浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线y=2x-1的斜率等于（）A．-1 B．1 C．2 D．-22．若双曲线x2m2A．2 B．23 C．4 3．若空间向量a=1，0，1，b=2，1，2，则aA．23 B．23 C．224．已知等差数列{an}n∈N*的前n项和为A．-2 B．-1 C．1 D．25．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1DA．a+b-c B．-a+b+c C．-a+b+c D．-a-b+c6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{an}n∈N*，a1=m（A．16 B．18 C．20 D．417．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，A，B两点在抛物线C上，并满足AF=3FB，过点A作x轴的垂线，垂足为A．12 B．1 C．2 8．在空间四边形ABCD中，AB⋅BC=A．AB+BC=-C．△ABD≅△DCA D．AC⊥BD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知数列{an}A．{an2}是等比数列C．{an⋅bn10．已知a>-4且a≠0，曲线C：xA．当a>0时，曲线C是椭圆B．当-4<a<0时，曲线C是双曲线C．当a>0时，曲线C的焦点坐标为0，2D．当-4<a<0时，曲线C的焦点坐标为-2，011．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH相交于点M，则下列结论中正确的是（）A．AC//平面EFGHB．AC⊥BDC．AMD．若S，T分别为AC，BD的中点，则M为ST的中点12．已知S={x，y∣x-22+A．当m=12B．当m=2时，P有2个元素C．若P有2个元素，则5D．当0<m<52-1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．点1，2到直线3x+4y-6=0的距离为.14．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F15．已知数列{2n+12n+n2n+1+n+1}n∈N16．已知抛物线C1：x2=4y和C2：x2=-8y.点P在C2上（点P与原点不重合），过点P作C1的两条切线，切点分别为A，B四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆C经过原点及点A2，0（1）求圆C的标准方程；（2）过原点的直线l与圆C相交于P，Q两点，若PQ=2，求直线l18．已知数列{an}n∈N*是公比不为1的等比数列，其前n项和为（1）求数列{a（2）若bn=n+12an19．在长方体ABCD-A1B1C①直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为②平面ABB1A1与平面（1）求AA（2）E是线段BD1（不含端点）上的一点，若平面A1C120．如图，圆C的半径为4，A是圆内一个定点且CA=2，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，点P（1）求点Q的轨迹；（2）当CP⊥CA时，证明：直线l与点Q形成的轨迹相切.21．某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为θ的笔直公路，其中cosθ=27.摩天轮近似为一个圆，其半径为35m，圆心O到地面的距离为40m，其最高点为A.A（1）如图所示，甲位于摩天轮的A点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？22．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点M2，3，过点Tt，0的直线l与双曲线交于P，Q两点，且直线MP与直线MQ的斜率存在，分别记为k1，k2.问：是否存在实数

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由直线的斜截式y=kx+b可知y=2x−1的斜率为k=2.故答案为：C.

【分析】利用直线的斜截式方程的参数的几何意义即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，e2=c又m>0，则m=2.故答案为：A.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得：a2=m2,3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，得cos⟨故答案为：C.

【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由S5=5(a1∴a1+2d=7故答案为：D.

【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式.根据等差数列的性质可得：a3=7，再结合a45．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：D1故答案为：A.

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据图形可得：D1C→=D1D→+6．【答案】B【解析】【解答】解：若a5=1，则由递推关系只能有a4=2，a3当a2=8时，a1=16；当所以m所有可能的取值为16或2，16+2=18.故答案为：B.

【分析】本题考查数列的递推公式.若a5=1，则由递推关系an+1=an2，an为偶数，3an+1，an为奇数.，只能有a4=27．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得F(p当过F的直线斜率不存在时，AF=当过F的直线斜率存在时，设为y=k(x−p2)k2设A(x1,因为AF=3FB，所以又|FM|=1，故x1−p故3(p2−故(1+p2)(故答案为：B.

【分析】本题考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质.本题需要分过F的直线斜率不存在和存在两种情况.当过F的直线斜率不存在时，AF=FB，不合要求；当过F的直线斜率存在时，设为y=k(x−p2)联立抛物线可得：y=k(x−p2)y2=2px，消y可得：k2x2−(2k28．【答案】D【解析】【解答】解：依题意，AB+显然(AB+BC因此AB2由BC+CD=于是|AD|=|BC由CD⋅DA=DA⋅AB，得DA⋅(AB使OE=CO，连接BE,DE,AE，取AE中点F，连接则|AD|=于是AB+DC=AB+DE⊥BF，而AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE，则BF⊥平面ADE，又因此BF⊥DF，BD=2OF=AC，而AB=CD,AD为公共边，所以△ABD≌显然线段BC,CD不一定相等，而BF=B即直角三角形BFD的两条直角边不一定相等，FO与BD不一定垂直，又FO//所以AC,故答案为：D.

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据向量的线性运算可得：AB+BC=AC=−CA=−(CD+DA).对式子9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、设数列{an}的公比为q故an+12aB和D、设an=1,bn所以an+bC、设数列{an}的公比为q，数列{则an+1⋅b故答案为：AC.

【分析】本题考查等比数列的定义和等差数列的的定义.设数列{an}的公比为q，则an+1an=q，故an+12an2=q2，所以{an2}10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若a>0，则4+a>a>0，故曲线C是焦点在x轴上的椭圆，A正确；B、若−4<a<0，则4+a>0，a<0，故曲线C是焦点在y轴上的双曲线，B正确；C、a>0时，由A可得曲线C是焦点在x轴上的椭圆，C错误；D、−4<a<0时，由B可得曲线C是焦点在y轴上的双曲线，曲线C:x2双曲线C的半焦距为4+a+(−a)=2，故焦点坐标为(−2，0)，(2，0)故答案为：ABD.

【分析】本题考查椭圆方程，双曲线方程.对于AC，若a>0，则4+a>a>0，故曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确，C错误；对于B，若−4<a<0，则4+a>0，a<0，故曲线C是焦点在y轴上的双曲线；对于D，−4<a<0时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，曲线C:x24+a+y211．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因为E,F分别是AB,又因为EF⊂平面EFGH，AC⊄平面EFGH，所以AC//平面EFGH，A正确；B、由A可得，EF//AC，因为F,G分别是BC,由题中条件得不到EF与FG垂直，所以也得不到AC与BD垂直，B错误；C、AM==1D、因为T是BD的中点，所以AT=又因为S是AC的中点，所以AS=所以AT+所以M为ST的中点，D正确.故答案为：ACD.

【分析】本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直的判定，空间向量的线性运算.已知E,F分别是AB,BC的中点，根据三角形的中位线定理可得：EF//AC，根据线面平行的判定定理可得AC//平面EFGH；已知F,G分别是BC,CD的中点，根据三角形的中位线定理可得：FG//BD，又知EF//AC，所以可将AC与BD的位置关系转化为EF与FG的关系进行判断，又因为题中条件得不到T是BD的中点，根据三角形中线向量公式可得：AT=12(AB+AD).又知S是AC的中点，所以12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、m=1(x−2)2+(y−12)2由(x−2)2+(0−12故A(2−3(x−2)2+(y+12)2由(x−2)2+(0+12同理可得A(2−3故S表示的部分如图所示，{(x,y)|y=0}表示x轴，故B、当m=2时，(x−2)2+(y−2)2=1整个圆位于x轴上方，(x−2)2+(y+2)2=1，由于圆心(2故S表示的部分如图所示，由于圆心(2,2)到y=1故直线y=12x与圆(x−2)C、当m=0时，此时两圆圆心相同，半径相等，此时S表示的部分如图所示，此时直线y=12x与SD、当0<m<5(x−2)2+(y−m)2=1，由于圆心(2(x−2)2+(y+m)2=1|m+1|1+画出S表示的部分如图所示，此时直线y=1所以P有4个元素，D正确.故答案为：ABD.

【分析】本题考查点集，集合的交集运算和并集运算.A选项，当m=12时，(x−2)2+(y−12)2=1,y≥0表示圆心为(2,12)，半径为1的圆位于x轴上方的部分（包括x轴上的两点），(x−2)2+(y+12)2=1,y≥0表示圆心为(2,−12)，半径为1的圆位于x轴上方的部分（包括x轴上的两点），进而可画出S表示的部分图形，求出与x轴的交点坐标，可判断A选项；B选项，当m=2时，S为(x−2)2+(y−2)213．【答案】1【解析】【解答】解：点P(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离故答案为：1.

【分析】利用点到直线的距离公式即可.14．【答案】3【解析】【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|P故|PF由余弦定理得cos∠故20a29解得ca=故答案为：3【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知|PF1|=2|PF2|结合椭圆定义可求出15．【答案】4【解析】【解答】解：由于2n故Sn由Sn>17即2n+1+n+1>20，由于2n+1且n=3时，2n+1+n+1=20，n=4时，故n的最小值为：4.故答案为：4.

【分析】本题考查裂项相消求数列的和.观察可得：可将2n+1(2n+n)(2n+1+n+1)化为12n+n−16．【答案】2【解析】【解答】解：依题知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB:y=kx+b,(联立y=kx+bx2=4y则Δ=16kx1设过A点的切线方程为y−y则y−y1=由Δ=16k12故过A点的切线方程为y−y1=同理过B点的切线方程为y=x联立得x=x1+则(2k)2设C(联立y=kx+bx2=−8yΔ=64kx3|AB故答案为：22

【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意可知直线AB的斜率存在且不为0，据此设出直线AB方程y=kx+b，联立y=kx+bx2=4y，得x2−4kx−4b=0，根据韦达定理可得：x1+x217．【答案】（1）解：设原点为O，易知OA⊥OB，线段AB的中点为圆心，圆心坐标为1，3线段AB的长为圆C的直径，AB=4，半径r=2圆C的标准方程为x-1（2）解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，令x=0，代入圆C的标准方程，解得y=0或y=23，则PQ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，将其转化为一般式方程kx-y=0，圆心到直线的距离为d，则d=k-3k化简得k=0或k=-3，即直线l的方程为y=0或【解析】【分析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系.（1）由OA⊥OB，可知线段AB的中点为圆心，线段AB的长为圆C的直径，利用两点间的距离公式可求出AB=4，所以半径r=2，根据中点坐标公式可求出圆心为1，（2）分直线l的斜率是否存在进行讨论：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，将直线方程x=0代入圆C的方程(x−1)2+(y−3)2=4，解得y=0或y=23，则PQ=23，不符合题意.；当直线l的斜率存在时，因为直线l经过原点，所以设直线l的方程为y=kx，利用圆的弦长公式可求出18．【答案】（1）解：设等比数列{an}3a1+∵a1≠0，得3+q2由于q=1不符合题意，因此q=3.由S3=26得，a1+a2（2）解：由题意得，bn=2n+1则3T则-2T则-2TT【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.（1）已知3a1,2a2,（2）由(1)可得：an=2⋅3n−1.所以19．【答案】（1）解：如图，以B点为坐标原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，则B0，0，0设AA1=a设平面ACD1的法向量n⋅AC→=x1-y1若选择条件①，AB=0，-1，0，设直线AB与平面ACD则sinθ=解得a=2.即AA若选择条件②，易知平面ABB1A设平面ABB1A1与平面则cosα=解得a=2.A（2）解：由题（1）得，D11，1，2，A10，1，2，C1设BE=λBD设平面A1C1E的法向量s=x2，又AE=λ，λ-1，2A，AD=1，0，0，设平面t⋅AE→=-λx3+∵平面A1C1E⊥平面ADE，解得λ=16【解析】【分析】本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，平面与平面垂直.（1）以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法求出平面ACD1的法向量，①直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为23，代入直线与平面所成的角的公式可求出a=2；②平面ABB（2）设BE=λBD1=(λ,λ,2λ),(λ≠1)，求出平面A1C20．【答案】（1）解：∵CP=QC+QP因为QC+QA>CA=2.所以Q与两个定点C由椭圆的定义得，Q点的轨迹是以C，A为焦点，长轴长等于4的椭圆.（2）解：以线段CA的中点为坐标原点O，以过点C，A的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，设椭圆的标准方程为x2由椭圆的定义得：2a=4，即a=2；2c=2，即c=1.则椭圆的标准方程为x2当CP⊥CA时，P点的坐标为-1，4和-1，-4.当P点的坐标为-1，4时，已知A点的坐标为1，0，线段PA的中点坐标为0，2，直线AP的斜率为4-0-1-1直线l的方程y=12x+2，联立方程y=整理得x2+2x+1=0，可得所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切.当P点的坐标为-1，-4时，同理可证.【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系.（1）已知P是圆C上任意一点，所以CP=QC+QP=4，又知线段AP的垂直平分线为l，所以QP=QA，结合CP=QC+QP=4可得：（2）以线段CA的中点为坐标原点O，以过点C，A的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，求出椭圆的标准方程，当CP⊥CA时，P点的坐标为(−1,4)和(−1,−4)，求出直线l的方程与椭圆方程联立可得y=12x+2，21．【答案】（1）解：如图所示，设公路所在直线为l，过B点作l的垂线，垂直为D，BD=70m因为圆的半径为35m，圆心O到地面的距离为40m，所以AB=75m.从甲看乙的最大俯角与∠ADB相等，由题意得。（2）解：如图所示，设甲位于圆O上的R点处，直线OF垂直于OA且交圆O于F点，射线OR可以看成是射线OF绕着O点按逆时针方向旋转α角度得到.过R点正下方的地面T点向l作垂线，垂足为S.当tan∠RST取得最大值时，∠tan∠其中，-87-si