高考数学二轮专题复习与测试专题强化练（十）随机变量及其概率分布

专题强化练(十)随机变量及其概率分布1．(2023·深圳福田区校级模拟)由mn个小正方形构成长方形网格有m行和n列．每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮．每次放白球的概率为p，放红球的概率为q，p＋q＝1.(1)若m＝2，p＝q＝eq\f(1,2)，记y表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：求y关于n的回归方程lneq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))n＋eq\o(a,\s\up6(^))，并预测n＝10时，y的值；(精确到1)n12345y7656423026(2)若m＝2，n＝2，p＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．附：经验回归方程系数：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,k,)xiyi－k\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,k,)xeq\o\al(2,i)－k\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,5,)ni·lnyi＝53，lneq\o(y,\s\up6(－))＝3.8.解：(1)由题意知eq\o(n,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，故eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(53－5×3×3.8,55－45)＝－0.4，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝3.8＋0.4×3＝5，所以线性回归方程为：lneq\o(y,\s\up6(^))＝－0.4n＋5，所以，估计n＝10时，lny＝1，所以y＝e≈3.(2)由题意知：m＝2，n＝2，p＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，则X的取值可能为0，1，2，记“含红球的行数为k”为事件Ak，(k＝0，1，2)，记“每列都有白球”为事件B，所以P(X＝0)＝P(A0|B)＝eq\f(P（A0B）,P（B）)＝eq\f(p4,（1－q2）2)＝eq\f(1,25)，P(X＝1)＝P(A1|B)＝eq\f(P（A1B）,P（B）)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)p3q＋Ceq\o\al(1,2)p2q2,（1－q2）2)＝eq\f(16,25)，P(X＝2)＝P(A2|B)＝eq\f(P（A2B）,P（B）)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)（pq）2,（1－q2）2)＝eq\f(8,25)，所以X的分布列为：X012Peq\f(1,25)eq\f(16,25)eq\f(8,25)所以E(X)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(16,25)＋2×eq\f(18,25)＝eq\f(32,25).2．(2023·河源模拟)某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体(每个面均为全等的正三角形的三棱锥)，四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字．(1)求接触上的5个数的乘积能被4整除的概率；(2)若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，①设甲出门带了1000元参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求E(X)；②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率．解：(1)总概率1减去接触面上的5个数的乘积不能被4整除(5次全是奇数；4次奇数，还有1次为2)的概率：1－[Ceq\o\al(5,5)(eq\f(1,2))5＋Ceq\o\al(4,5)(eq\f(1,2))4(eq\f(1,4))]＝eq\f(57,64)，则接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率为eq\f(57,64).(2)①设抛掷到接触地面的数字为3的次数为ξ，则ξ～B(5，eq\f(1,4))，E(ξ)＝eq\f(5,4)，游戏后甲身上的钱X＝200ξ－100(5－ξ)＋1000＝300ξ＋500，E(X)＝300E(ξ)＋500＝875.②甲不超过三次就结束游戏的情况有：不可能1次结束；两次均奖励，结束；前两次中一次奖励一次被罚，第三次奖励，结束；其概率为P＝(eq\f(1,4))2＋Ceq\o\al(1,2)(eq\f(1,4)×eq\f(3,4))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,32).3．(2023·广东一模)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,9)，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B(2，eq\f(4,9))，所以X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·(eq\f(4,9))0×(eq\f(5,9))2＝eq\f(25,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·(eq\f(4,9))1×(eq\f(5,9))1＝eq\f(40,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)·(eq\f(4,9))2×(eq\f(5,9))0＝eq\f(16,81)，所以X的分布列为：X012Peq\f(25,81)eq\f(40,81)eq\f(16,81)所以X的数学期望为E(X)＝2×eq\f(4,9)＝eq\f(8,9).(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，则P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,10))·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(20,63)，P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,10))·eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,8))＋eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,10))·eq\f(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,63)＋eq\f(15,63)＝eq\f(30,63)＝eq\f(10,21)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,10))·eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(13,63)，所以Y的分布列为：Y012Peq\f(20,63)eq\f(10,21)eq\f(13,63)所以Y的数学期望为E(Y)＝1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(13,63)＝eq\f(8,9).(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的大，即eq\f(16,81)<eq\f(13,63)，第(1)不中奖的概率比第(2)问小，即eq\f(25,81)<eq\f(20,63)，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖．回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖．4．(2023·简阳校级模拟)设两名象棋手约定谁先赢k(k>1，k∈N)局，谁便赢得全部奖金a元．已知每局甲赢的概率为p(0<p<1)，乙赢的概率为1－p，且每局比赛相互独立．在甲赢了m(m<k)局，乙赢了n(n<k)局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？请回答下面的问题．(1)规定如果出现无人先赢k局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比进行分配．若a＝243，k＝4，m＝2，n＝1，p＝eq\f(2,3)，则甲应分得多少奖金？(2)记事件A为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去且甲赢得全部奖金的概率f(p)．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，请判断当p≥eq\f(3,4)时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．解：(1)设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢．由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金．当X＝2时，甲以4∶1赢，得P(X＝2)＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)；当X＝3时，甲以4∶2赢，得P(X＝3)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；当X＝4时，甲以4∶3赢，得P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27).于是，甲赢得全部奖金的概率为eq\f(4,9)＋eq\f(8,27)＋eq\f(4,27)＝eq\f(24,27)＝eq\f(8,9)，进而得甲应分得的奖金为243×eq\f(8,9)＝216(元)．(2)设比赛继续进行Y局且乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢．当Y＝3时，乙以4∶2赢，得P(Y＝3)＝(1－p)3；当Y＝4时，乙以4∶3赢，得P(Y＝4)＝Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3＝3p(1－p)3.所以，乙赢得全部奖金的概率P(A)＝(1－p)3＋3p(1－p)3＝(1＋3p)(1－p)3.于是，甲赢得全部奖金的概率f(p)＝1－(1＋3p)(1－p)3.对f(p)求导，得f′(p)＝－3(1－p)3－(1＋3p)·3(1－p)2·(－1)＝12p(1－p)2.因为eq\f(3,4)≤p<1，所以f′(p)>0，得f(p)在[eq\f(3,4)，1)上是严格单调递增，于是f(p)min＝f(eq\f(3,4))＝eq\f(243,256).由此可知，P(A)max＝1－eq\f(243,256)＝eq\f(13,256)≈0.0508>0.05，即乙赢的最大概率大于0.05，所以事件A不一定是小概率事件．5．(2023·佛山模拟)某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终A学校和B学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由A学校和B学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次．(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从A学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从B学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B学校代表再从乙箱中抽取题目，已知B学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率．解：(1)由题知，样本均值为：eq\f(12×1＋8×1.5,12＋8)＝1.2，所以样本方差为：eq\f(12×[1＋（1－1.2）2]＋8×[0.25＋（1.5－1.2）2],20)＝0.76，所以这20人答对题目的均值为1.2，方差为0.76.(2)设事件A为“B学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题”，事件B1为“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”，B2表示“A学校代表先从甲箱中依次抽取了1道选择题，1道填空题”，B3表示“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”，易知B1，B2，B3两两互斥，B1∪B2∪B3＝Ω，P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(B3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(A|B1)＝eq\f(5,8)，P(A|B2)＝eq\f(8,15)，P(A|B3)＝eq\f(3,8)，P(A)＝P(B1)×P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq\f(13,24)，所求概率即为A发生的条件下B1发生的概率：P(B1|A)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(6,13).6．(2023·广东二模)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ(α＋β＋γ＝1，α>0，β>0，γ≥0)，且每局比赛结果相互独立．(1)若α＝eq\f(2,5)，β＝eq\f(2,5)，γ＝eq\f(1,5)，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当γ＝0时，①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；②若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用α，β表示)，无需写出过程．解：(1)用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则P(A)＝α＝eq\f(2,5)，P(B)＝β＝eq\f(2,5)，P(C)＝γ＝eq\f(1,5)，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5种，所以P(N)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ACCA)＋P(CACA)＋P(CCAA)＝2P(B)P(A)P(A)P(A)＋3P(C)P(C)P(A)P(A)＝2×(eq\f(2,5))4＋3×(eq\f(1,5))2×(eq\f(2,5))2＝eq\f(44,625).(2)①因为γ＝0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α＋β＝1，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则P(X＝2)＝α2＋β2，P(X＝4)＝(αβ＋βα)α2＋(αβ＋βα)β2＝2αβ