数学优化训练：向量数量积的物理背景与定义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3平面向量的数量积2。3。1向量数量积的物理背景与定义5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.力使一个物体产生的位移为H,F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为（)A.|F||H|sinαB.｜F|｜H｜cosαC。｜F｜｜H|tanαD。|F|｜H|cotα解析:由功的物理意义.答案：B2。以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（）A。非零向量a在非零向量b上的正射影为负值B。非零向量a、b的内积为负值C.非零向量a、b的长度皆小于a—b的长度D。非零向量a、b的平方和大于a+b的平方解析：由三角形法则知a、b、a—b恰构成一个三角形，令|a｜＜｜b|＜｜a-b|,且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.答案：D3。已知｜p｜=2,|q｜=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.解析：向量p在q方向上的正射影值为|p｜sθ=2×cos120°=-1。同理,｜q｜cosθ=3×cos120°=.答案：—14.已知｜a|=10，｜b｜=12，且（3a)·（b）=-36，则a与b的夹角为____________。解析：（3a)·(b）=3｜a||b｜cos<a，b〉=3×10××12cos<a，b〉=—36,∴cos〈a，b〉=。∵cos〈a，b〉∈［0°，180°].∴cos〈a,b〉=120°。答案:120°10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列命题正确的是()A。若｜a｜=｜b｜，则a=bB.若a、b为非零向量，则|a—b｜＜｜a+b|C.若x、y满足|x+y|=｜x|+｜y|，则x·y=|x||y｜D。若x、y为非零向量,则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky解析：对于A，显然不成立；对于B，｜a—b｜＜｜a+b|｜a-b|2＜|a+b｜2（a-b)2＜(a+b)2a2+b2—2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；对于C，｜x+y｜=|x|+|y||x+y|2=（｜x|+|y|)2（x+y）2=|x|2+|y｜2+2|x|｜y｜x2+y2+2x·y=x2+y2+2｜x｜|y|x·y=|x|｜y｜，所以该命题正确;对于D,当且仅当k为正实数时才能成立.答案：C2。已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（）A。a·b=1B。a2=b2C.a∥ba=bD.a·b=0解析：单位向量是指模长为1的向量,对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a｜=，故B正确。答案：B3.在△ABC中，=a,=b,且a·b＞0，则△ABC为三角形.（）A.锐角B。直角C.钝角D。等腰直角解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角。答案：C4.若｜a|=3,|b|=4，a,b的夹角为135°，则a·b等于（）A。B.C。D。12解析：∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×（）=。答案：B5。若|a｜=2，b=—2a，则a·b=______________解析：｜b｜=2|a｜=4，且b与a反向,∴<a，b〉=180°.∴a·b=｜a||b｜cos180°=2×4×(-1)=-8。答案:-86。已知|a|=4,｜b|=5，当①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积。解：①a∥b，则a与b同向时，〈a,b〉=0°，此时a·b=｜a|｜b|cos0°=4×5=20.a与b反向时,〈a，b〉=180°，此时a·b=｜a||b｜cos180°=4×5×（—1)=-20。②a⊥b时,a·b=0。③〈a，b>=120°,则a·b=|a|｜b｜s〈a,b〉=4×5×（)=—10。30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1。对任意向量x和y，|x｜｜y｜与x·y的大小关系是（）A。|x｜|y|≤x·yB。|x||y｜＞x·yC。｜x||y｜≥x·yD。|x|｜y｜＜x·y解析：设x与y夹角为θ，则x·y=｜x|｜y|cosθ≤|x||y｜·1=｜x|｜y|.特别地，当x或y等于0时,x·y=|x｜|y｜=0；当θ=0°时，x·y=｜x||y｜.答案:C2。在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4,则·等于（）A。16B.8C解析：∵∠C=90°，AC=BC=4,故△ABC为等腰直角三角形,∴BA=，∠ABC=45°。∴·=4×cos45°=16。答案：A3。（2006高考陕西卷，9）向量、满足()·=0且，则△ABC为（）A.等边三角形B.直角三角形C。等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析：由=∠A=60°。又由()·=0,知∠A的平分线与BC垂直，所以△ABC为等边三角形.答案：A4。已知｜a｜=4，b在a方向上的正射影的数量为—8，则a·b等于（）A.16B。32C解析:∵ab=|a｜|b｜cos〈a，b〉=4×(-8）=-32。答案:D5。已知a·b=2，｜a｜=｜b|=，则下面正确的是(）A.〈a,b>=45°B。a⊥bC.a与b同向D。a与b反向解析：a·b=｜a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b>,∴cos<a,b〉=1.∴〈a，b>=0°，即a∥b，且a与b同向。答案：C6。已知|a|=8，e为单位向量,当它们之间夹角为60°时，a在e方向上的正射影为()A。—4B。4C解析：∵|a|cos60°=8×=4.答案:B7。若非零向量α，β满足|α+β|=|α—β｜，则α与β所成角的大小为_____________.解析：设=α，=β,作平行四边形ABCD，则α+β=,α—β=,∴||=｜|.∴平行四边形ABCD为矩形.∴α⊥β。答案:90°8。已知a·b=,｜a|=4，〈a，b>=135°，则｜b|=______________。解析：a·b=|a|｜b|cos〈a,b〉，∴=4×｜b|cos135°.∴|b｜=6。答案:69.若四边形ABCD满足+=0,且·=0，试判断四边形ABCD的形状。解：∵+=0，∴=,即AB∥DC且AB=DC,∵四边形ABCD为平行四边形，又∵·=0，∴⊥,即AB⊥BC。∴四边形ABCD为矩形.10。已知△ABC中，=c，=a,=b，若|c｜=m，|b