初中中考数学函数专题专题32多函数综合问题含答案及解析

专题32多函数综合问题知识对接考点一、函数图象问题根据函数性质判断函数图象此类试题在考查时通常会给出2个及以上含相同字母系数的函数表达式,但这些系数在不同的函数表达式中代表的意义不同.①若题目中已经明确其中一个函数的图象,则结合该函数表达式,判断出各相关系数的符号,再去判断其他函数的大致图象即可;②若题目中没有明确任意一个函数的图象,则可分情况分析判断,若推出的结果与假设条件矛盾,则该项假设不成立.分析几何图形中的函数图形①函数解析式法:分析运动过程,确定各个变化区间,用含未知数的式子表示出线段长或者面积,根据函数的性质和自变量的取值范围进行分析;②特殊范围或特殊值法:观察选项中各个函数图象,根据运动的性质,在同一取值范围内,对函数图象的走势和变化快慢进行对比和分析,必要时可将特殊点坐标代入求值,可快速进行判断.分析实际问题中的函数图象实际问题中的函数图象题的解题技巧:①关注特殊点.起点:确定初始状态;交点:此时纵坐标相等;转折点:图象在该点前后状态改变.②分析图象变化趋势:图象上升,y值增大;图象下降,y值减小;图象为一段与x轴平行的线段,y值不变.还可根据y值变化的急缓程度分析运动过程.考点二、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题考点补充：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点三、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题考点补充：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.∴.考点四、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题考点补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.（2）如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点五、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移考点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点五、函数的应用1.一次函数的实际应用2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用考点补充：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.专项训练一、单选题1．如图所示，已知点，，……在直线上，点，，……在x轴上，点，，……分别在y轴、、上，四边形、、……都是正方形，则下列说法：①点的坐标是；②；③点的横坐标是；④正方形的边长是其中错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．如图，正方形的边AB在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F．已知，则等于（）A． B． C． D．3．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（）A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）4．下列命题正确的是（）．A．内错角相等B．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为，C．甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西D．在同一平面内，，，是直线，且，，则5．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝-x＋4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知二次函数与轴交于点与，其中，方程的两根为，，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E．若，，，则k的值为（）A．3 B． C．6 D．1210．如图，已知点、、都在反比例函数的图象上，点、、都在轴上，，，都是等边三角形，则点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，直线交双曲线（）于点D，点A在直线上，且，过点A作轴，交双曲线（）于点C，交x轴于点B，且，则________．12．如图，二次函数的图象经过点，．有下列结论：①图象的对称轴为直线：；②；③若，则；④一元二次方程的两个根分别为-1和，其中正确的结论有_______（填序号）．13．若直线向上平移a个单位后，与直线的交点在第一象限，则符合条件的a值可以是___________．（写出满足题意的一个值）14．如图1，点P从的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为___．15．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标________．三、解答题16．在直角坐标平面内，己如三角形三个顶点分别为：，，，将向右平移个单位，再向下平移个单位得到．（1）写出点对应点的坐标：；（2）若内部有一点，求的对应点的坐标：；（3）求三角形的面积．17．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格所在的坐标平面里，有A、B两个格点，其中A点的坐标为．（1）先画出网格所在的坐标平面里的平面直角坐标系，再直接写出格点B的坐标；（2）请在网格中找出格点D(0，1)，并求出△ABD的面积；（3）平移线段AD到BC（使A点的对应点为B点，D点的对应点为C点)，连接CD交x轴于一点P，直接写出点Р的坐标：_______________．18．2021年春季开学，某校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派总务处李老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用（元）与购买洗手液的数量（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）请求出与之间的函数关系式；（2）如果该校共有名教职工，请你帮李老师设计最省钱的购买方案．19．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（km）与甲车行驶时间（h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）A、B两城相距千米；（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离与的关系式．（3）求甲车出发几小时，两车相距50千米？20．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）当DP=6时，求t的值；（3）如图2，作PF∥x轴，交直线于点F．在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？22．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A，点，交y轴于点C，点是线段OB上一点与点O、B不重合，过点M作轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．（1）求二次函数的表达式；（2）若，求QP的长；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝图象交于点C、D，且点C（﹣2，3），点D的纵坐标是﹣1．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出当y1＞y2时x的取值范围是；（3）若点E是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，连接OE、AF，如果S△BAF＝4S△EFO，求点E的坐标．

专题32多函数综合问题知识对接考点一、函数图象问题根据函数性质判断函数图象此类试题在考查时通常会给出2个及以上含相同字母系数的函数表达式,但这些系数在不同的函数表达式中代表的意义不同.①若题目中已经明确其中一个函数的图象,则结合该函数表达式,判断出各相关系数的符号,再去判断其他函数的大致图象即可;②若题目中没有明确任意一个函数的图象,则可分情况分析判断,若推出的结果与假设条件矛盾,则该项假设不成立.分析几何图形中的函数图形①函数解析式法:分析运动过程,确定各个变化区间,用含未知数的式子表示出线段长或者面积,根据函数的性质和自变量的取值范围进行分析;②特殊范围或特殊值法:观察选项中各个函数图象,根据运动的性质,在同一取值范围内,对函数图象的走势和变化快慢进行对比和分析,必要时可将特殊点坐标代入求值,可快速进行判断.分析实际问题中的函数图象实际问题中的函数图象题的解题技巧:①关注特殊点.起点:确定初始状态;交点:此时纵坐标相等;转折点:图象在该点前后状态改变.②分析图象变化趋势:图象上升,y值增大;图象下降,y值减小;图象为一段与x轴平行的线段,y值不变.还可根据y值变化的急缓程度分析运动过程.考点二、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题考点补充：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点三、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题考点补充：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.∴.考点四、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题考点补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.（2）如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点五、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移考点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点五、函数的应用1.一次函数的实际应用2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用考点补充：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.专项训练一、单选题1．如图所示，已知点，，……在直线上，点，，……在x轴上，点，，……分别在y轴、、上，四边形、、……都是正方形，则下列说法：①点的坐标是；②；③点的横坐标是；④正方形的边长是其中错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】A【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher根据，求出，然后利用已知结合一次函数及正方形的性质，推出、、，，的规律，及推出正方形边长的规律，，，，，然后利用规律依次进行判断．【详解】解：如图：，，，又，，又四边形为正方形，，，，，，故①正确；又，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，又四边形为正方形，，，，，，故②正确；、、，，点的横坐标是，故③错误；，，，，，故④正确；综上所述：③错误，故选：A．【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，结合正方形的性质，寻找到点的坐标规律是解题的关键．2．如图，正方形的边AB在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F．已知，则等于（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】D【分析】根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定，再根据F点的纵坐标为1，且F在反比例函数上，得到F点的横坐标为，由此求解即可．【详解】解：∵四边形为正方形，且，，∴，，，∵，∴，∴E点坐标为，把E点坐标代入反比例函数，得，又∵F点的纵坐标为1，且F点在反比例函数的图像上，∴F点的横坐标为，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2021更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher次碰到球桌边时，小球的位置是（）A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置．【详解】解：由图可得，点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），第二次碰撞后的点的坐标为（3，4），第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），第四次碰撞后的点的坐标为（8，1），第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），…，∵2021÷6=336…5，∴小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（5，4），故选：B．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．4．下列命题正确的是（）．A．内错角相等B．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为，C．甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西D．在同一平面内，，，是直线，且，，则【答案】B【分析】依据平行线的性质判断A项，依据互余互补的定义判断B项，依据方位确定方法判断C项，依据平行线的判定判断D项，对各选项分析判断后即可求解．【详解】解：A.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误；B.一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为，，故此项正确；C.甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西，故此项错误；D.在同一平面内，，，是直线，且，，则，故此项错误；故选：B．【点睛】本题主要考平行线的性质和判断，互余互补的定义，以及方位的确定，明确各定义、性质、判定是解答此题的关键．5．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）根据AB段火车在隧道内的长度保持不变，可得知火车的长度；（2）在BC段，火车离开隧道所用的时间是5秒，路程是150米，可算出火车的速度；（3）由于火车匀速行驶，因此火车进入隧道与离开隧道的时间相同，都是5秒，进而可得到火车在隧道内的时间；（4）火车走过的路程减去火车的长度即为隧道的长．【详解】解：（1）分析图知，AB段火车在隧道内的长度保持不变，可得知火车的长度为150米，所以结论①错误；（2）在BC段，火车离开隧道所用的时间是5秒，路程是150米，可算出火车的速度为：米/秒，结论②正确；（3）由于火车匀速行驶，因此火车进入隧道与离开隧道的时间相同，都是5秒，所以火车整体都在隧道内的时间为：秒，结论③正确；（4）米，所以隧道长为900米，结论④错误．综上所述，只有结论②和③正确．故选：B【点睛】本题考查变量之间关系的实际应用，根据图形进行分析计算是解题关键．6．如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝-x＋4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．【答案】C【分析】作点E关于AC的对称点，连接交AC于点P，连接，PB＋PE的最小值即的长，根据解析式求出点A、C、E的坐标，再证明，利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：作点E关于AC的对称点，连接交AC于点P，连接，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此时PB＋PE的最小值即的长，∵线段AC所在直线的解析式为y＝－x＋4，∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，∴A(0，4)，C(4，0)，∵E是AB的中点，∴E(0，2)，∴AB=BC=4，AE=2，∴为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，由对称可得，，，∴，∴在中，，∴PB＋PE的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数求点的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活应用各性质是解题的关键．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对③进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对④进行判断．【详解】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b＋c＞0，所以①结论正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以②结论错误；③∵b＝﹣2a，∴3a＋b＝3a﹣2a＝a＜0，所以③结论错误；④∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴＝n，∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④结论正确；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．已知二次函数与轴交于点与，其中，方程的两根为，，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】把方程的两根为m、n（），理解为二次函数与直线的交点的横坐标分别为、，利用二次函数交点与方程根的关系，即可得出它们之间的关系．【详解】解：根据题意及二次函数与方程解得关系可得：，，∵方程有两个不相等的根，且，∴根据判别式得：，∴①错误；根据（1）可得：，∴②错误；∵，∴③④错误；∵且，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∴⑤正确．综上可得：只有1个正确，故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程根的联系，解答本题的关键是准确理解二次函数与x轴交点与一元二次方程根的关系．9．如图，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E．若，，，则k的值为（）A．3 B． C．6 D．12【答案】A【分析】设，，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．【详解】∵，∴设，，则，点，∵，∴，∵，∴点，∵反比例函数的图像经过点D、E，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得或（舍去），∴．故选：A.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．10．如图，已知点、、都在反比例函数的图象上，点、、都在轴上，，，都是等边三角形，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别过作x轴的垂线，垂足分别为，并设，，的边长分别为2a，2b，2c，则利用等边三角形的性质可分别求得a，b，c的值，从而可求得结果．【详解】如图，分别过作x轴的垂线，垂足分别为，设，，的边长分别为2a，2b，2c∵是等边三角形，轴∴OC=a，由勾股定理可得∴点A1的坐标为更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵点A1在反比例函数的图象上∴解得a=1或a=－1（舍去）∴OB1=2同理，在等边三角形中，B1D=b，A2D=∴点A2的坐标为∵点A2在反比例函数的图象上∴解得或（舍去）∴∴OB2=同理可得A3的坐标为∵点A3在反比例函数的图象上∴解得或（舍去）∴∴OB3=∴点B3的坐标为故选：A更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理等知识，关键是作每个等边三角形的高，进而得出点的坐标．二、填空题11．如图，直线交双曲线（）于点D，点A在直线上，且，过点A作轴，交双曲线（）于点C，交x轴于点B，且，则________．【答案】【分析】如图，过点D作轴于点E，设点，则，，代入可求解.【详解】如图，过点D作轴于点E，设点，∵，轴，，∴，，∴，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与图形的面积问题，根据平行线的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征表示面积关系是解题的关键.12．如图，二次函数的图象经过点，．有下列结论：①图象的对称轴为直线：；②；③若，则；④一元二次方程的两个根分别为-1和，其中正确的结论有_______（填序号）．【答案】①②④【分析】由点、的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可判断①；利用交点式写出抛物线解析式为，则可对②进行判断；配成顶点式得，计算时，，则根据二次函数的性质可对③进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对④进行判断．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：由点、的坐标知，二次函数图象的对称轴是直线，故①正确；二次函数的图象经过点，点，抛物线解析式为，即，，，，故②正确；当时，，，当时，则，所以③错误；，，方程化为，整理得，解得，，所以④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质的关系，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．13．若直线向上平移a个单位后，与直线的交点在第一象限，则符合条件的a值可以是___________．（写出满足题意的一个值）【答案】2（答案不唯一）【分析】直线向上平移a个单位后可得：y＝−2x+a，求出直线y＝−2x+a与直线的交点，再由此点在第一象限可得出a的取值范围，进而即可求解．【详解】解：直线向上平移a个单位后可得：y＝−2x+a，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第一象限，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得：a＞1．∴a可取2，故答案为2．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．14．如图1，点P从的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为___．【答案】10【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC=BC=13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP=12，根据勾股定理可得AP=5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．【详解】根据题图②可知：当点P在点A处时，，当点P到达点B时，，∴为等腰三角形，当点P在AB上运动且CP最小时，时，，∴的AB边的高为12，如解图，当时，，在中，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．15．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标________．【答案】【分析】先求出“凸”形的周长为20，得到的余数为1，由此即可解决问题．【详解】解：，，，，，∴，“凸”形的周长为20，又∵的余数为1，细线另一端所在位置的点在的中点处，坐标为．故答案为：．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．三、解答题16．在直角坐标平面内，己如三角形三个顶点分别为：，，，将向右平移个单位，再向下平移个单位得到．（1）写出点对应点的坐标：；（2）若内部有一点，求的对应点的坐标：；（3）求三角形的面积．【答案】（1）（1，-6）；（2）（a+2，b-3）；（3）18【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，画出相应的图形，再根据平面直角坐标系写出点C′的坐标；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】解：（1）如图所示；C'（1，-6）；（2）P'（a+2，b-3）；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）S△ABC＝8×6−×3×4−×4×6−×8×3=18．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．17．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格所在的坐标平面里，有A、B两个格点，其中A点的坐标为．（1）先画出网格所在的坐标平面里的平面直角坐标系，再直接写出格点B的坐标；（2）请在网格中找出格点D(0，1)，并求出△ABD的面积；（3）平移线段AD到BC（使A点的对应点为B点，D点的对应点为C点)，连接CD交x轴于一点P，直接写出点Р的坐标：_______________．【答案】（1）作图见解析部分，B（-5，0）；（2）8.5；（3）P（，0）【分析】（1）根据点A的坐标确定平面直角坐标系即可，再根据点B的位置写出坐标即可．（2）利用分割法把三角形面积长方形面积减去周围三个三角形面积即可．（3）设P（m，0），则有（m+5）×4=8.5，解方程求出m即可．【详解】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示，B（-5，0），故答案为：（-5，0）．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）S△ABD=5×4-×3×4-×2×3-×1×5=8.5．（3）设P（m，0），则有（m+5）×4=8.5，∴m=，∴P（，0）．【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．2021年春季开学，某校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派总务处李老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用（元）与购买洗手液的数量（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）请求出与之间的函数关系式；（2）如果该校共有名教职工，请你帮李老师设计最省钱的购买方案．【答案】（1），；（2）当时，，活动一和二费用一样；当更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher时，，活动一省钱；当时，活动二省钱【分析】（1）根据题意求得单价，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）求得当时的的值，在结合题意，观察图像即可分析出购买方案．【详解】解：（1）500元购买100瓶，洗手液的单价为500÷100=5元/瓶，活动一：，即，活动二：，，，（2）当时，令，即，解得，因为每人2瓶，则，即当时，则时，；根据图像可知，当，即时，当，即时．当时，，活动一和二费用一样；当时，，活动一省钱；当时，活动二省钱．【点睛】本题考查了函数图像，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，从函数图像获取信息，数形结合是解题的关键．19．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（km）与甲车行驶时间（h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）A、B两城相距千米；（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离与的关系式．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）求甲车出发几小时，两车相距50千米？【答案】（1）300；（2）甲对应的函数解析式为：y=60x，乙对应的函数解析式为y=100x-100；（3）甲车出发小时、1.25小时、3.75小时、小时时，甲、乙两车相距50千米．【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据图象中的信息用待定系数法分别求出甲乙两车对应的函数解析式；（3）根据（2）中的函数解析式，可知它们相遇前和相遇后两种情况相距50千米，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可知：、两城相距300千米；故答案为：300；（2）设甲对应的函数解析式为：，将（5，300）代入，得：，解得：，即甲对应的函数解析式为：，设乙对应的函数解析式为，由题意得：，解得：，即乙对应的函数解析式为：；（3）由题意可得：当乙出发前甲、乙两车相距50千米时，则，解得：（小时），当乙出发后到乙到达终点的过程中甲、乙两车相距50千米时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则，解得：（小时）或（小时），当乙到达终点后甲、乙两车相距50千米时，则，解得：（小时），答：甲车出发小时、1.25小时、3.75小时、小时时，甲、乙两车相距50千米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）当DP=6时，求t的值；（3）如图2，作PF∥x轴，交直线于点F．在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）t=2或t=-6；（3）P（6，6）或（，）【分析】（1）设直线AB的解析式为，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解析式即可；（2）由题意可得P（t,），D（t，-t），则，由此求解即可；（3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵C的横坐标为-2，且C在上，∴C（-2，2），∴，解得∴直线AB的解析式为：；（2）∵动点P的横坐标为t，∴P（t,），D（t，-t），∴，∴解得t=2或t=-6（3）由（2）得P（t,），∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上，∴点P和F的纵坐标相同，∴F（，），∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，∴AE=PF，∵E（t，0）∴解得或∴P（6，6）或（，）．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？【答案】（1）y=300﹣10x（0≤x≤30）；（2）定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，进一步即可求出x的取值范围；（2）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1