数学优化训练：三角函数的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。4三角函数的应用5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.函数y=sin|x｜的图象（)A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．不具有对称性思路解析：方法一:可用数形结合,利用描点法作出函数图象，观察图形可知关于y轴对称．关于函数图象对称性的问题,可以直接作出图象,也可以利用解析式．如若f(-x）=f（x)，则函数为偶函数，其图象关于y轴对称;f（—x）=—f（x)，则函数为奇函数，其图象关于原点对称．方法二：∵sin｜—x｜=sin｜x|，∴y=sin|x|为偶函数.故y=sin|x|的图象关于y轴对称．答案：C2。初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式（t是飞行时间)为…（)A。y=｜v0t｜B。y=｜v0｜·sinθ·tC。y=｜v0|·sinθ·t—|g｜·t2D.y=|v0｜·cosθ·t思路解析：本题是与物理相结合的题目，跨学科的题目要注意知识间的内在联系，找出问题的本质转化为数学问题．由速度的分解可知炮弹上升的速度为v0·sinθ，如下图。故炮弹上升的高度为|v0｜·sinθ·t．答案：B3。在200米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为()A．米B.米C．米D．米思路解析:实际问题转化为数学问题时要注意数形结合，利用三角函数列出相等或者不等关系．如下图，设塔高为h米,则200tan30°=(200—h)tan60°,∴h=米．答案：A10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。图1-3—8中哪一个图象准确描述了某物体沿粗糙斜面滑下时的加速度a和斜面倾斜角图1思路解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态,加速度为0．故排除选项A、B．根据受力分析，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ,∴a=g（sinθ-μcosθ）=gsin（θ—φ）(其中tanφ=μ）．故选D项.答案：D2。如图1—3—9所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为β=1°，若图1A.70mB。86mC.102mD.118m思路解析：1°=，在Rt△ACD中，AC=．在Rt△ABC中，AC=．∴=。∴BC==3××≈86．答案:B3。图1—图1-3思路解析：设函数解析式为y=Asin（ωx+φ)，则A=2，由图象可知T=2×(0.5-0.1）=，∴ω==.2×sin(×0.1+φ）=2.∴×0.1+φ=.∴φ=．∴函数的解析式为y=2sin（x+）．答案：y=2sin(x+）4。甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_______________．思路解析：如图,甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=20．∴乙楼的高度为BD=BE-DE=60-20（米)．答案：60米，（60—20）米5.一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为______．思路解析：如图，BC=20tan30°=，AB==，所以树干原来的高度为AB+BC=20（米）．答案：20米6。如图1—3-11，某人身高a=1。77米,在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75.5°,测得在黄浦江中塔尖倒影的俯角β=75.6图1-3-11思路解析：解本题的关键是在三角形中利用三角函数知识．解:设黄浦江的宽为b米，则b·tanα=h-a,b·tanβ=h+a．消去b得h=·a=·a．当α=75.5°，β=75。6°，a=1.77米时，h=490.1米．志鸿教育乐园聪明的乡下人一个城里人与一个乡下人同坐火车。城里人说：“咱们打赌吧!谁问一样东西，对方不知道，就付一块钱。”乡下说：“你们城里人比我们乡下人聪明，这样赌我要吃亏。这样吧，要是我问，你不知道，你输给我一块钱；你问，我不知道，我输给你半块钱。”城里人自恃见多识广，觉着吃不了亏，就答应了.乡下问：“什么东西三条腿在天上飞？”城里人答不上来，输了一块钱。之后，城里人向乡下问了同样的问题。“我也不知道。”乡下人老实地承认，“这半块钱给你。"30分钟训练（巩固类训练,可用于课后)1.设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t(时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19。111。914.911.98.912。1经长期观察，函数y=f(t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(）A.y=12+3sint，t∈［0，24］B.y=12+3sin(t+π)，t∈［0,24］C.y=12+3sint，t∈[0,24］D。y=12+3sin（t+)，t∈［0，24]思路解析:考查了对表、解析式、图形的直观洞察力估算能力.思维方式大跨度在迁移，体现了新课标中增强知识性的要求.最直接的解法是描点，然后判断图象是三角函数图象，确定三角函数的周期为12.特别要注意的是周期不是24。把t=0与t=3代入，容易看出最接近表示数据间对应关系的是函数图象A。答案:A2。如图1-3—12，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+图1-3（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式。解:（1）由图示，这段时间的最大温差是30-10=20℃（2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ)+b的半个周期,∴·=14-6。解得ω=.由图示，A=(30-10)=10,b=（10+30)=20,这时，y=10sin（x+φ）+20。将x=6,y=10代入上式,可取φ=。综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20(x∈［6,14).3。三角函数的叠加问题在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要的作用。在这些实际问题中，经常会涉及“波"的叠加，在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题。设y1=3sin（2t+)，y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波"，试求它们叠加后的振幅、周期、初相.解:它们叠加后的函数是y=y1+y2=3sin（2t+）+4sin2t=3cos2t+4sin2t=（cos2t+sin2t）=5sin（2t+φ）(其中tanφ=）。所以，叠加后的函数的振幅为5,周期仍为π，即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π.4。“摩天轮"中的数学问题游乐场中的“摩天轮”匀速旋转,其中心O距地面为40.5m，半径为40m。若从最低点处登上“摩天轮”,那么你与地面的距离将随时间变化,5min后到达最高点。若从你登上“摩天轮”时开始记时，请解答下列问题：（1）能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗?（2）当你登上“摩天轮”8min后,你与地面的距离是多少？（3)当你第1次距地面30.5m时，用了多少时间？（4）当你第4次距地面30。5m时,用了多少时间?（5)当你登上“摩天轮”2min时，你的朋友也在“摩天轮”最低处登上摩天轮，请求出你的朋友与地面的距离y关于时间t的函数关系式。（6）求出你和你的朋友与地面的距离差h关于时间t的函数关系式。（7）你的朋友登上“摩天轮”后多少时间，你们两人与地面距离相等？（8）你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？（9)如果规定每位游客乘坐“摩天轮”观景的时间是每次20min,从你的朋友登上“摩天轮”的时间算起，什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离?思路解析：在我们的生活中，只要我们用心去观察，就会发现许多与数学有关的问题.摩天轮在周而复始的转动中，就包含着许多数学问题，用我们所学的知识就可以去解决。解：(1）如图,O是摩天轮轮心，作ON垂直地面于N，交轮于P，ON=40。5m，OP=40m.由题意可知,t=0时，你登上摩天轮上P点，经过tmin，旋转到P1处,P1到地面的距离为P1M=y.作P1Q垂直OP于Q。因为人从最低点旋转到最高点需5min，所以摩天轮的旋转速度为rad/min，经过t时刻摩天轮旋转的角度是trad/min,即∠P1ON=trad/min.由图不难看出:y=P1M=ON—=40。5—OP1cos∠P1OQ=40。5—40cost=40.5+40sin（t—）。函数y=40sin(t—)+40.5，即为第（1）问所求函数解析式.（2)令t=8，得y=40sin（t-）+40。5≈39。3，即登上摩天轮8min后与地面的距离约为39.3m。（3）令y=30。5，得40sin（t—）=—10,即cost=0。25，得t≈2.1，即你第一次距地面30.5m时，用了约2。1min，你第二次距地面30。5m时用了约10-2×2.1=5。8(min）。(4）你第四次距地面30。5m用了10+5。8=15。8（min）.(5）你的朋友比你晚2min登上摩天轮,即沿时间轴向右平移2个单位，得出你的朋友与地面距离h关于t的函数关系式为y=40sin[（t-2）-]+40。5，即y=40sin（t—）+40。5.（6）你和你的朋友与地面的距离差为y=40sin（t—)—40sin（t-）=40×2cos（t—）·sin≈47cos（t—），即h=47sin(t—）。(7)令h=0，得sin（t-)=0。因为t≥0，故t—=π,t=6,即从开始记时起6min后,两人与地面距离相等。由于t=2时你的朋友才登上摩天轮，故你的朋友登上摩天轮4min后，两人与地面的距离相等.（8）当sin（t-）=1时，即t—=，t=3。5min时，h达到最大，最大值距离差约为47m。（9)令h〈0，即sin（t-）<0，故（2k+1）π〈t-<（2k+2）π(k∈Z）.因为两位游客乘坐摩天轮的时间是每次20min，因此从你登上摩天轮开始计时到两人都下摩天轮为止,需经过22min，即t的取值范围是0<t<22，故取k=0或1，6〈t〈11或16〈t〈22。从你的朋友登上摩天轮的时间算起，第4min到第9min，以及第14min到第20min为止，你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离.5.电流I随时间t变化的关系式是I=Asinωt,t∈［0,+∞）,设ω=10πrad/s，A=5.（1)求电流I变化的周期；(2）当t=0，，，，（单位：s）时，求电流I。思路解析:（1）周期为==．（2）把t、A值分别代入，求出I值．解：（1）T=；（2）当t=0时,I=0；当t=时，I=5sin；当t=时，I=5sin；当t=时,I=5sin；当t=时，I=5sin.6。某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的月平均气温表，如图1-3-13（气温单位：℃）.根据图中提供的数据，试用y=Asin（ωt+φ)近似地拟合出月平均温度与时间（单位:月）的函数关系，并求出其周期和振幅,以及气温达到最大值和最大值时间（答案不唯一）。图1-3-13思路解析：据图求出A、ω、φ的值，再求出温度与时间的函数关系等．答案：y=32sin（t—）.7.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化．(1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位）．思路解析:本题主要考查三角函数图象和性质，以及由图象得出解析式的能力．解:(1）种群数量关于时间变化的图象如图所示。（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ）+k，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，∴振幅A==100，即ω==,k=800．又7月1日种群数量达到最高，∴×6+φ=.∴φ=—．∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin（t-3）+800．8．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计如图1-3—14：图（1）的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l1=AB+BC;图（2)的过水断面为等腰梯形ABCD，AB