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文档简介

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.直线y=2x-1的斜率等于()A.-1 B.1 C.2 D.-22.若双曲线x2m2A.2 B.23 C.4 3.若空间向量a=1,0,1,b=2,1,2,则aA.23 B.23 C.224.已知等差数列{an}n∈N*的前n项和为A.-2 B.-1 C.1 D.25.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1DA.a+b-c B.-a+b+c C.-a+b+c D.-a-b+c6.人们发现,任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述运算,必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下:对于数列{an}n∈N*,a1=m(A.16 B.18 C.20 D.417.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,A,B两点在抛物线C上,并满足AF=3FB,过点A作x轴的垂线,垂足为A.12 B.1 C.2 8.在空间四边形ABCD中,AB⋅BC=A.AB+BC=-C.△ABD≅△DCA D.AC⊥BD二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知数列{an}A.{an2}是等比数列C.{an⋅bn10.已知a>-4且a≠0,曲线C:xA.当a>0时,曲线C是椭圆B.当-4<a<0时,曲线C是双曲线C.当a>0时,曲线C的焦点坐标为0,2D.当-4<a<0时,曲线C的焦点坐标为-2,011.如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH相交于点M,则下列结论中正确的是()A.AC//平面EFGHB.AC⊥BDC.AMD.若S,T分别为AC,BD的中点,则M为ST的中点12.已知S={x,y∣x-22+A.当m=12B.当m=2时,P有2个元素C.若P有2个元素,则5D.当0<m<52-1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.点1,2到直线3x+4y-6=0的距离为.14.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F15.已知数列{2n+12n+n2n+1+n+1}n∈N16.已知抛物线C1:x2=4y和C2:x2=-8y.点P在C2上(点P与原点不重合),过点P作C1的两条切线,切点分别为A,B四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知圆C经过原点及点A2,0(1)求圆C的标准方程;(2)过原点的直线l与圆C相交于P,Q两点,若PQ=2,求直线l18.已知数列{an}n∈N*是公比不为1的等比数列,其前n项和为(1)求数列{a(2)若bn=n+12an19.在长方体ABCD-A1B1C①直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为②平面ABB1A1与平面(1)求AA(2)E是线段BD1(不含端点)上的一点,若平面A1C120.如图,圆C的半径为4,A是圆内一个定点且CA=2,P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q,点P(1)求点Q的轨迹;(2)当CP⊥CA时,证明:直线l与点Q形成的轨迹相切.21.某游乐园中有一座摩天轮.如图所示,摩天轮所在的平面与地面垂直,摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为θ的笔直公路,其中cosθ=27.摩天轮近似为一个圆,其半径为35m,圆心O到地面的距离为40m,其最高点为A.A(1)如图所示,甲位于摩天轮的A点处时,从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少?(2)当甲随着摩天轮转动时,从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少?22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知点M2,3,过点Tt,0的直线l与双曲线交于P,Q两点,且直线MP与直线MQ的斜率存在,分别记为k1,k2.问:是否存在实数

答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:由直线的斜截式y=kx+b可知y=2x−1的斜率为k=2.故答案为:C.

【分析】利用直线的斜截式方程的参数的几何意义即可.2.【答案】A【解析】【解答】解:由题意得,e2=c又m>0,则m=2.故答案为:A.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得:a2=m2,3.【答案】C【解析】【解答】解:由题意,得cos⟨故答案为:C.

【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.4.【答案】D【解析】【解答】解:由S5=5(a1∴a1+2d=7故答案为:D.

【分析】本题考查等差数列的性质,等差数列的通项公式.根据等差数列的性质可得:a3=7,再结合a45.【答案】A【解析】【解答】解:由题意可得:D1故答案为:A.

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据图形可得:D1C→=D1D→+6.【答案】B【解析】【解答】解:若a5=1,则由递推关系只能有a4=2,a3当a2=8时,a1=16;当所以m所有可能的取值为16或2,16+2=18.故答案为:B.

【分析】本题考查数列的递推公式.若a5=1,则由递推关系an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数.,只能有a4=27.【答案】B【解析】【解答】解:由题意得F(p当过F的直线斜率不存在时,AF=当过F的直线斜率存在时,设为y=k(x−p2)k2设A(x1,因为AF=3FB,所以又|FM|=1,故x1−p故3(p2−故(1+p2)(故答案为:B.

【分析】本题考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质.本题需要分过F的直线斜率不存在和存在两种情况.当过F的直线斜率不存在时,AF=FB,不合要求;当过F的直线斜率存在时,设为y=k(x−p2)联立抛物线可得:y=k(x−p2)y2=2px,消y可得:k2x2−(2k28.【答案】D【解析】【解答】解:依题意,AB+显然(AB+BC因此AB2由BC+CD=于是|AD|=|BC由CD⋅DA=DA⋅AB,得DA⋅(AB使OE=CO,连接BE,DE,AE,取AE中点F,连接则|AD|=于是AB+DC=AB+DE⊥BF,而AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE,则BF⊥平面ADE,又因此BF⊥DF,BD=2OF=AC,而AB=CD,AD为公共边,所以△ABD≌显然线段BC,CD不一定相等,而BF=B即直角三角形BFD的两条直角边不一定相等,FO与BD不一定垂直,又FO//所以AC,故答案为:D.

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据向量的线性运算可得:AB+BC=AC=−CA=−(CD+DA).对式子9.【答案】A,C【解析】【解答】解:A、设数列{an}的公比为q故an+12aB和D、设an=1,bn所以an+bC、设数列{an}的公比为q,数列{则an+1⋅b故答案为:AC.

【分析】本题考查等比数列的定义和等差数列的的定义.设数列{an}的公比为q,则an+1an=q,故an+12an2=q2,所以{an2}10.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:A、若a>0,则4+a>a>0,故曲线C是焦点在x轴上的椭圆,A正确;B、若−4<a<0,则4+a>0,a<0,故曲线C是焦点在y轴上的双曲线,B正确;C、a>0时,由A可得曲线C是焦点在x轴上的椭圆,C错误;D、−4<a<0时,由B可得曲线C是焦点在y轴上的双曲线,曲线C:x2双曲线C的半焦距为4+a+(−a)=2,故焦点坐标为(−2,0),(2,0)故答案为:ABD.

【分析】本题考查椭圆方程,双曲线方程.对于AC,若a>0,则4+a>a>0,故曲线C是焦点在x轴上的椭圆,故A正确,C错误;对于B,若−4<a<0,则4+a>0,a<0,故曲线C是焦点在y轴上的双曲线;对于D,−4<a<0时,曲线C是焦点在y轴上的双曲线,曲线C:x24+a+y211.【答案】A,C,D【解析】【解答】解:A、因为E,F分别是AB,又因为EF⊂平面EFGH,AC⊄平面EFGH,所以AC//平面EFGH,A正确;B、由A可得,EF//AC,因为F,G分别是BC,由题中条件得不到EF与FG垂直,所以也得不到AC与BD垂直,B错误;C、AM==1D、因为T是BD的中点,所以AT=又因为S是AC的中点,所以AS=所以AT+所以M为ST的中点,D正确.故答案为:ACD.

【分析】本题考查直线与平面平行的判定,异面直线垂直的判定,空间向量的线性运算.已知E,F分别是AB,BC的中点,根据三角形的中位线定理可得:EF//AC,根据线面平行的判定定理可得AC//平面EFGH;已知F,G分别是BC,CD的中点,根据三角形的中位线定理可得:FG//BD,又知EF//AC,所以可将AC与BD的位置关系转化为EF与FG的关系进行判断,又因为题中条件得不到T是BD的中点,根据三角形中线向量公式可得:AT=12(AB+AD).又知S是AC的中点,所以12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:A、m=1(x−2)2+(y−12)2由(x−2)2+(0−12故A(2−3(x−2)2+(y+12)2由(x−2)2+(0+12同理可得A(2−3故S表示的部分如图所示,{(x,y)|y=0}表示x轴,故B、当m=2时,(x−2)2+(y−2)2=1整个圆位于x轴上方,(x−2)2+(y+2)2=1,由于圆心(2故S表示的部分如图所示,由于圆心(2,2)到y=1故直线y=12x与圆(x−2)C、当m=0时,此时两圆圆心相同,半径相等,此时S表示的部分如图所示,此时直线y=12x与SD、当0<m<5(x−2)2+(y−m)2=1,由于圆心(2(x−2)2+(y+m)2=1|m+1|1+画出S表示的部分如图所示,此时直线y=1所以P有4个元素,D正确.故答案为:ABD.

【分析】本题考查点集,集合的交集运算和并集运算.A选项,当m=12时,(x−2)2+(y−12)2=1,y≥0表示圆心为(2,12),半径为1的圆位于x轴上方的部分(包括x轴上的两点),(x−2)2+(y+12)2=1,y≥0表示圆心为(2,−12),半径为1的圆位于x轴上方的部分(包括x轴上的两点),进而可画出S表示的部分图形,求出与x轴的交点坐标,可判断A选项;B选项,当m=2时,S为(x−2)2+(y−2)213.【答案】1【解析】【解答】解:点P(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离故答案为:1.

【分析】利用点到直线的距离公式即可.14.【答案】3【解析】【解答】解:由椭圆定义可得|PF1|+|P故|PF由余弦定理得cos∠故20a29解得ca=故答案为:3【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知|PF1|=2|PF2|结合椭圆定义可求出15.【答案】4【解析】【解答】解:由于2n故Sn由Sn>17即2n+1+n+1>20,由于2n+1且n=3时,2n+1+n+1=20,n=4时,故n的最小值为:4.故答案为:4.

【分析】本题考查裂项相消求数列的和.观察可得:可将2n+1(2n+n)(2n+1+n+1)化为12n+n−16.【答案】2【解析】【解答】解:依题知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB:y=kx+b,(联立y=kx+bx2=4y则Δ=16kx1设过A点的切线方程为y−y则y−y1=由Δ=16k12故过A点的切线方程为y−y1=同理过B点的切线方程为y=x联立得x=x1+则(2k)2设C(联立y=kx+bx2=−8yΔ=64kx3|AB故答案为:22

【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意可知直线AB的斜率存在且不为0,据此设出直线AB方程y=kx+b,联立y=kx+bx2=4y,得x2−4kx−4b=0,根据韦达定理可得:x1+x217.【答案】(1)解:设原点为O,易知OA⊥OB,线段AB的中点为圆心,圆心坐标为1,3线段AB的长为圆C的直径,AB=4,半径r=2圆C的标准方程为x-1(2)解:①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,令x=0,代入圆C的标准方程,解得y=0或y=23,则PQ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,将其转化为一般式方程kx-y=0,圆心到直线的距离为d,则d=k-3k化简得k=0或k=-3,即直线l的方程为y=0或【解析】【分析】本题考查圆的方程,直线与圆的位置关系.(1)由OA⊥OB,可知线段AB的中点为圆心,线段AB的长为圆C的直径,利用两点间的距离公式可求出AB=4,所以半径r=2,根据中点坐标公式可求出圆心为1,(2)分直线l的斜率是否存在进行讨论:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,将直线方程x=0代入圆C的方程(x−1)2+(y−3)2=4,解得y=0或y=23,则PQ=23,不符合题意.;当直线l的斜率存在时,因为直线l经过原点,所以设直线l的方程为y=kx,利用圆的弦长公式可求出18.【答案】(1)解:设等比数列{an}3a1+∵a1≠0,得3+q2由于q=1不符合题意,因此q=3.由S3=26得,a1+a2(2)解:由题意得,bn=2n+1则3T则-2T则-2TT【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式,错位相减法求数列的和.(1)已知3a1,2a2,(2)由(1)可得:an=2⋅3n−1.所以19.【答案】(1)解:如图,以B点为坐标原点,以BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,则B0,0,0设AA1=a设平面ACD1的法向量n⋅AC→=x1-y1若选择条件①,AB=0,-1,0,设直线AB与平面ACD则sinθ=解得a=2.即AA若选择条件②,易知平面ABB1A设平面ABB1A1与平面则cosα=解得a=2.A(2)解:由题(1)得,D11,1,2,A10,1,2,C1设BE=λBD设平面A1C1E的法向量s=x2,又AE=λ,λ-1,2A,AD=1,0,0,设平面t⋅AE→=-λx3+∵平面A1C1E⊥平面ADE,解得λ=16【解析】【分析】本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角,平面与平面所成的角,平面与平面垂直.(1)以BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AA1=a,利用向量法求出平面ACD1的法向量,①直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为23,代入直线与平面所成的角的公式可求出a=2;②平面ABB(2)设BE=λBD1=(λ,λ,2λ),(λ≠1),求出平面A1C20.【答案】(1)解:∵CP=QC+QP因为QC+QA>CA=2.所以Q与两个定点C由椭圆的定义得,Q点的轨迹是以C,A为焦点,长轴长等于4的椭圆.(2)解:以线段CA的中点为坐标原点O,以过点C,A的直线为x轴,以线段CA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,设椭圆的标准方程为x2由椭圆的定义得:2a=4,即a=2;2c=2,即c=1.则椭圆的标准方程为x2当CP⊥CA时,P点的坐标为-1,4和-1,-4.当P点的坐标为-1,4时,已知A点的坐标为1,0,线段PA的中点坐标为0,2,直线AP的斜率为4-0-1-1直线l的方程y=12x+2,联立方程y=整理得x2+2x+1=0,可得所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点,即直线l与点Q形成的轨迹相切.当P点的坐标为-1,-4时,同理可证.【解析】【分析】本题考查椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系.(1)已知P是圆C上任意一点,所以CP=QC+QP=4,又知线段AP的垂直平分线为l,所以QP=QA,结合CP=QC+QP=4可得:(2)以线段CA的中点为坐标原点O,以过点C,A的直线为x轴,以线段CA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,求出椭圆的标准方程,当CP⊥CA时,P点的坐标为(−1,4)和(−1,−4),求出直线l的方程与椭圆方程联立可得y=12x+2,21.【答案】(1)解:如图所示,设公路所在直线为l,过B点作l的垂线,垂直为D,BD=70m因为圆的半径为35m,圆心O到地面的距离为40m,所以AB=75m.从甲看乙的最大俯角与∠ADB相等,由题意得。(2)解:如图所示,设甲位于圆O上的R点处,直线OF垂直于OA且交圆O于F点,射线OR可以看成是射线OF绕着O点按逆时针方向旋转α角度得到.过R点正下方的地面T点向l作垂线,垂足为S.当tan∠RST取得最大值时,∠tan∠其中,-87-si

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