湖南重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

湖南重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A．(x+1)2+yC．x2+(y−1)2．直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，则m等于（）A．2 B．-3 C．2或-3 D．-2或-33．已知角α的终边与单位圆的交点为P(−12，A．−33 B．±33 C．4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化､网络化､智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）A．2022年12月 B．2023年2月 C．2023年4月 D．2023年6月5．已知(2x−1)5A．1 B．243 C．121 D．1226．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2A．2−1 B．5−12 C．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yA．12 B．34 C．18．已知当x⩾e时，不等式xa+1A．1 B．1e C．e D．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．某校的4个班级分别从3个景点中选择一处游览，不同的选法的种数是3B．从1，C．两个口袋分别装有2个和3个不同的小球，从两个口袋中分别各取1个球，共有5种取法D．从1，10．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为A．0<q<1 B．aC．Tn的最大值为T7 D．S11．已知函数f(x)=x+sinx−xcosA．f(x)为奇函数 B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点 D．f(x)有且仅有4个极值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为1B．若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，QC．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为2D．若正方体ABCD−A'B'C'D'的棱长为3，点P三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=xlnx+ax2+2，若f'14．若直线x+ay−a−1=0与圆C：(x−2)2+y2=4交于15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c16．如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0，n>0)有公共焦点F1四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数f(x)=(23（1）求函数f(x)的单调递减区间和最小正周期；（2）若当x∈[π6，π218．用总长为523m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和（1）求MN长的最小值；（2）当MN的长最小时，求二面角A−MN−B的正弦值.20．已知数列{an}的首项（1）记bn=a（2）求数列{an}的通项公式及其前2n−121．阅读材料并解决如下问题：Bézier曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau对Bézier曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线Γ：y2（1）求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）如图，A，B，C是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，22．设f(x)=ex(（1）求实数a的值；（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】设复数为z=a+bi(a∈R，b∈R），∵z−i=a+bi−i=a+(b−1)i，∴|z−i|=∵|z−i|=1，∴a2+∴故答案为：C【分析】利用复数的加减运算法则求出复数z−i，再利用复数z−i的实部和虚部表示复数z−i的模，再利用复数z−i的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。2．【答案】C【解析】【解答】解：当m+1=0即m=−1时，两直线为2x+4=0，−x+3y−2=0，两直线不平行，不符合题意；当m=0时，两直线为2x+y+4=0，3y−2=0两直线不平行，不符合题意；当m+1≠0,m≠0即直线2x+(m+1)直线mx+3y−2=0的斜率为−m因为两直线平行，所以−2m+1解得m=2或−3，故答案为：C

【分析】本题考查两直线平行的斜率转化.分三种情况：m+1=0，m=0和m+1≠0,3．【答案】C【解析】【解答】解：∵点P(−12,y)在单位圆上，∴y=±故答案为：C.

【分析】本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式的应用．首先利用单位圆的定义可求出点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义得出cosα,sinα4．【答案】B【解析】【解答】解：每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则70+5n+n化简整理得，n2解得n≈25.17或所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月.故答案为：B.

【分析】本题考查等差数列的的前n项和公式.根据题意分析可知：每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，利用等差数列的前n项和公式可列出关于n的方程，解方程可求出答案．5．【答案】B【解析】【解答】解：解：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故答案为：B.

【分析】本题考查二项式的系数.采用赋值法，对式子|a0|+|a1|+⋯+|a5|去绝对值，可知式子的值可分为两部分.令x=1，可求出式子的展开式中各项系数之和；令x=-1可求出－a5＋a4－a3＋6．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，

因为△PF1F2所以|PF1|=2c,|P故答案为：A.

【分析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单的几何性质的应用.由ΔPF1F2为直角三角形，可得7．【答案】A【解析】【解答】设BD、AE交于O，因为DE∕∕AB，所以△AOB∽△EOD，所以AOOE所以AO=2OE，则AE=所以AF=x因为O、F、B三点共线，所以32x+y=1，即所以2−3x4因为x>0，y>0，所以4y+1当且仅当4y=1y，即y=1所以2−3x4故答案为：A

【分析】先得到AE=328．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，原不等式可变形为e1x−设f(x)=x−lnx，则当x≥e时，因为f'(x)=1−1x=x−1x因为x≥e，a>0所以e1x>1因为f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以要使f(e两边取对数，得1x≤alnx，因为令h(x)=xlnx(x∈[e,所以h(x)在[e,所以h(x)所以0<1xlnx≤1e故答案为：B.

【分析】本题考查函数恒成立问题.原不等式可变形为e1x−lne1x≤xa−lnxa，令f(x)=x−lnx，则问题可转化为：f(e9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A，4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有3×3×3×3=3B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2×5=10个偶数，B正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有2×3=6种取法，C错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有A4故共有4+12=16个分数，故D错误，故答案为：AB.

【分析】本题考查分步乘法和分类加法计算原理，排列组合的实际应用.根据每一个班都有3种选择，利用分步乘法计数原理可求出选法，据此可判断A选项；先确定个位数字的可能数，再确定十位数字的可能性，利用分步乘法计数原理可求出偶数的个数，据此可判断B选项；利用分步乘法原理可求出有几种取法，据此可判断C选项；考虑1作分子情况和不选1时的情况，利用分类加法计算原理可计算出分数的个数，据此可判断D选项.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A.因为a1>1，a7所以a7>1，a8B.a7D.因为a1>1，0<q<1，所以数列{aC.a7>1，a8<1，所以故答案为：AC.

【分析】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式..根据题意分析可得：a7>1，a8<1，利用等比数列的通项公式可判断A选项；利用等比数列的性质可判断B选项；结合11．【答案】B,D【解析】【解答】解：因为f(x)的定义域为[−2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函数，∵f(x)=x+∴f当x∈[0，π)时，f'(x)>0，则f(x)在显然f'(0)≠0，令f'分别作出y=sinx，y=−1由图可知，这两个函数的图象在区间[−2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[−2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点.故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性；再利用增函数的定义判断出函数为增函数；再结合已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点的个数，进而找出正确的选项。12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，设正方体边长为a，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a:B，如图|QE|+|QF|=|QE|+|QF1|，当E,Q,在△AC1M由余弦定理得|EF所以|EF1|=113C，因为点A,不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C，延长D1C1,A则点C,C1,B因为D1E,故由比例关系得C1设正方体的棱长为4a，则C1用几何方法可解得EF=25由余弦定理可得cos∠CEF=sin∠CEF=故S△ECF由CC1⊥平面A1B1C所以由VC1−ECF=Vd=S因为d=1，所以42121a=1所以正方体的棱长为4a=21D，以D为坐标原点，DA,DC,则D'(0,0,由|ND'|2=|NP所以三棱锥B'−D所以三棱锥B'−D故答案为：ABD.

【分析】本题考查球内接几何体问题，立体几何动点问题，点到平面的距离问题.设正方体棱长为a，进而分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把|QE|+|QF|转为|QE|+|QF1|，当E,Q,F1共线的时候|QE|+|QF|=|EF1|最小，利用余弦定理先求出cos∠AC1M，进而求出|EF1|，据此可判断B选项；设平面α为符合题意的平面，α过点C，利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系可推出：D1E,A113．【答案】−【解析】【解答】解：函数f(x)=xlnx+ax2+2于是f'(e故答案为：−【分析】本题考点基本初等函数的导数公式，导数的运算法则.先利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求出导函数f'(x14．【答案】π【解析】【解答】解：直线x+ay−a−1=0可化为(x−1)+a(y−1)=0，则当x−1=0且y−1=0，即x=1且y=1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,圆C的圆心为C(2,0)，半径当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2r此时弦长AB所对的圆心角为π2，所以劣弧AB的长为π故答案为：π【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先求出直线x+ay−a−1=0过定点的坐标，求出圆C的圆心和半径，利用圆的弦长公式分析可知：MC⊥AB时|AB|取得最小值，利用弦长公式求出|AB|，进而求出圆心角，利用弧长公式可求出劣弧AB的长.15．【答案】2【解析】【解答】解：由题意，(a−2ccos则由正弦定理可得(sin∵0<A<π，∴sinA≠0，∴sin又∵A+B+C=π，则A=π−(B+C)，sin∴sin(B+C)−2∴sin(B−C)=2cos可得：0<C<π2<B<π∴B=π2+C，即B−C=∴2cosA=1，即cosA=22∴由B−C=π2B+C=3π4∴由正弦定理可得：2sinπ4=b∴bc=2sin故答案为：2【分析】本题考查利用正弦定理解三角形，诱导公式，两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式.

先利用正弦定理进行边化角可得：(sinA−2sinCcos16．【答案】32；【解析】【解答】解：由题意得椭圆与双曲线的焦距为|F椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：|PF1|−|P可得：|PF1|=m+a|PF即(整理得：a2+3m则1e12I为△F1PF2由于S△PF1同理：|PF2||AF即|AI|=e因为AI=λIP，所以|AII为△F1P即F1G为延长射线F1P，连接F2G，由G点向F1∵∠F∴∠F2PB=∠BPE=60∘∴GH=GE=GD，即F2G为则有|GB||PG|=|B所以|BG||PG|=|B因为BG=μGP，所以|BG所以λ2当且仅当3e12e2故答案为：32，【分析】本题考查椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，双曲线的定义，双曲线的简单几何性质.利用椭圆和双曲线的定义可求出|PF1|=m+a,|PF2|=a−m，再利用余弦定理化简可得a2+3m2=4c2，结合椭圆和双曲线的离心率公式可求出117．【答案】（1）解：f(x)=cosx(2=3所以函数f(x)的最小正周期T=π.由π2+2kπ⩽2x−π所以函数f(x)的单调递减区间为[（2）解：由题意可知，即m⩽f(因为x∈[π6，故当2x−π6=π2，即x=所以m⩽2，实数m的取值范围为(−∞【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.（1）先利用降幂升角公式和辅助角公式化简函数解析式可得：f(x)=2sin(2x−π6)，利用正弦函数的性质可求出函数f(x)（2）根据恒成立思想可得：m小于等于f(x)的最大值，利用正弦函数的图象和性质可求出f(x)的最大值，进而求出实数m的取值范围.18．【答案】解：设底面的一边的长为xm，另一边的长为(x+1)m.因为钢条长为523m，所以，长方体容器的高为设容器的容积为V，则V=V(x)=x(x+1)(10V'解得x=−59（舍去），当x∈(0，1)时，V'(x)>0，当因此，x=1是函数V(x)在(0，此时长方体容器的高为43所以，当长方体容器的高为43m时，容积最大，最大容积为【解析】【分析】本题考查导函数的实际应用.先设底面的一边的长为xm，求出另一边的长为(x+1)m，进而表示出长方体的高为：103−2x，利用长方体的体积公式可求出V(x)=−2x3+19．【答案】（1）解：（1）因为面ABCD⊥面ABEF，又面ABCD∩面ABEF=AB，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，所以CB⊥面ABEF，又AB⊥BE，

如图，以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴､则A(1，所以|MN|=(因为|MN|=t所以当t=22时，MN的长最小，最小值为（2）解：由（1）知，MN的长最小时，M､N分别为正方形对角线AC和BF的中点，可得M(1设平面AMN的法向量为m=(由m⋅MA=12同理可求平面BMN的法向量为n=(−1则cos⟨所以，sin⟨m因此，二面角A−MN−B的正弦值为22【解析】【分析】本题考查两点间的距离公式，利用空间向量求出二面角.（1）利用平面与平面垂直的性质可证明CB⊥面ABEF，进而推出AB⊥BE，以B为原点建立空间直角坐标系，求出点M，N的坐标，再利用空间两点间的距离公式可求出|MN|=(t−（2）根据（1）结果，得到M(12,0,20．【答案】（1）证明：因为an+1=a则bn+1可得bn+1且b1=a（2）解：由（1）可得bn+1=5×4即a2n又因为a2n=a所以数列{an又a2n−1所以S2n−1=(10×4=10×(4所以数列{an}的前【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，分组求和求数列的和.（1）根据题意可得：bn的递推关系式为bn+1=4（2）利用等比数列的通项公式可求出bn，即求出a2n，再利用数列的递推公式可求出a2n−1，进而求出数列{an21．【答案】（1）解：因为抛物线y2=2px(转化为到准线距离的最小值为12，所以p2=因此抛物线Γ的标准方程为y2=2x，其焦点坐标为(（2）解：设A(y122，y1)，将切线方程与抛物线方程联立，得：y2=2x，x−y所以Δ=(−2t)所以抛物线上过点A的切线方程为x=y1y−y1两两联立，可以求得交点