激光束的自聚焦-自散焦与自调制

激光束的自聚焦、自散焦与相位调制引言：在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率。光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比。本文介绍自作用（自相位调制）和互作用（交叉相位调制）两种光克尔效应。还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象。一．光学克尔效应光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化（即非线性折射率）的效应，其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即。这种效应属于三阶非线性光学效应。具有克尔效应的介质称为克尔介质。光学克尔效应因其产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种：自作用光学克尔效应利用频率为ω的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光直接探测在该频率ω下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小。互作用光学克尔效应演示这种光克尔效应，需要两束光：泵浦光---引起折射率变化的强光；信号光----探测介质折射率变化大小的弱光。也就是用频率不同（ω’）或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为ω的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小。图1.给出了自作用克尔效应和互作用克尔效应的两个典型例子。(a)自作用克尔效应（b）互作用克尔效应图1.两种光克尔效应设信号光频率为ω，泵浦光频率为ω’，忽略吸收，自作用克尔效应和互作用克尔效应的非线性极化强度分别表示为（）（）在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化。考虑一个沿Z方向传播的平面单色波,光从z=0出发传至z=L,引起介质的折射率变化为Δn,传播常数变化为Δk,相应光波的相位变化为（）上式表明光致折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（SPM）和交叉相位调制（XPM）两种。自相位调制光克尔效应为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为ω的强激光入射各向同性介质，仅考虑一阶和三阶效应，其中一阶极化率和三阶极化率皆取实部，则总极化强度为（）根据和，并定义有效三阶极化率,由（）得（）式中是总介电系数，为实数。利用线性介电系数的关系和，得到,将它代入式（）得到（）利用（），得总折射率n为（）式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比1小得多。式（）的前项n0为线性折射率，后项为非线性折射率，即为（）可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即（）它与有效三阶非线性极化率实部成正比。（）变为（）利用,由式得（）可见非线性折射率与光强成正比，比例系数n2称为非线性折射系数，它与三阶极化率实部的关系为（）总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系，即光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如：电子极化，电致伸缩，热效应等。克尔介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长。当光束传播一定距离L时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为（）交叉相位调制光克尔效应考虑一种特殊的互作用光克尔效应。频率为ω的单色信号光与频率为ω’的单色泵浦光同沿Z方向传播，但两者的偏振方向不同：泵浦光沿y方向偏振；信号光沿x-y平面内的某任意方向偏振，如图2所示图2.信号光（ω）与泵浦光（ω’）的传播方向和偏振方向泵浦光引起介质折射率或极化率（实部）发生变化，从而分别由信号光电场的x和y方向分量Ex(ω,z)和Ey(ω,z)所产生的非线性极化强度的x和y分量分别为（）（）y方向的耦合波方程为将（）代入上式，并且Δk=0,得（）若认为泵浦光E（）不随x变化，就可得y方向的信号光场强（）上式中方括弧内的量正是信号光在y方向的非线性折射率，记为Δn聚焦与自散焦示意图对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根据Δn=n2I,因而其折射率也是逐步减小的。可以把光束经过的路径看成一个折射率渐变的波导，其作用就像一个自聚焦透镜，如图4所示图4.自聚焦透镜对光束的会聚作用根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式（）式中n0是介质的线性折射率，θs为最大的会聚角。n(0)为中心轴上的折射率，n(0)=n0+Δn。n(R)是边沿的折射率，该处光场近似为0，则有n(R)=n0,所以由（）得由于会聚角一般很小，近似有。因此自聚焦会聚角与激光引起的非线性折射率的关系为（）另一方面，若介质入射面是高斯光束的束腰位置（如图5），高斯型激光的衍射角近似为图5.高斯光束的衍射（）K为波矢，a为束腰半径。所以自聚焦会聚角与激光衍射角的平方比为（）由此可见，在自聚焦过程中，同时存在着两种互相竞争的作用：Δn引起光束会聚；衍射引起光束发散。光越强，光束会聚光斑越小，则衍射作用越强。在本节末会证明，只要满足或（）则自聚焦始终强与衍射，直至其它非线性效应终止自聚焦过程。考虑到Δn=n2I,为产生自聚焦所需的Δn，根据（）必须使用的激光光强为（）例如，设n2=10-13cm2/W,a=1mm,,由（）得当光强超过1MW/cm2就能产生自聚焦。如果激光的自聚焦作用与激光的衍射作用达到平衡θs=(1/2)θd,就会出现一种自陷效应。稳定自陷实际上就是空间光孤子。根据入射激光脉冲宽度与激光感生介质折射率变化的响应时间的关系可以把自聚焦分为：稳态自聚焦，准稳态自聚焦和瞬态自聚焦。下面我们分别来介绍三种自聚焦现象。稳态自聚焦如果激光的脉冲宽度比较长，远大于介质的响应时间，自聚焦后的光斑尺寸、焦距都保持相对稳定，此时自聚焦现象的理论可以用稳态方法处理。以下介绍自聚焦的近轴稳态理论。非线性介质的波动方程为（）假设介质是各向同性的，方程中的介电常数为标量；并设E为线偏振的，则（）可写成标量形式。方程左边第一项为（）式中对于克尔介质，利用（）将方程（）右边的PNL写成（）利用和，则方程（）变为在方程（）中代入以下沿Z方向传播的单色平面光电场和极化强度（）（）式中k=k0n0=n0ω/c;n0为介质的线性折射率。则方程（）左边的第二项为（）这里考虑到复数场振幅是z的缓变函数，因此在方程（）中略去了含项。方程（）中左边的第三项和右边的项都含有（）这里考虑到在稳态情况下方程式（）中可略去含和的项。将（）和（）代入（），该式变为（）这就是抛物线型的稳态自聚焦波动方程。一般情况光波不是平面波，复振幅可表示为如下形式（）式中表示光场的振幅函数，S（r,z）表示实际波面与平面波的几何差异，二者皆为轴对称的实数。kS(r,z)=φ是光场的相位。将式（）代入（）再分成实部和虚部两个方程，成为位相和振幅相互耦合的一组耦合方程（）（）方程（）反映能量关系。因为功率，，对（）两边在整个截面上积分，可得，这表明P在传播的过程中是不变的（能量守恒）。对于高斯光束，在z=0的束腰处，a(z)=a0,场强，，该处截面积为，则通过光束横截面的总功率P（与传播位置z无关）为（）方程（）描述光的波面（相位）变化，表明波面的变化由等式右边两项所代表的作用确定：第一项为衍射作用，第二项为非线性作用。此方程难于直接求解，只能近似求解。方程（）可以在近轴条件下近似求解。在该条件下，光束横截面内的光束为高斯型，光斑尺寸沿z轴变化,此时（）和（）就可看做是描述在介质中高斯光束传播的规律。当Δn=0时为球面波形式。当时波面仍可近似看成球面波，只是球面曲率中心在轴上的位置沿z轴连续变化，方程（）的解的形式可写成（）（）R为径向坐标。a(z)为光束的半径，R（z）为波面的半径。当时为平面波，S=Φ(z)利用（），（）的（Δn/n0）可做如下近似计算。对于近轴光有r2<<a(z)2,则；根据（）,。因此（）将（），（）和（）代入方程式（），可得以下两个方程（）（）式中（）设入射光强和波面的分布具有圆柱对称性，故采用柱坐标，以r,φ,z代替x,y,z,,，将（），（）代入（）。可得（）将方程（）两边对z求导，利用（）。可得将上式两边乘以，并积分可得积分常数C由初始条件R（0）=R0，a(0)=a0和φ(0)=0来确定，得到，则方程（）变为（）这是各向同性非线性介质中旁轴近似解的光束半径变化规律。若入射光为平面波。，方程（）简化为（）可见，当B>1/2时，a(z)<a0，光束会聚，为自聚焦情况。光束在焦点z=zf处形成焦点，即a(zf)=0。当B<1/2时，a(z)>a0，光束发散，为自散焦情况。当B=1/2时，a(z)=a0,保持光束半径不变，属于自陷获情况。因此，B决定了光束传播的规律。根据（），B也可以表达为（）可见B的意义是光致折射率变化的作用和光衍射的作用之比。当B=1/2时，有。根据（），，相当于非线性作用与衍射作用达到平衡。一般情况下，令a(zf)=0,由方程（）可算出自聚焦焦点位置zf,即（）此式可写成光功率表示形式，根据式（），（）和k=ω/c,则有（）定义B=1/2时的功率为临界功率Pc,由（）得（）可见材料的非线性越强，产生自聚焦的阈值功率越低。利用（），（）和（），式（）可改写为（）以下讨论在不同的入射波面的情况下，聚焦光束截面尺寸随传播距离的变化的情况：当平面波入射，，P>Pc,自聚焦的焦距zf为正值（）由式（）可以看出：a0越小，P越大，zf越小。(2)当会聚光入射,R<0,则焦距zf满足（）若入射波为弱会聚，当，式（）右边第二项取“+”号，此时只有一个向入射方向移动的焦点；若入射波为强会聚，即，式（）右边第二项取“”号，即有两个聚焦点存在。（3）当入射波为发散波，R0>0,则焦距zf满足光束在介质中逐渐由发散转为会聚的条件为zf>0,即。表明当入射光率一定时，只有入射光发散不太大时，才有可能在介质中形成自聚焦。图6给出了在不同入射条件下的自聚焦光斑尺寸变化的图像。（a）平行光入射（b）弱会聚光入射（c）强会聚光入射（d）弱发散光入射图6.不同入射条件下的自聚焦光斑随z的变化图像准稳态自聚焦当入射激光是短脉冲的，必须考虑光束参量随时间的变化。如果脉冲宽度较短，但比介质对场的响应时间大很多，或者说介质对场的响应仍可以被认为是瞬时的，自聚焦的焦距随激光强度的变化而随时间变化，这就是准稳态自聚焦。比如激光脉宽为10-9秒（纳秒），介质响应时间为10-12秒（分子弛豫机制），成为准稳态自聚焦。对于准稳态自聚焦，不能完全忽略振幅随时间的变化，在求解波动方程（）时，可略去对时间的二阶导数，但要保留对时间的一阶导数，同时仍然保留场对z坐标的缓变条件。公式（）变成（）为群速度。引入新的独立变量t’=t-z/v和z’=z（）利用复合函数求导公式，于是（）因此（）可改写为（）比较（）和（）可看出两个方程的形式相同。所解得的自聚焦焦距公式形式也应当相同。只是对方程（），焦距是时间的函数。在平面波入射的情况下，自聚焦焦距应为（）如果仍用（z,t）作变量，式（）可表示为（）可见在动态自聚焦情况下，自聚焦焦距是随时间变化的，而t时刻的zf是由t-z/v时间的光功率引起的。上面是旁轴近似得到的解，严格的数值解给出zf与P的关系为（）常数K和临界功率都可以由实验测定。由（）可见，在准稳态自聚焦中，焦点位置在介质中并不固定，而是随时间t变动。Zf(t)与t的关系曲线如图7所示。从图中可看出，当激光入射至介质后，因为自聚焦要满足阈值条件，所以在tD时刻首先在zD处产生一个焦点。然后它沿着U形线分成两支运动。焦点的运动速度由曲线的斜率确定。沿DAE一支向光束的前进方向运动，速度可大于c/n。沿另一支DBC表示自聚焦焦点先是向后运动，在到达最短焦距zB后又返回，再向前运动（zB与输入脉冲峰值功率相对应）。这一支焦点的运动速度始终小于光速，特别在zB处焦点的运动速度为零。这种双焦点的运动图像在实验中已经得到证实。图7（a）自聚焦焦点随时间变化曲线图7（b）入射激光脉冲功率P（t）波形值得注意的是，自聚焦焦点的运动速度超过光速并不违背狭义相对论，因为不同时刻的焦点是来源于入射脉冲的超过自聚焦阈值的不同部分的自聚焦，因而焦点的运动并不代表整个光脉冲信号进入介质的能量传输过程，光脉冲的传播速度必须用群速度来描述，它不会超光速。从自聚焦破坏的角度来讲，焦点运动由速度比较慢的地方即停留时间长的地方最易发生介质破坏，这相当于图中的zB处。确实在透明的液体中已经在这个区域观测到激光引起的气泡。瞬态自聚焦当激光脉宽比介质Δn的响应时间更短（或接近）时，自聚焦的过程就必须考虑Δn随时间的变化了，必须考虑因Δn的时间延迟引起的光脉冲的前沿部分如何影响其尾部的自聚焦，这就是瞬态自聚焦现象。可以用图8定性说明。图8.激光脉冲在介质中形成喇叭形传播的瞬态自聚焦过程图(a)激光功率随时间的变化曲线中a~f表示满足阈值条件的各个时刻的功率。当a部位脉冲输入时，由于介质来不及对场响应，Δn很小，因而它在传播时几乎是线性地衍射，到b部位有稍微大一些的Δn，但还未大到足够引起自聚焦，因此它依然是衍射，但较a段脉冲的衍射要小。当c段脉冲输入时，由于先前a、b段脉冲产生的Δn已经足够大，足以克服衍射效应使光线向中间会聚。同样可分析d~f段脉冲，它们的聚焦点一个比一个向前移，且聚焦后不发散。这是因为虽然e~f段的峰值功率变小，但由于以前引起介质折射率变化的累积使Δn变得很大仍可形成自聚焦。如果我们在同一时刻把a~f各时刻输入脉冲的各时刻输入脉冲的各自波前连接起来，就得到如图喇叭型的脉冲激光的横向轮廓。自聚焦的危害及消除非线性自聚焦具有非常大的危害性。过去的几十年,人们一直对此进行着广泛深入的研究。圆对称超高斯激光束在克尔介质中传输时也会由于非线性自聚焦效应而形成自聚焦环,自聚焦环在扰动的作用下将分裂成丝。自聚焦环的形成及分裂是影响光束质量,甚至造成光学元件损伤的主要因素之一。重庆文理学院物理与信息工程系的赵华君发表在《激光杂志》中的一篇论文指出可以采用具有负非线性折射率系数(n<0)的非线性介质来补偿非线性自聚焦效应,从而抑制光束传输时的非线性增长。他在实验中采用的是具有较大负折射系数的GaAs。结果表明,圆对称超高斯光束在通过克尔介质时会出现明显的自聚焦环,然而当使用具有负折射率系数的非线性介质对自聚焦效应进行补偿，可以大大减小光束的累积B积分，有效防止圆对称超高斯光束自聚焦环的产生。四川大学光电系和中国工程物理研究院高温高密度等离子体物理国防科技重点实验室的研究人员发表在《光学学报》上的一篇论文指出适当地选取圆对称超高斯光束的初始参量，如合理选取其阶数和宽度，可以降低自聚焦成环效应，从而降低因自聚焦环分裂在光束边缘出现的细光束对介质造成的成丝破坏。三．自相位调制时间自相位调制实验发现一个线宽很窄（~1cm-1）的激光脉冲经过自聚焦后，从细丝区出射的光有很强的频谱展宽。对纳秒脉冲，展宽约数十个波数（cm-1），而对皮秒脉冲，展宽可达几千个波数以上。对亚飞秒脉冲，甚至可展成白光连续谱。这种自聚焦光的谱线自增宽效应是由自聚焦的相位自调制引起的。以下用一个物理理论模型加以解释。设入射激光脉冲的光电场表示为（）式中τ=t-(z/v);v是光脉冲的群速度；光功率密度为。光脉冲在自聚焦细丝中传播，使介质的折射率发生的变化为。光束通过长为L的细丝，其相位被调制，发生如下的相位变化（）设入射光脉冲的中心频率为ω0，自相位调制引起的频移为Δω=ω-ω0。在t时刻相位变化引起的频率增宽为（）在频域中的光振幅是频率增宽的函数，可由傅里叶变换得到（）相应的光强的频谱分布为（）假设入射脉冲为脉宽约为5ps的高斯型光脉冲，因，也应是高斯型对称的，用公式（）可算得随时间变化的波形，如图9上部所示；按公式（）算得频移啁啾曲线，Δω(t)的两个负的和正的峰分别对应高斯型的两个拐点，如图9中部所示；用（）和算得的光强频谱分布曲线如图9下部所示。可见功率谱相对于激光的频率ω0也是对称的.频谱增宽约300cm-1。如果入射功率引起的相位调制是上升比下降陡得多的，则功率谱是不对称的。如图（b）所示图9（a）上升和下降对称的相位调制Δφ及其对应的功率谱图9（b）上升比下降陡得多的相位调制Δφ及其对应的功率谱因为，此处有最大的斜率，因此谱振幅最大，它们处于频率谱上最远的两端：-Δω(即ω=ω0+Δω)在左边；Δω(即ω=ω0-Δω)在右边。靠近曲线的中心部分斜率最小，因而谱振幅最小。在Δω(t)曲线上存在着许多频率相同，但位相不同的两对应点，这两个点相当于两个频率相同但位相不同的两个波发生干涉，是相长干涉还是相消干涉，由它们间的相位差决定，因此输出谱上出现峰和谷交替的半周期振荡结构。每一边的峰数目由的整数倍数决定。由于Δω(t)曲线的峰顶较平坦，因此谱边沿的峰较宽。由于不对称的输出功率谱，因为响应的太小，变化缓慢，使振荡数太少，且周期太