（新教材适用）高中数学第五章一元函数的导数及其应用习题课函数的单调性的应用课后习题新人教A版选择性

习题课——函数的单调性的应用课后训练巩固提升A组1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是()A.13,+C.13,+解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y'=3x2+2x+m≥0对所有x∈R成立时,此时应满足Δ=44×3m≤0,解得m≥13因为3>0,所以抛物线y'=3x2+2x+m开口向上,所以y'≤0不可能恒成立.因此满足条件的m的取值范围是13答案:C2.已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:f'(x)=32x2+a,当a>0时,f'(x)>0在R所以当a>0时,函数f(x)在R上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则f'(x)=32x2+a≥0在R上恒成立,即a≥32x2恒成立,从而a故“a>0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案:A3.若函数f(x)=kxlnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(∞,2] B.(∞,1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)解析:因为f(x)=kxlnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=k1x因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k1x≥0恒成立,即k≥1x在区间(1,+∞因为x>1,所以0<1x<1,所以k≥1.故选D答案:D4.已知函数f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2x),且当x∈(∞,1)时,(x1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f12,c=f(3),则(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<c<a解析:由题意得,当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(∞,1)上单调递增.由题意得f(3)=f(1),且1<0<12<1,因此f(1)<f(0)<f12,即f(3)<f(0)<f12答案:C5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞),则b=,c=.

解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知x<1或x>2是不等式3x2+2bx+c>0的解集,即1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则1+2=2b3,1×2=c3,解得b=32答案:326.若函数f(x)=14x+3-kx+lnx在区间[1,2]上单调递增,则实数k解析:∵函数f(x)=14x+3-kx∴f'(x)=14+k-3x2+1x≥0在区间[1,2]上恒成立,∴k设g(x)=14x2x+3,则函数g(x)图象的对称轴为直线x=∴g(x)=14x2x+3在区间[1,2]上单调递减∴在区间[1,2]上,g(x)max=141+3=7∴k≥74答案:77.若函数f(x)=x3kx在区间(3,1)上不单调,则实数k的取值范围是.

解析:f'(x)=3x2k,当k≤0时,对x∈R,不等式f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k>0.令f'(x)=0,得x=±k3因为函数f(x)在区间(3,1)上不单调,所以3<k3<1,即3<k<27答案:(3,27)8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是.

解析:f(x)的导数f'(x)=3ax2+1.若a>0,则f'(x)>0对x∈R恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;若a=0,则f(x)=x,此时,f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;若a<0,则f'(x)=3a·x+1-3a·x-1-3a,f(x答案:(∞,0)9.已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围解:f'(x)=2xax若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,即2x3a≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,∴a≤2x3当x∈[2,+∞)时恒成立.∵y=2x3在区间[2,+∞)上单调递增,∴(2x3)min=16.∴a≤16.当a=16时,只有f'(2)=0.∴a的取值范围是(∞,16].10.已知函数f(x)=x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(1,1)内单调递减?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f'(x)=3x2a.∵函数f(x)在R上单调递增,∴f'(x)=3x2a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴a≤0.∴实数a的取值范围是(∞,0].(2)存在.证明如下:若函数f(x)在区间(1,1)内单调递减,则对x∈(1,1),不等式f'(x)=3x2a≤0恒成立,即a≥3x2对x∈(1,1)恒成立.当x∈(1,1)时,3x2<3,∴a≥3.∴存在实数a,使函数f(x)在区间(1,1)内单调递减,实数a的取值范围是[3,+∞).B组1.若函数f(x)=x3ax2x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0<a<1解析:f'(x)=3x22ax1,∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,∴不等式f'(x)=3x22ax1≤0对x∈(0,1)恒成立.∴f'(0)≤0,且f'(1)≤0,解得a≥1.故选A.答案:A2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈0,π2时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,f(0)=A.fπ6>2fπ3 B.C.f(ln2)>0 D.fπ解析:设g(x)=f(则g'(x)=f'(x∴g(x)在区间0,π∴f(ln2)cos(ln2)=g(ln2)∴f(ln2)<0.∵0<π6∴0>fπ即0>23fπ6>∴fπ4>2fπ3,fπ3∴fπ6>3fπ3>2fπ3,f答案:A3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<12,则不等式f(x)<x2+A.{x|1<x<1} B.{x|x<1}C.{x|x<1或x>1} D.{x|x>1}解析:设g(x)=f(x)x2-12,则g'(x)=f'(x)12<0,故g(∵f(1)=1,∴g(1)=f(1)12-∴g(x)=f(x)x2-12<0=g(1)的解集为{x|x>答案:D4.(多选题)若函数exf(x)(e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.给出下列函数,不具有M性质的为()A.f(x)=lnx B.f(x)=x2+1C.f(x)=sinx D.f(x)=x3解析:对于A,f(x)=lnx,令g(x)=exlnx,则g'(x)=exlnx+1x,令h(x)=lnx+1x,则h'(x)=1x-1x2=x-1x2,则h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(1)=1,所以g'(x)>0,从而g(x对于B,f(x)=x2+1,令g(x)=exf(x)=ex(x2+1),则g'(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)2≥0在R上恒成立,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上单调递增,则f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sinx,令g(x)=exsinx,则g'(x)=ex(sinx+cosx)=2exsinx+π4,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故f(x)=对于D,f(x)=x3,令g(x)=exf(x)=exx3,则g'(x)=exx3+3exx2=exx2(x+3),当x<3时,g'(x)<0,当x>3时,g'(x)≥0,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上先单调递减后单调递增,故f(x)=x3不具有M性质.故选CD.答案:CD5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a3)x1.(1)若f(x)的单调递减区间为(1,1),则a的取值集合为;

(2)若f(x)在区间(1,1)内单调递减,则a的取值范围为.

解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2+2ax+2a3=(x+1)(3x+2a3).(1)∵函数f(x)的单调递减区间为(1,1),∴1和1是方程f'(x)=0的两根,将x=1代入3x+2a3=0,解得a=0,∴a的取值集合为{0}.(2)∵f(x)在区间(1,1)内单调递减,∴f'(x)≤0对x∈(1,1)恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,一个零点为1,∴3-2a3∴a的取值范围为{a|a≤0}.答案:(1){0}(2){a|a≤0}6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.

解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,且f(1)=0,∴f(0)=0,f(1)=f(1)=0.当x≠0时,令g(x)=f(x)x,则g(x)为偶函数,g(1)=g∵当x>0时,xf'(x)f(x)<0,∴g'(x)=f(x)x∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,在区间(∞,0)上单调递增.∴当x>0时,要使f(x)>0,则g(x)>0,故0<x<1;当x<0时,要使f(x)>0,则g(x)<0,故x<1.综上,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(∞,1)∪(0,1).答案:(∞,1)∪(0,1)7.若函数f(x)=12x2alnx在其定义域内的一个子区间(a2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),故a2≥0,解得a≥2,而f'(x)=xax,令xax=0,解得x=由题意得a2<a<a+2,解得0≤a<4.因此,a∈[2,4).答案:[2,4)8.已知函数f(x)=2axx3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在区间(0,1]上是增函数,则a的取值范围是.

解析:由题意知f'(x)=2a3x2≥0对x∈(0,1]恒成立,所以a≥32x2对x∈(0,1]恒成立因为x∈(0,1],所以32x2∈0,32.所以故a的取值范围是32答案:39.已知函数f(x)=3xa2x2+lnx(a≠0)在区间[1,2]上为单调函数,求a解:函数f(x)的导数f'(x)=3a4x+1x(a≠若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则当x∈[1,2]时,f'(x)=3a4x+1x≥0或f'(x)=3a4x+1x≤0,即3a≥4x1x或3a≤4x1x对x∈[1,2]恒成立.设h(x)=4x1因为h'(x)=4+1x2>0对x∈[1,2]恒成立,所以函数h(x所以3a≥h(2)或3a≤h(1),即解得a<0或0<a≤25或a≥1故a的取值范围是(∞,0)∪0,25∪[1,+10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+2x(a≠0)(1)若函数h(x)=f(x)g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.解:(1)h(x)=lnx12ax22x(a≠0),则定义域为(0,+∞),h'(x)=1xax因为h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调递减区间,所以h'(x