5.1.1 任意角 课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章

三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识回顾我们在小学、初中是如何定义角的？锐角，直角，钝角，平角，周角180。由一个顶点出发的两条射线所组成的图形.角的范围:[00,3600].有哪些分类？范围是什么？两角和为90。互为余角，两角和为180。互为补角你能举例出生活中0°-360°之外的角吗?情境引入由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角；如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了．我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表.OA情境引入为了准确描述这些现象，有必要将角的概念推广到任意角．我们规定：正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角：一条射线没有做任何旋转情境引入概念形成思考1：结合生活实例，你认为描述一个角需要几个条件？思考2：类比实数的定义，如何定义任意角？注意：1.负号只表示方向，不表示大小.2.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”.情境引入概念形成思考3：如何定义任意角的运算？把射线OA绕端点O按照不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.设α、β是两个任意角，把角α的角终边旋转β，这时终边所对应的角是α+β.角α的相反角记为-α.角的加法α-β=α+(-β).像实数减法的"减去一个数等于加上这个数的相反数"一样，把角的减法转化为角的加法.若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.相等角角的减法相反角

α=210°β=-150°γ=-660°

情境引入概念形成为了更好的研究角，也为了更好的表现角“周而复始”的变化规律，我们需要一个统一的标准.我们通常把角放进直角坐标系中进行研究.情境引入概念形成课堂探究1.置角的顶点于原点

情境引入概念形成课堂探究1.置角的顶点于原点

角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角

情境引入概念形成课堂探究特别注意：如果角的终边在坐标轴上，那么我们就认为这个角不属于任何一个象限

轴线角情境引入概念形成课堂探究探究1：判断下列角是象限角还是轴线角：﹣50°，405°，﹣450°，如果是象限角，请指出是第几象限角；如果是轴线角，请指出其终边在哪个轴上．情境引入概念形成课堂探究答：画出图形，可以知道：﹣50°是第四象限角，405°是第一象限角，﹣450°是轴线角（角的终边在y轴负半轴）．405°-50°情境引入概念形成课堂探究-450°探究2：第二象限角一定比第一象限角大吗？答：不一定．例如，120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°＜390°．情境引入概念形成课堂探究探究3：请画出下列角：α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你发现这三个角的终边有何联系？答：可以发现，这三个角终边相同．情境引入概念形成课堂探究思考1：对于终边相同的角α

＝

60°，β

＝

420°，γ

＝

﹣660°，你发现这三个角在数量上有什么关系？答：发现它们相差360°的整数倍．

420°＝

60°+360°，﹣660°＝

60°－2×360°．情境引入概念形成课堂探究思考2：你能用集合表示所有与60°角终边相同的角吗？情境引入概念形成课堂探究思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．情境引入概念形成课堂探究例1．在0°~360°范围内，找出与﹣950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角．分析：将﹣950°12′加上整数个360°，将其转化为0°~360°范围内的角．情境引入概念形成课堂探究典例精讲例1．在0°~360°范围内，找出与﹣950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角．情境引入概念形成课堂探究典例精讲解：﹣950°12′+3×360°＝

129°48′，所以在0°~360°范围内，与﹣950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．例2．写出终边在y轴上的角的集合．分析：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个：90°，270°角．可以先写出两个集合，再取它们的并集．情境引入概念形成课堂探究典例精讲例2．写出终边在y轴上的角的集合．情境引入概念形成课堂探究典例精讲解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个：90°，270°角（如图）．与90°终边相同的角构成集合S1

＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}，与270°终边相同的角构成集合S2

＝{β|β=270°+k·360°，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合S

＝

S1∪S2

，例2．写出终边在y轴上的角的集合．情境引入概念形成课堂探究典例精讲S

＝

S1

∪S2＝{β|β=90°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=270°+k·360°，k∈Z}＝{β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝{β|β=90°+n·180°，n∈Z}

．两个集合中的元素有何关系？表示方式不唯一变式训练1．写出终边在x轴负半轴上的角的集合．情境引入概念形成课堂探究典例精讲变式训练2．写出终边在第三象限的角的集合．例3．写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？分析：先求出终边在直线y=x上的角的集合（含字母n，n

∈Z）；再让n取部分整数，来检验元素β是否满足不等式﹣360°≤β<720°．情境引入概念形成课堂探究典例精讲例3．写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？情境引入概念形成课堂探究典例精讲解：终边在直线y=x上的角的集合S

＝{β|β

＝

45°+k·360°，k∈Z}

∪{β|β

＝225°+k·360°，k∈Z}＝{β|β

＝

45°+2k·180°，k∈Z}

∪{β|β

＝45°+(2k+1)·180°，k∈Z}＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．即S＝

{β|β

＝45°+n·180°，n∈Z}．经计算，当n分别取–2、﹣

1、0、1、2

、3时，可得S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β：﹣315°、﹣135°、45°、225°、405°、585°．例3．写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β有哪些？情境引入概念形成课堂探究典例精讲解：终边在第一象限的角的集合是S={α|k

·

360°＜α＜90°+k

·

360°，k∈Z}，故k

·

180°＜α/2＜45°+k

·

180°，k∈Z，k是偶数时，α/2是第一象限角，k是奇数时，α/2是第三象限角，从而，α/2是第一或第三象限角．变式训练3．若α是第一象限角，则α/2是第几象限角？情境引入概念形成课堂探究另