上海市奉贤区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

上海第一学期高二数学学科期末试卷.1（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空（1-6题各4分，7-12题各5分，共54分）1.椭圆的短轴长为______.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的标准方程即可求解.【解析】由，可得，所以，所以椭圆的短轴长为.故答案为：.2.抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程.【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线的准线方程为.故答案为：.3.双曲线的渐近线方程为_________.【答案】【解析】【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解.【解析】由题意可知，，，则双曲线的渐近线方程为.故答案为：4.已知球的表面积是，则该球的体积为________.【答案】【解析】【分析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【解析】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【小结】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.5.已知空间向量，且与垂直，则等于______.【答案】4【解析】【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值.【解析】因为，且与垂直，所以，解得，故答案为：46.如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直.【解析】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1,易得,∴BM⊥B1F,又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,∵BM⊂平面BCC1B1,∴EF⊥BM,又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,又∵OP⊂平面A1B1FE,∴BM⊥OP,∴BM与OP所成的角为90°,故答案为：90°.7.将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2．【答案】4π【解析】【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【解析】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4．故答案4．【小结】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.8.“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是__________.①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32.【答案】③【解析】【分析】通过茎叶图可直接得到最大值，最小值和出现次数较多的数据，即得极差和众数，对于百分位数，则必须把数据按从小到大排列，再判断第50百分位数是哪个数据还是哪两个数据的均值，此题中因是整数，故应是第五个和第六个数据的平均数，而平均数只需运用公式计算即得.【解析】由数据的茎叶图可知，最大为53，最小为17，,则极差为53-17=36，故①正确；其中仅有数据34出现了两次，其余数据都只有1次，故众数为34，②正确；把数据按从小到大的顺序排列，第五个和第六个数据分别为27和32，该组数据共有10个，由是整数，故第50百分位数应该是第五个和第六个数据的平均数，即，而不是27，故③错误；运用平均数公式可得平均数为，故④正确.故答案为：③.9.已知事件A与事件B相互独立，如果，，则______.【答案】0.56##【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案.【解析】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，又，，则.故答案为：．10.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是________．【答案】【解析】【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.【解析】依题意，所以渐近线为，右焦点，右焦点到渐近线的距离为.所求圆的方程为.故答案为：11.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，根据渐近线与其垂直，得到，用离心率公式求出即可．【解析】∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，∴，p=8，抛物线方程为y2=16x，m=±4.取,双曲线的左顶点为,直线AM的斜率为，∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，∴，且，解得：，则：.故答案为：12.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合点位置，即可求得的取值范围．【解析】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示：因为是的平分线上一点，且，所以，即为的中点，又因为为的中点，由中位线性质可得，在椭圆方程为，则，所以因为所以当为短轴的顶点时，又因为与椭圆的四个顶点不重合综上所述，.故答案为：二、选择题（13-14题各4分，15-16题各5分，共18分）13.直线的法向量可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可.【解析】由，可得，所以直线的斜率,所以直线的方向向量为，当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确；当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确；当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确；当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确.故选：D.14.直线与直线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角.【解析】两直线的斜率，因为直线倾斜角范围为则，故两直线夹角，故选：．15.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决．【解析】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，；根据双曲线的开口越大离心率越大，则．所以，故选：A．16.已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.【解析】如图所示：连接，因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，所以，同理可知：，又因为平面，平面，，所以平面，根据题意可知：，所以为正三角形，所以，所以，设到平面的距离为，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以，所以，再如下图所示：在正三角形中，高，所以内切圆的半径，且，取的两个三等分点，连接，所以，所以是以长度为边长正三角形，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，圆的周长为，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为，故选：B.【小结】思路小结：空间中轨迹问题的解答思路：（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系；（2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状；（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.三、简答题17.如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.（1）求该圆锥的体积；（2）求直线CD与平面PAB所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【小问1解析】依题意可知圆锥的底面半径，高，所以圆锥的体积为.【小问2解析】连接，由于是的中点，所以，由于是弧的中点，所以，根据圆锥的几何性质可知，所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.在中，，所以.即直线CD与平面PAB所成角的大小为.18.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中m的值；（2）估计该组测试成绩的平均值；（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，抽取5人.①根据此次分层随机抽样，成绩位于区间和的居民各抽取多少？②若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.【答案】（1）（2）76.2（3）①3人，2人；②【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质，长方形面积之和为１，构造方程，求出即可．（2）运用平均值公式求出即可．（3）①概率比值即为人数分层比；②运用古典概型概率公式求解即可．【小问1解析】已知，则.【小问2解析】测试成绩的平均数.【小问3解析】①根据题意，知道两层和人数的概率之比为，则测试分数位于这两个区间的人数之比为，则间抽取3人，间抽取2人；②根据题意，.19.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.（1）以抛物线顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；（3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【答案】（1）（2）（3）4.0米【解析】【分析】（1）设该抛物线方程为，代入点可得答案；（2）直线与抛物线联立求出、可得答案；（3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案.【小问1解析】如图所示.依题意，设该抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，，所以该抛物线的方程为；【小问2解析】，焦点，，设，，则，由解得，，，所以，则；【小问3解析】设车辆高为h，则，故，代入抛物线方程，得，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.20.已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点.（1）若点M的坐标为，求的面积；（2）若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；（3）若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据点在椭圆上，求出的值，再求的面积.（2）根据点在椭圆上，先明确的关系，再由余弦定理，表示出，由求的范围.（3）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，并用它们表示出，进行化简整理即可.【小问1解析】因为点在椭圆上，所以，因为，所以，因为，，所以，，，所以.【小问2解析】如图：因为点M在椭圆上，所以，由余弦定理得因为是钝角，所以，又因为，所以，解得，的范围为.【小问3解析】如图：设，，由得，，，，又，，所以，即有为定值.21.我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．（1）求“异型”曲线的方程；（2）若直线与“异型”曲线有两个公共点，求的取值范围；（3）若，为“异型”曲线上点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出，从而可求出和的方程，进而可求出曲线的方程；（2）分、和三种情况，分别讨论直线与、的交点情况，可求出时，满足题意的的取值范围，再结合“异型”曲线的图象关于轴对称，可求出时，满足题意的的取值范围；（3）设，分和两种情况，分别求出的表达式，进而求出两种情况的最小值，比较二者大小，可得出答案.【解析】（1）由题意，可知满足，解得，∴，，∴“异型”曲线的方程为.（2）直线与“异型”曲线有公共点.联立，解得或，即、有公共点、.①当时，直线，与无公共点，与有唯一公共点，不符合题意；②当时，可知，易知直线与有两个公共点，又∵的渐近线为，且中，∴与无公共点.∴当时，直线与“异型”曲线有两个公共点，符合题意；③当时，可知