（新教材适用）2023-2024学年高中数学综合测评（A）北师大版选择性

综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的一个通项公式是an=().A.(-1)n+1C.cosn+12π D.cos答案D2.函数f(x)=x3+1x在区间[1,4]上的平均变化率n与f(x)在x=1处的瞬时变化率mA.m>n B.m<nC.m=n D.无法比较解析平均变化率n=f(4)-又f(x)=13x12+x1,∴f'(x)=∴m=f'(1)=161=56.∴答案B3.当用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)π”时,n取第一个值n0等于().A.1 B.2 C.3 D.4答案C4.已知曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线方程是y=x+5,则f(5)与f'(5)分别为().A.5,1 B.1,5 C.1,0 D.0,1解析由题意可知f(5)=5+5=0,f'(5)=1.答案D5.已知数列{an}是等差数列,公差d>0,a1+a5=6,a2a4=8,则a6=().A.2 B.4 C.6 D.8解析因为数列{an}是等差数列,a1+a5=6,所以a2+a4=6.又a2a4=8,公差d>0,所以a2=2,a4=4,d=1.所以a6=a4+2d=6.故选C.答案C6.在由正数组成的等比数列{an}中,若a4a5a6=2,则a1a2…a8a9的值为().A.2 B.4 C.8 D.16解析根据等比数列的性质可得,a1a2…a8a9=a59=(a53)3=(a4a5a6)3=2答案C7.函数f(x)的图象如图所示,则下列关系正确的是().(第7题)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)f(2)B.0<f'(2)<f(3)f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2)D.0<f(3)f(2)<f'(2)f'(3)解析由题图可知曲线在点B处的切线的斜率大于其在点A处的切线的斜率,且大于0,则有0<f'(3)<f'(2).函数f(x)从2到3的平均变化率为f(3)-f(2)由题图可知0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2).故选C.答案C8.已知函数f(x)在R上可导,F(x)=f(x21)+f(1x2),则F'(1)=().A.4 B.2 C.0 D.4解析因为F'(x)=2xf'(x21)2xf'(1x2),所以F'(1)=2f'(0)2f'(0)=0.故选C.答案C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.函数f(x)=exx在区间(0,+∞)上(A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.存在唯一的零点D.存在唯一的极值点解析因为f(x)=exx,x∈(0,+∞),所以f'(x)=(x-1)exx2.令f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得极小值即最小值,所以f(x)min=f(1)=e,即函数有最小值,无最大值,存在唯一的极值点.又x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所以f(答案BD10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,则下列说法正确的是().A.S11>0B.S12<0C.数列{Sn}中最大项为S11D.|a6|>|a7|解析∵S6>S7>S5,∴a6>0,a7<0,a6+a7>0.∴S11=11a6>0,S12=12(a6+a7)>0,由a6>0,a7<0知,数列{Sn}中最大项为S6,因为a6>a7>0,所以|a6|>|a7|.答案AD11.已知数列{an}的首项为4,且满足2(n+1)annan+1=0(n∈N+),则下列结论正确的是().A.anB.{an}为递增数列C.{an}的前n项和Sn=(n1)·2n+1+4D.an2n+1的前n项和解析由2(n+1)annan+1=0得an+1n+1=所以ann是以a11=a1=4为首项,2为公比的等比数列,故A错误;因为ann=4×2n1=2n+1,所以an因为Sn=1×22+2×23+…+n·2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+n·2n+2,两式作差得Sn=1×22+23+…+2n+1n·2n+2=22(1-2n)1-2n·2n+2,故Sn=(n1)×2n+2+4,故C错误;因为an2答案BD12.已知函数f(x)=xlnx,若0<x1<x2,则下列说法正确的是().A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.f(xD.当lnx>1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)解析设g(x)=f(x)x=lnx,函数单调递增,则g(x2)>g(x1),即f(x2)x2>f(x1)设h(x)=f(x)+x,h'(x)=lnx+2不恒大于零,故h(x)不一定是增函数,故B错误;f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1不恒大于零,故f(x)不一定是增函数,故C错误;lnx>1,故f'(x)=lnx+1>0,函数单调递增.故(x2x1)[f(x2)f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)x2f(x1)x1f(x2)>0,即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2).f(x2)x2=lnx2>f(x1)x1=lnx1,x1即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),D正确.故选AD.答案AD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.函数y=f(x)=|x|在x=1处的导数f'(1)=,在区间[1,1]上的平均变化率为.

解析∵当x<0时,f(x)=|x|=x,∴f'(x)=1.∴f'(1)=1.在区间[1,1]上的平均变化率为|1|-|-1答案1014.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=15,2a6=a3+7,且ak=13,则k=.

解析由题意知a4+a7+a10=3a7=15,∴a7=5.由a3+a9=2a6=a3+7,得a9=7,所以数列{an}的公差d=a9-a又aka9=(k9)d,∴137=k9,解得k=15.答案1515.已知数列{an}的前n项和为Sn,若首项为1,且满足an+1=Sn1,则Sn=.

解析因为an+1=Sn1,所以Sn+1Sn=Sn1,即Sn+1=2Sn1,所以Sn+11=2(Sn1).又S1=a1=1,所以数列{Sn1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn1=(2)·2n1=2n,所以Sn=12n.答案12n16.若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则实数a的取值范围为.

解析由函数f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.若a≥0,则f'(x)>0恒成立,此时f(x)在(∞,+∞)上为增函数,不满足题意;若a<0,由f'(x)>0,得-13a由f'(x)<0,得x<-13a或故当a<0时,f(x)的单调递增区间为-13a,-13a,单调递减区间为∞,-13a,-故a的取值范围为(∞,0).答案(∞,0)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q22q8=0.解得q=2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n1=22n1.(2)由(1)得bn=(2n1)log22=2n1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n1=n2.18.(12分)已知函数f(x)=x+1x(x>0),记函数f(x)从x=12到x=2的平均变化率为(1)求r的值.(2)是否存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.解(1)由f(x)=x+1x(x>0),得r=f(2)假设存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r.∵f'(x)=11x∴f'(x0)=11x由f'(x0)=r=0,得11x02=0,解得x0又x0∈12,2,于是x0=1.故存在x0=1∈12,2,使得f'(x0)=r.19.(12分)某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项;(2)求出这个数列的通项公式.解(1)已知a1=1,由题意得a1·a2=22,∴a2=22.∵a1·a2·a3=32,∴a3=32同理可得a4=4232,a5因此这个数列的前五项为1,4,94(2)当n≥3时,a1·a2·…·an=n2,a1·a2·…·an1=(n1)2,两式相除,得an=n2又a2=22满足上式,∴这个数列的通项公式为an=120.(12分)某品牌电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元、q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为110p万元、25lnq万元,已知A,B两种型号的电视机的投放总额为10万元,且A,B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元,请你制订一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,最多补贴多少万元?(结果精确到0.1万元,参考数据:ln4≈1解设B型号的电视机的投放金额为x(1≤x≤9)万元,则A型号的电视机的投放金额为(10x)万元,又设农民得到的补贴为y万元.由题意得y=110(10x)+25lnx=25lnx110x+1(1≤x≤9),令y'=0,得x=4.令y'>0,得1≤x<4;令y'<0,得4<x≤9.∴函数y=25lnx110x+∴当x=4时,y取得最大值,且ymax=25ln4110×4+1≈1.2,这时,10x=即厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时,农民得到的补贴最多,最多补贴约为1.2万元.21.(12分)已知函数f(x)=2x3ax2+8.(1)若f(x)<0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.(2)是否存在整数a,使得函数g(x)=f(x)+4ax212a2x+3a38在区间(0,2)上存在极小值?若存在,求出所有整数a的值;若不存在,请说明理由.解(1)当x∈[1,2]时,由f(x)<0,得a>2x3+8x2设h(x)=2x+8x2,x∈[1,2],则h'(x)=2∵h'(x)≤0,∴h(x)在区间[1,2]上是减函数,∴h(x)max=h(1)=10.∵f(x)<0对任意x∈[1,2]恒成立,即a>2x+8x2对任意x∴a>10,即实数a的取值范围为(10,+∞).(2)假设存在整数a,使得函数g(x)在区间(0,2)上存在极小值.∵g(x)=2x3+3ax212a2x+3a3,∴g'(x)=6x2+6ax12a2=6(xa)(x+2a),①若a=0,则g'(x)≥0,g(x)单调递增,无极值.②若a>0,则当x<2a或x>a时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当2a<x<a时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴当x=a时,g(x)取得极小值.∵g(x)在区间(0,2)内有极小值,∴0<a<2.∴存在整数a=1满足题意.③若a<0,则当x<a或x>2a时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当a<x<2a时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴当x=2a时,g(x)取得极小值.∵g(x)在区间(0,2)上有极小值,∴0<2a<2,得1<a<0,不满足a∈Z.综上,存在整数a=1,使得函数g(x)在区间(0,2)上存在极小值.22.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n.设集合M={a12,a22,a32,…,an12},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn1,xi∈M,i=1,2,…,n},n∈N+.(1)求数列{an}的通项公式;(2)当q=2,n=3时,求集合A中所有元素的和;(3)设Tn=a1+a2q+…+anqn1,当q=3时,求Tn.解(1)∵Sn=n2+2n,n∈N+,∴当n≥2时,an=SnSn1=2n+1.当n=1时,a1=S1=3满足上式,故数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)当n=3时,a12=1