工，

3

所以直线百x-y+1=0与直线y=0的夹角大小为二.

3

故答案为：

3

【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，属于基础题.

21.（2024春•徐汇区校级期末）设点P是曲线f=4y上一点，则点尸到直线/:3x+4y+6=0最小的距离

为--

一4一

K祥解》设尸匚），利用点到直线距离公式表示出点P到直线/距离，根据函数最值即可求解.

4

【解答】解：点尸是曲线f=4y上一点，

则可设尸。,£）,

4

15

2|（"）2+|

则点P到直线I的距离为d=⑶+'+61=2,

55

当时2，dmiinn=~4.

故答案为：

4

【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

22.（2024春•徐汇区校级期末）已知直线3x+2y—3=0与直线6x+根y+7=0互相平行，则它们之间的距

离杲

—2-

K祥解》根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.

【解答】解：由直线3尤+2,一3=。与直线6%+〃ty+7=0互相平行，得〃z=4,

7

7I不+31JT3

贝I］直线3x+2y-3=0与直线3x+2y+'=0的距离为：d=,2=—.

22

故答案为：姮.

2

【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题.

23.（2024春•宝山区期末）经过点A（3,l）,且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程为_2x+y-7=0_.

（祥解》由题可设所求直线方程为2x+y+c=0,将点A的坐标代入，求出c的值，即可得解.

【解答】解：设与直线2x+y—5=0平行的直线方程为2x+y+c=0,

将点A（3,l）代入，可得2x3+l+c=0,解得c=-7,

所以经过点A（3,l）,且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程为2x+y-7=0.

故答案为：2x+y-7=0.

【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.

24.（2024春•浦东新区校级期末）与圆丁+9一6尤-8y+21=0外切且圆心在原点的圆的标准方程为

x2+y2=9_.

(祥解》先求得已知圆的圆心和半径，再根据外切的性质可得所求圆的半径，进而得解.

【解答】解：将圆/+9-6龙-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,

则其圆心坐标为(3,4),半径为2,

设所求圆的半径为r，

则J(3_0y+(4_0)2=厂+2,解得，=3,

可得所求圆的标准方程为/+尸=9.

故答案为：x2+y2=9.

【点评】本题考查圆与圆的位置关系以及圆的方程，考查运算求解能力，属于基础题.

25.(2024•青浦区校级模拟)己知圆C:无2+/+依_2殴-5=0恒过定点A,B,则直线钻的方程为

x-2y=0_.

K祥解』根据题意将圆C方程整理，可得f+y2-5+a(x-2y)=0,利用圆系方程得出：圆C经过圆

M：/+>2=5与直线/：了一2y的交点，进而可得直线AB的方程.

【解答】解：圆C:无2+9+ax-2ay-5=0,可化为JC+y~—5+a(x-2j)=0,

由此可得：圆C是经过圆〃：尤2+；/=5与直线/：尤-2>的交点的一个圆，

因此，直线AB就是直线/:x-2y=0,即直线43的方程为x-2y=0.

故答案为：x-2y=0.

【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.

26.(2024•浦东新区二模)已知圆。|：/+>2-2巾+/-1=0(。>0),圆q:犬+/_4y_5=0,若两圆相

交,则实数。的取值范围为_(0,2百)

K祥解工由已知结合两圆位置关系的条件建立关于。的不等式，即可分别求解.

【解答】解:因为圆G:无2+;/-2依+/-l=0(a>0)可化为(x-a)2+9=1,圆心G(a,0),半径为L

圆。2：/+/一分-5=0可化为f+(y-2)2=9,圆心G(0,2),半径为3,|CGI=J/+4,

若两圆相交，贝i]3-l<|CCI<l+3,即0<“<26.

故答案为：(0,26).

【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题.

27.(2024春•徐汇区校级期末)已知两点尸(〃工,2),。(2,4)所在直线的斜率为1,则m=0.

(祥解1根据两点的斜率公式计算可得.

【解答】解：因为两点P(〃z,2),。(2,4)所在直线的斜率为1,

所以k=———=1,解得777=0.

pPQ2-m

故答案为：0.

【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题.

28.(2024春•浦东新区校级期末)直线x=l与直线x-若y+l=0的夹角大小为

K祥解》分别求出直线x=l和直线x-gy+l=0的倾斜角，由此可得它们的夹角大小.

【解答】解：直线x=l的倾斜角为工，直线x-括y+l=0的斜率为心，则其倾斜角为£,

236

所以直线x=l与直线x-Qy+l=0的夹角大小为生-工=工.

263

故答案为：

3

【点评】本题考查两直线的夹角求解，考查运算求解能力，属于基础题.

29.(2024春•宝山区期末)若无论实数机取何值，直线/:x+(〃z+l)y+l=O都经过一个定点，则该定点坐

标为_(T,0)_•

K祥解》根据题意，取两个不同的机值得到两条直线，然后解方程组得到两条直线的交点坐标，再加以验

证即可得出答案.

【解答】解：当相=-1时，直线/为x+l=O；当m=O时，直线/为x+y+l=0.

由‘「°’解得「I,即两条直线的交点为(-1,0),

[x+y+l=0[y=。

将(-1,0)代入/方程的左边,M-l+(m+l)x0+l=0,恒成立，

因此，直线/:x+(〃z+l)y+l=0经过的定点坐标为(-1,0).

故答案为：(-1,0).

【点评】本题主要考查直线的方程、含有参数的直线方程的性质等知识，属于基础题.

30.(2024春•静安区期末)圆炉+/=25在点/(_3,4)处的切线方程为_3x-4y+25=0_.

(祥解》设所求切线为人根据〃点在圆尤2+9=25上，得到OMLI,由此利用垂直的关系算出1的斜率，

进而求出切线/的方程.

【解答】解：设所求切线为7,由河(-3,4)在圆Y+y=25上，可知O暇，/,

因为的斜率左—^=一：，所以切线/的斜率左，

可得切线/的方程为y-4=a(x+3),即3元一4y+25=0.

故答案为：3x-4y+25=0.

【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程、圆的切线的性质等知识，属于基础题.

31.(2024•长宁区二模)直线2x-y-3=0与直线x-3y-5=0的夹角大小为

(祥解R根据题意，先求出两条直线的斜率，然后利用两角差的正切公式算出夹角的正切值，进而可得答

案.

【解答】解：设直线2x-y-3=0的倾斜角为a,直线x-3y-5=0的倾斜角为尸，

贝hanc=2,tan£=g,满足ae[O,万)，尸e[0,万)，

2--

因为tan(a-£)=——三=1,所以夕-£=工，即两条直线的夹角大小为二.

1+2x144

3

故答案为：--

4

【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、两角差的正切公式等知识，考查了计算能力，属于基础题.

32.(2024•嘉定区校级模拟)人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在

人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设

4(占，%)，B(X2,%),则曼哈顿距离”(4,3)=|占-%|+|%-为1，余弦距离e(A,B)=l-cos(A,B),

其中cos(A,B)=cos〈函,05)(0为坐标原点).已知点M(2,l),d(M,N)=1,则e(M,N)的最大值为

,275

1-----.

5-

K祥解』根据题意作出示意图形，可得点N在正方形ABCD的边上运动，结合题意分析＜的，丽＞的

最大值，即可求出本题的答案.

【解答】解:设N(x,y),由题意得：d(M,N)=]2-x\+\l-y\=l,即|x-2|+|y-1|=1,

而|x—2|+|y—1|=1表示的图形是正方形ABCD,其中4(2,0)、8(3,1)、C(2,2)、0(1,1).

即点N在正方形ABCD的边上运动，的'=(2,1),ON=(x,y),

可知：当cos(M,N)=cos＜两'，丽〉取到最小值时，＜而，西〉最大，相应的e(M,N)有最大值.

因此，点N有如下两种可能：

…__.___.__.42x/5

①点N为点A,则ON=(2,0),可得8$(机刈=＜；05＜。M，0N＞=——尸=、一;

②点N在线段CD上运动时，此时丽与比=(1,1)同向，取两=(1,1),则cos(M,N)=cos＜a,

33a

ON>=

A/5X7210

因为警〉华，所以e(M,N)的最大值为1-当.

c

OAX

故答案为：i-羊.

【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的

理解能力，属于中档题.

33.（2024•闵行区校级三模）用4（尸］）表示点P与曲线「上任意一点距离的最小值.已知圆a：f+y2=i

及圆C>2：（x-4）2+y2=4,设点A为圆。।上的动点，则园A.O?）的最大值为3.

（祥解》由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得.

【解答】解：由圆q：f+y2=i,得圆心q（o,o）,半径钎1,

由圆:（无一书？+;/=4,得圆心。2（4,0）,半径4=2,

因为|O|QI=4>：i+G，所以两圆外离，

因为点A为圆。।上的动点，所以d（A,Q）=|Aai-2,

所以d（AC）的最大值为IGUI+1-2=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查两圆的位置关系，涉及圆上的点与圆心的距离的最值问题，属于中档题.

34.（2024•浦东新区校级四模）直线x-y+%=0（m>0）与圆尤2+y2-2x-2y-l=0相交所得的弦长为机,

则实数九=2.

K祥解》将圆方程化成标准方程，求出圆心为C（l,l）,半径r=6,然后根据直线被圆截得的弦长为加，

由弦长公式建立关于机的方程，解之可得实数机的值.

【解答】解：圆C:尤2+丁-2x-2y-l=0,化成标准方程得（x-l/+（y-iy=3,

可知圆心为C（l,l）,半径r=石，

圆心C到直线x-y+m=O（m>0）的距离d=-—m,

2

因为直线与圆相交所得弦长为机,

所以2,产一屋二加,即2/3-4-二加，解得根=2（舍负）.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中

档题.

35.(2024春•宝山区期末)我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般

好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几

何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形

结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：-