《随机事件和概率》课件

随机事件和概率随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。概率则是衡量随机事件发生的可能性大小。课程大纲随机事件随机事件的概念和性质随机事件的分类样本空间和事件概率事件的运算概率模型条件概率、全概率公式和贝叶斯公式随机变量离散和连续随机变量概率分布期望和方差统计推断点估计和区间估计假设检验回归分析随机事件的定义和性质随机事件定义随机事件是指在特定条件下可能发生也可能不发生的事件，其结果具有随机性，无法预知。随机事件性质随机事件具有不确定性、偶然性，但其发生的概率是可以统计的。随机事件应用生活中许多事件都属于随机事件，例如抛硬币、天气变化、股票价格波动等。随机事件的分类11.确定事件结果唯一确定，例如明天太阳升起。22.不确定事件结果无法确定，例如抛硬币的结果。33.随机事件不确定事件中，每个结果都有发生的可能性。44.随机现象指每次试验或观察结果不确定的现象。样本空间和事件样本空间样本空间是所有可能结果的集合，用S表示。每个结果称为样本点。例如，抛硬币的样本空间为S={正面，反面}。事件事件是样本空间的子集，用字母A、B、C等表示。例如，抛硬币事件A={正面}。事件的运算1事件的并事件A和B的并表示A或B发生的事件，即事件A发生，或事件B发生，或事件A和B同时发生。用符号A∪B表示。2事件的交事件A和B的交表示A和B同时发生的事件。用符号A∩B表示。3事件的差事件A和B的差表示事件A发生但B不发生的事件。用符号A-B表示，或用A\B表示。事件的互斥性定义两个事件互斥意味着它们不能同时发生.例子抛硬币正面朝上和反面朝上是互斥事件.概率计算两个互斥事件的概率是各自概率的总和.事件的独立性定义如果两个事件发生的概率相互独立，则它们被称为相互独立的事件。这意味着一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。公式事件A和事件B相互独立的条件是P(A∩B)=P(A)P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。举例例如，抛硬币两次，第一次正面朝上，第二次正面朝上的概率与第一次正面朝上的概率无关。古典概率模型等概率古典概率模型适用于所有可能的结果等概率发生的随机现象。有限样本空间这个模型要求样本空间中的元素数量是有限的，并且每个元素都有相同的概率。事件概率事件的概率可以通过事件包含的样本空间元素数量除以总样本空间元素数量计算。几何概率模型靶心概率靶心面积与整个靶面面积之比表示命中靶心的概率。针掉落概率圆形针掉落到某条平行线上的概率与针的长度和线之间的距离有关。随机点落在区域内的概率随机点落在某个区域内的概率等于该区域的面积与整个区域的面积之比。条件概率定义条件概率是指在已知某事件发生的情况下，另一事件发生的概率。例如，已知今天下雨，那么出门需要带伞的概率会更高。公式条件概率用以下公式表示：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。全概率公式全概率公式是用来计算一个事件的概率，这个事件可以由多个互斥的事件组成。公式：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)其中：A是要计算的事件。B1、B2、...、Bn是互斥的事件，并且它们的并集是样本空间。P(A|Bi)是在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。P(Bi)是事件Bi发生的概率。贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中一个重要的公式，它用于计算在已知某些事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。贝叶斯公式将先验概率与似然函数相结合，得出后验概率。1先验概率事件发生前的概率2似然函数观测到证据后，事件发生的概率3后验概率在观测到证据后，事件发生的概率离散随机变量11.离散随机变量离散随机变量的取值是有限个或可数个。22.概率分布每个取值的概率可以描述为概率分布函数。33.应用场景例如掷骰子，取值只有1到6，符合离散随机变量的定义。44.示例另一个常见例子是某地区一天内发生的交通事故数量。概率分布描述随机变量概率分布是描述随机变量取值的概率规律。类型多样概率分布类型很多，包括离散分布和连续分布。期望和方差概率分布可以用来计算随机变量的期望和方差。应用广泛概率分布在统计学、机器学习、金融等领域都有广泛应用。期望和方差期望期望是随机变量所有可能取值的概率加权平均值。它代表随机变量的中心位置或平均值。方差方差衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。方差越大，随机变量的取值越分散。重要性期望和方差是描述随机变量的重要统计量，它们可以帮助我们了解随机变量的分布特征。二项分布定义二项分布是统计学中的一种离散概率分布，用于描述在一定次数的独立试验中，成功次数的概率分布。例如，在10次抛硬币试验中，正面出现的次数就是一个二项分布随机变量。特点二项分布需要满足以下条件：每个试验结果只有两种可能，成功或失败。每次试验的成功概率是相同的。试验之间是独立的。二项分布可以用二项式系数来计算，该系数表示从n次试验中选出k次成功的可能结果数。泊松分布泊松分布的特点泊松分布是描述在一定时间或空间内事件发生次数的概率分布。应用场景例如，在一定时间内，电话呼叫的次数、顾客到达商店的次数、机器故障发生的次数等。公式泊松分布的公式为：P(X=k)=(λ^k*e^-λ)/k!，其中λ表示单位时间或空间内事件发生的平均次数。正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布。它以钟形曲线为特征，曲线中心对应数据的平均值。正态分布在自然界和社会科学中普遍存在，例如身高、血压和考试成绩等数据。正态分布的应用正态分布在统计学、自然科学、社会科学等领域广泛应用。由于其性质优良，可以用正态分布来模拟和分析许多现象。例如，可以用来描述身高、体重、血压等生物特征的分布情况，也可以用来描述产品质量、市场需求等经济变量的分布情况。标准正态分布标准化将任何正态分布转化为标准正态分布。概率计算利用标准正态分布表计算概率。应用广泛在统计学、机器学习等领域应用广泛。抽样分布定义抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述了从总体中抽取样本时，样本统计量的概率分布。类型常见的抽样分布包括样本均值的分布，样本方差的分布，以及样本比例的分布。应用抽样分布在统计推断中起着至关重要的作用，它可以用于估计总体参数，检验假设，以及进行预测。点估计和区间估计点估计点估计使用样本数据来估计总体参数的单个值。例如，使用样本均值来估计总体均值。区间估计区间估计使用样本数据来估计总体参数的范围。例如，使用样本均值和标准误差来构建总体均值的置信区间。假设检验1建立假设首先，根据研究问题，设定原假设和备择假设。原假设通常代表我们想要证伪的假设，而备择假设是原假设的否定。2选择检验统计量根据样本数据和研究问题，选择合适的检验统计量，例如t检验、Z检验或卡方检验。3确定显著性水平设置显著性水平，通常为0.05，表示拒绝原假设的风险概率。4计算检验统计量的值根据样本数据计算检验统计量的值，并与临界值比较。5得出结论根据计算结果，判断是否拒绝原假设，得出结论。参数检验检验统计量基于样本数据计算的统计量，用于比较样本与假设值之间的差异。假设检验通过检验统计量和概率分布，判断样本数据是否支持原假设。显著性水平设定一个阈值，用于判断检验结果是否具有统计学意义。假设检验类型包括单样本检验、双样本检验、方差分析等，用于不同场景的统计推断。卡方检验11.检验拟合优度检验实际观察频率与理论预期频率之间是否存在显著差异.22.检验两个分类变量的独立性检验两个分类变量之间是否存在关联关系,或者说两个分类变量是否相互独立.33.检验多个样本均数的差异当样本数据服从正态分布,但方差未知时,可以使用卡方检验来比较多个样本均数的差异.回归分析数据关系回归分析用于研究变量之间关系，并建立数学模型进行预测。线性模型最常见的回归模型是线性模型，它描述变量之间线性关系。预测结果利用回归模型可以预测未来结果，提供数据分析和决策支持。实验设计随机化随机分配受试者到不同的实验组，确保各组之间差异性最小，排除其他因素的影响，提高实验结果的可靠性。对照