山东专用2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析

PAGE10-其次章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2.函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．学问点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特别的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的随意性；其次，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允很多对一，但不允许一对多．2．推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列推断不正确的为(ABC)A．函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个B．已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3C．y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,x＋3，x>1或x<－1，))则f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，－1≤x≤1，,－x＋3，x>1或x<－1))题组二走进教材2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．3．(必修1P24T4改编)已知f(x5)＝lgx，则f(2)等于(D)A．lg2 B．lg32C．lgeq\f(1,32) D．eq\f(1,5)lg2[解析]解法一：由题意知x>0，令t＝x5，则t>0，x＝teq\f(1,5)，∴f(t)＝lgteq\f(1,5)＝eq\f(1,5)lgt，即f(x)＝eq\f(1,5)lgx(x>0)，∴f(2)＝eq\f(1,5)lg2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2eq\f(1,5)，∴f(2)＝lg2eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)lg2.故选D．4．(必修1P25BT1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].题组三考题再现5．(2024·江苏，5分)函数y＝eq\r(7＋6x－x2)的定义域是[－1,7].[解析]要使函数有意义，则7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．6．(2024·陕西，5分)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))则f[f(－2)]＝(C)A．－1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)[解析]∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)，∴f[f(－2)]＝f(eq\f(1,4))＝1－eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，故选C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一函数的概念及表示考向1函数与映射的概念——自主练透例1(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x.③A＝N，B＝Q，f：x→y＝eq\f(1,x2).④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．(2)(多选题)(2024·河南安阳模拟改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(BC)(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？①f1：y＝eq\f(x,x)；f2：y＝1；f3：y＝x0.②f1：y＝eq\r(x2)；f2：y＝(eq\r(x))2；f3：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,－x，x<0.))③f1：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))f2：xx≤11<x<2x≥2y123f3：[解析](1)①是映射，也是函数；②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数；④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．(2)A图象不满意函数的定义域，不正确；B、C满意函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满意函数的定义，故选B、C．(3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．[答案](1)①是映射，也是函数②不是映射，更不是函数③不是映射，更不是函数④是映射，但不是函数(3)不同函数①②；同一函数③名师点拨☞1．映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在其次个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特别的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．2．推断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域肯定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．考向2求函数的解析式——师生共研例2已知f(x)满意下列条件，分别求f(x)的解析式．(1)已知f(eq\r(x)－1)＝x－2eq\r(x)，求f(x)；(2)函数f(x)满意方程2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝2x，x∈R且x≠0.求f(x)；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(0)＝1，对随意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．[分析](1)利用换元法，即设t＝eq\r(x)－1求解；(2)利用解方程组法，将x换成eq\f(1,x)求解；(3)已知函数类型，可用待定系数法；(4)由于变量较多，可用赋值法求解．[解析](1)解法一：设eq\r(x)－1＝t(t≥－1)，∴eq\r(x)＝t＋1，x＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(t)＝t2＋2t＋1－2(t＋1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．解法二：由f(eq\r(x)－1)＝x－2eq\r(x)＝(eq\r(x)－1)2－1，∵eq\r(x)≥0，∴eq\r(x)－1≥－1，∴f(x)＝x2－1(x≥－1)．(2)因为2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝2x，①将x换成eq\f(1,x)，则eq\f(1,x)换成x，得2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝eq\f(2,x).②由①②消去f(eq\f(1,x))，得3f(x)＝4x－eq\f(2,x).所以f(x)＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3x)(x∈R且x≠0)．(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.))故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.名师点拨☞函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)．此时要留意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f(x)与f(eq\f(1,x))或f(－x)等的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．(5)赋值法：给变量给予某些特别值，从而求出函数解析式．〔变式训练1〕(1)已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝1－x2，x∈[－1,1].(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x(x∈R).(3)定义在R上的函数f(x)满意f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－eq\f(xx＋1,2).[解析](1)(换元法)设cosx＝t，t∈[－1,1]，∵f(cosx)＝sin2x＝1－cos2x，∴f(t)＝1－t2，t∈[－1,1]．即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x(x∈R)．(3)(转换法)当－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以当－1≤x≤0时，f(x)＝－eq\f(xx＋1,2).考点二分段函数及应用——多维探究角度1分段函数求值问题例3(2024·山西太原期中)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥2，,fx＋1，x<2，))则f(log23)＝(A)A．eq\f(1,6) B．3C．eq\f(1,3) D．6[解析]∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥2，,fx＋1，x<2，))∴f(log23)＝f(log23＋1)＝(eq\f(1,2))log23＋1＝(eq\f(1,2))logeq\f(1,2)eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故选A．角度2分段函数与方程的交汇问题例4设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx2，－1<x<0，,ex－1，x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，则a＝1或－eq\f(\r(2),2).[解析]由于f(1)＝e1－1＝1，再依据f(1)＋f(a)＝2得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，解得a＝1；当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，解得a2＝eq\f(1,2)＋2k，k∈Z.由－1<a<0，得a＝－eq\f(\r(2),2).综上，a＝1或－eq\f(\r(2),2).角度3分段函数与不等式的交汇问题例5(2024·全国Ⅰ，12)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满意f(x＋1)<f(2x)的x取值范围是(D)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)[解析]画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知：①当x＋1≥0且2x≥0，即x≥0时，f(2x)＝f(x＋1)，不满意题意；②当x＋1>0且2x<0，即－1<x<0时，f(x＋1)<f(2x)明显成立；③当x＋1≤0时，x≤－1，此时2x<0，若f(x＋1)<f(2x)，则x＋1>2x，解得x<1.故x≤－1.综上所述，x的取值范围为(－∞，0)．名师点拨☞分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要依据分段函数的不同分段区间进行分类探讨，最终应留意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·江西抚州质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－22m＋1，x≤3，,log2x－3，x>3，))其中m∈R，则f(3＋4m)＝(A)A．2m B．6C．m D．2m或6(2)(角度2)(2024·安徽江淮十校联考)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－2，则f(4－a)＝(C)A．－4 B．－2C．－1 D．0(3)(角度3)(2024·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满意f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1的x的取值范围是(－eq\f(1,4)，＋∞).[解析](1)因为3＋4m>3，所以f(3＋4m)＝log24m＝2m，故选A．(2)当a≤1时冲突；当a>1时，令－log2(a＋1)＝－2得a＝3，∴f(4－a)＝f(1)＝－1，故选C．(3)当x>eq\f(1,2)时，x－eq\f(1,2)>0，f(x)>2eq\f(1,2)＝eq\r(2)，f(x－eq\f(1,2))>20＝1，∴f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1，在x>eq\f(1,2)时恒成立，当0<x≤eq\f(1,2)时，x－eq\f(1,2)≤0，f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＝2x＋(x－eq\f(1,2))＋1>1，当x≤0时，x－eq\f(1,2)<0，此时f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＝x＋1＋(x－eq\f(1,2))＋1＝2x＋eq\f(3,2)，令f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1，则有2x＋eq\f(3,2)>1，∴x>－eq\f(1,4)，当－eq\f(1,4)<x≤0时，有f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1恒成立，综上，当x>－eq\f(1,4)时，f(x)＋f(x－eq\f(1,2))>1恒成立．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升数学抽象——函数新定义问题中的核心素养例6设函数f(x)的定义域为D，若对随意