2024-2025学年天津市北辰区高三上学期期中数学试题及答案

北辰区2025届高三第一次联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.试卷满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2,0,4A0,2,4B4，则AUB1.设全集U，集合，（）A.B.D.0,2,40,244C.p:x1，q:4q是的（x4p2.设，则）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（）A.B.C.D.4.在某测量中，设点A在点B的南偏东3427，则点B在点A的（）A.北偏西3427C.北偏西B.北偏东D.南偏西x125.函数y的图象大致为（）5xA.B.D.C.0.50.436.设a5csin3，b3，53，则（）5A.cababcacbB.D.C.cba7.已知三棱锥ABCD外接球的球心O在线段上，若ACD与△BCD均为面积是3的等边三角ABCD形，则三棱锥外接球的表面积为（）42π82πA.B.4πC.D.8π33fxx3sinxx8.函数，则下列结论正确的有（）12①函数的最大值为；fx7π12②函数的一个对称中心为fx,0；ππ63③函数在,fx上单调递减；π1④gxsin2x，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象.gxfx2A.①③B.①④C.②③D.③④0,0x1fxxgx9.已知函数，的方程恰有三个不相等xfxmgx,x1，若关于x2e2m的实数解，则的取值范围是（）0,10,e1AB.D.C.e1,00第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.1zz（其中10.已知复数i______.(x7x3的系数为______.11.πx轴上的圆CN3则圆C的方程为______.12.已知圆心在与倾斜角为的直线相切于点61xy13.x0，y0，若2是4x与4y的等比中项，则的最小值是______.x14.天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的21旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是32否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率为______π15.如图，平行四边形ABCD中，，E为CDP为线段AE上一点，且满足32mBPmBABC，则ABCDBP______；若的面积为43，则的最小值为______.3三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.已知VABC的内角A，B，C，的对边分别为，b，，满足aBbsinAac（1）求角B的大小；（2）若b2，c2aa，求边的值；22AB的值.（3）若A，求317.如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，ADCBAD90，F为PA的中点，PD2，1ABAD1为矩形.，四边形2（1）求证：//平面DEF；（2）求点F到直线PC的距离；（3）求平面ABCD与平面BCP夹角的余弦值的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，b4，1aSn,a3S422bn18.已知等差数列nn364．（1）求数列和的通项公式；abnnanncc的前n项和n；n（2）令（3）令，求数列n334pnppAnAn，数列的前n项和，求证：．nn22anx22y2219.已知椭圆C：1（ab0）的一个焦点为F，其短轴长是焦距的3倍，点A为椭圆上abAF的最大值为3.任意一点，且（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：ym与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.x问：轴上是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.120.已知函数fx2aRxaxx，2（1）当a1时，求函数在fxx1处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；fx（3）当函数有两个极值点且xx4fx2fx13ln2.证明：.12fxx,x1212北辰区2025届高三第一次联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.试卷满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2,0,4A0,2,4B4，则AUB1.设全集U，集合，（）A.B.D.0,2,40,244C.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.U2,0,4，B=-4{}ðB4,0,2A4，【详解】因为，所以，又UAð2B所以.U故选：A.p:x1，q:4q是的（x4p2.设，则）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式x1、4x4，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式x1可得x1或x1，由4x4可得x1，因为xx1或푥>1}xx1，pq的必要不充分条件，所以，故选：B.3.在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（是）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合线性相关关系的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：两个变量为函数关系，不是线性相关关系，所以A错误；对于选项B：所有点不是在一条直线附近波动，不是线性相关关系，故B错误；对于选项C：对于两个变量x，y，y随着x的增加而减少，且所有点都在一条直线附近波动，所以具有线性相关关系，故C正确；对于选项D：两个变量不具有相关性，故D错误．故选：C.4.在某测量中，设点A在点B的南偏东3427，则点B在点A的（）A.北偏西3427C.北偏西B.北偏东D.南偏西【答案】A【解析】【分析】根据方向角的概念判断即可【详解】如下图所示：因为点A在点B的南偏东3427，点B在点A的北偏西3427，故选：A.x125.函数y的图象大致为（）5xA.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据x0时函数值的特征判断即可.x12【详解】函数yfx的定义域为x|x0，5xx2x211x21且fx，所以y为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除fx5x5x5xA、C；x12当x0时y0，故排除B.5x故选：D0.50.436.设a5csin3，b3，53，则（）5A.cabB.D.abcacbC.cba【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.0.503531，即0a1，【详解】因为050.45053csin3101，0sin31，所以又b，35353所以cab.故选：A7.已知三棱锥ABCD外接球的球心在线段上，若ACD与△BCD均为面积是3的等边三角OABCD形，则三棱锥外接球的表面积为（）42π82πA.B.4πC.D.8π33【答案】D【解析】【分析】作出图形，设CDaa，根据三角形的面积公式求出的值，分析可知ACB90，求出的长，可得出球O的半径，再利用球体表面积公式可求得球O的表面积.【详解】如下图所示：设CDa，因为与△BCD均为面积是3的等边三角形，ACD33，可得a2，则a24ABCD外接球的球心OACB90，因为三棱锥在线段上，则则ABAC2BC2222222，AB所以，球O的半径为r2，2ABCD因此，三棱锥外接球的表面积为4r28π.故选：D.fxx3sinxx8.函数，则下列结论正确的有（）12①函数的最大值为；fx7π12②函数的一个对称中心为fx,0；ππ63③函数在,fx上单调递减；π1④gxsin2x，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象.gxfx2A.①③B.①④C.②③D.③④【答案】B【解析】π162fxsin2x【分析】先化简函数为，再利用正弦函数的性质逐项判断.312xfxx【详解】3sinxx3sinxxx2sin2x22311π162sin2x2xsin2x，2221①函数的最大值为，故正确；fx212②易知函数的对称中心的纵坐标为，故错误；fxππ63πππ22x,ysint2x,③由，得，6ππ,ππ63在上单调递增，故错误；fx,因为在22上单调递增，故函数π④由gxsin2x图象向右平移gx，将单位得到12ππ6ysin2xsin2x的图象，1π162ysin2x再向下平移个单位可得到2的图象，故正确；故选：B0,0x1fxxgx9.已知函数，x的方程恰有三个不相等fxmgx,x1，若关于ex22m的实数解，则的取值范围是（）0,10,e1A.B.D.C.e1,00【答案】D【解析】【分析】设，则ℎ(푥)的图象可由hxfxmfx的图象上下平移得到，作出函数(푥)与的图ℎgx象，由题意，原问题等价于ℎ(푥)与的图象有三个不同的交点，结合图象列出不等式组求解即可得答gx案．【详解】解：设hxfxm和的图象如图，fx，作出函数gx则ℎ(푥)的图象可由fxx的图象上下平移得到，fxmgx要使方程恰有三个不相等的实数解，等价于ℎ(푥)与的图象有三个不同的交点，gxm01m0h101m0，解得，由图象可知，只须满足，即hege1,0.m所以实数的取值范围是故选：D．【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.1zz（其中10.已知复数i______.171517【答案】##5【解析】z【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再计算其模.11ii441【详解】因为zi，25554212175所以z.55175故答案为：(x7的展开式中x3的系数为______.11.【答案】21【解析】【分析】根据二项式定理确定x3的系数.7rr17(x)(r1r7rr【详解】2因此展开式中x3的系数为C17(121.【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力.πx轴上的圆CN3则圆C的方程为______.12.已知圆心在与倾斜角为的直线相切于点6【答案】x42y24【解析】【分析】设圆心为a,0，半径为，根据两点间距离公式，可的半径r，根据点斜式方程，可得rr0直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，代入公式，化简计算，即可得答案.【详解】设圆心为a,0，半径为，rr02r(a03a323，依题意可得233x3，整理得xy0，直线的方程为：y3333a3dr(a32因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，231324(a3a2，解得a4所以，所以圆的方程为x42y24.故答案为：x42y241xy13.x0，y0，若2是4x与4y的等比中项，则的最小值是______.x【答案】3【解析】1xy11xy1，从而有1，再利用“1”的妙用，即可求解.【分析】根据条件得到xxy【详解】因为2是4x与4y的等比中项，得到4x4y4xy，得到xy1，41xy11y11y0，则1，又x0，xxyxy1111yxxyxyxxy12()(xy)2224，当且仅当xy，即又时，取等号，xyxyyxy1xy1111413，当且仅当xy所以时，取等号，xxy2故答案为：3.14.天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的21旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是32否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率为______538【答案】【解析】①.②.24【分析】利用相互独立事件的概率公式，即可求出该游客只游览一个景点的概率；至少游览三个景点分为游览了三个景点或四个景点，分别求出这两种情况的概率，相加即可.2111111111111111+´+´+´3222322232223222245´´´´´´´´´=【详解】只浏览一个景点的概率为：.3131127C23游览三个景点的概率为：32224，321111´´´=游览四个景点的概率为：，322212713+=故至少游览三个景点的概率为：.8538故答案为：；.24π15.如图，平行四边形ABCD中，，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足32mBPmBABC，则ABCDBP______；若的面积为43，则的最小值为______.32346【答案】①.②.3【解析】2223m=lAE,lÎBP即可求出BPBA3BC结合基本不等式可得的最小值.【详解】设=lAE,lÎ，则BPBAAPBAAEBA()11BA(BABC))BABC，2211m212mBA)BA∴，故，322323223mBPBABC∴，即.3由ABCD的面积为43得，，故BCBAsin43BABC8，3892223494922∴BPBA3BCBABCBABC32246322BABC22，当且仅当时取等号,82833463∴的最小值为.2346故答案为：；.3三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.已知VABC的内角A，B，C，的对边分别为，b，，满足aBbsinAac（1）求角B的大小；（2）若b2，c2aa，求边的值；2的值.2AB（3）若A，求3π【答案】（1）323（2）（3）3242518【解析】1）由aBbsinA，利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理求解；（2）利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解.【小问1详解】解：因为aBbsinA，由正弦定理得：3sinABsinBsinA，即sinA3BsinB0，π,Bπ，所以BB3，则因为；3【小问2详解】πB，又b2c2a，，由（1）知3由余弦定理得：b2a2c22acB，即4a24a22a2，42332a解得，则a；3【小问3详解】27由A得：sinA1A2，33214959则sin2A2sinAA,cos2A22A1，cos(2AB)2ABsin2AsinB所以，512149232425.921817.如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，ADCBAD90，F为PA的中点，PD2，1ABAD1为矩形.，四边形2（1）求证：//平面DEF；（2）求点F到直线PC的距离；（3）求平面ABCD与平面BCP夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）（3）622【解析】1）设CPG（2DDA、、DP分别为可求得点F到直线PC的距离；，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可；AC//FGxyz、、（3）利用空间向量法可求得平面ABCD与平面BCP夹角的余弦值.【小问1详解】证明：设CPG，连接，由四边形为矩形，得G为PC中点，又F为PA中点，则//，DEF，AC又平面平面DEF，所以//平面DEF.【小问2详解】解：由PD垂直于梯形ABCD所在平面，90，得直线DADP、、两两垂直，以D为坐标原点，直线DA、、DP分别为x、yz、轴建立空间直角坐标系，21则、C2,0、、B0P2F,0,，22PF,0,21CP2，，2222CP3121.62所以，点F到直线PC的距离为dCP46【小问3详解】BC0CP2，，解：由（2）可知，xy0nnx,y,z，则设平面BCP的法向量，CPn2y2z0令y1，得n2，m0,1，易知平面ABCD的一个法向量mn,n22则，所以平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值为.mn22的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，b4，1aSn,a3S422bn18.已知等差数列nn364．（1）求数列和的通项公式；abnnanncc的前n项和n；n（2）令（3）令，求数列n334pnppAnAn，数列的前n项和，求证：．nn22anan2b4；n【答案】（1），nn1n2n2)（2）n；433（3）证明见解析.【解析】1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，根据已知条件列方程组可求anbq(q0)n出公差和公比，从而可求出数列和的通项公式；anbnannn21ncnn2)（2）由（1）可得，再利用错位相减法可求出T，n4n41111pnpn2（3）由（1）可得【小问1详解】，再利用裂项相消法可证得结论.n(n2)2nn2设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q(q0)．anbna7,S22因为所以，34a+2d=7a11，解得，41+6d=22d所以数列的通项公式为aa(ndn2．ann1bbq24q264q0，由q4，得，31所以数列通项公式为bbqn144n14．bnnn1【小问2详解】1nannn24nnn2)423n1n1141411T147nn2)，①n4441213141n1n114n147nn2)，②444441213141nn1311n3n2)①②，44444442n111144n1113n2)41414nn1n1141114121n2)n2)4441n2n2)所以n433【小问3详解】32a31n证明：因为，2n2)nn1111pnpn2所以所以n(n2)2nn211111111111n232435n1n1nn212111311112n1n242n1n2110因为所以n1n23n．4x22y2219.已知椭圆C：1（ab0）的一个焦点为F，其短轴长是焦距的3倍，点A为椭圆上abAF的最大值为3.任意一点，且（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：ym与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.x问：轴上是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.x2y21【答案】（1）43（2）存在，定点M1,0【解析】b2ccc0퐹(−푐,0)ac3ac、b、1为ca2b2求出椭圆方程；ym（2）联立x2y2，消元，根据题意可得m0且Δ0，从而可求得k,m的关系式及点P的坐143标，在求出点Qx的坐标，假设在轴上存在定点M满足条件，设Mx,0，则0，从而可得1出结论.【小问1详解】依题意设焦距为cc0，一个焦点为퐹(−푐,0)，AF的最大值为，则ac3，3因为点A为椭圆上任意一点，且b2ca2ac3c1则，解得b3ca2b2x2y2所以椭圆C的方程【小问2详解】1；43ym，消元可得4k3x84m120，22222由xy143∵动直线l:ym与椭圆Cm0且Δ0，有且只有一个公共点P，设(푥,푦)，푃0064k2m244k234m2120即，)化简得4k2m230，，44k34k3x0y0P,此时，，即，4k23mmmmym由，得，Q4kmx4，xMx,0假设在轴上存在定点M满足条件，设1*式的，k恒成立，m则0对满足4k3m1,，4x,4km，m1由0，16k4k12k4xx2130，得1mmmk整理得41421413xm由于式对满足*式的,k恒成立，4x401x11所以，解得，x241301故存在定点，使得以M1,0为直径的圆恒过点M.【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略：（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点；（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点；（3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明.120.已知函数fx2axx，aRx2（1）当a1时，求函数在fxx1处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；fx（3）当函数有两个极值点且xx4fx2fx13ln2.证明：12.fxx,x12122x2y30【答案】（1）（2）答案见解析【解析】（3）证明见解析1fxx2xx