新高考数学二轮复习强化练习技巧04 解答题解法与技巧（讲）（解析版）

第二篇解题技巧篇技巧04解答题解法与技巧（讲）考向速览规律预测1.解答题中档常见题型：解三角形（三角函数图象与性质）与简单恒等变换相结合，考查利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积问题，常涉及最值、范围问题．注意在平面四边形中考查三角形应用.立体几何问题，在解答题中多与线、面位置关系的证明结合，考查直线与平面所成角、二面角(平面与平面的夹角)的求法，注意与体积最值问题交汇考查，着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终；高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题；证明一个数列为等差或等比数列；求数列的通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.难度稳定在中档.2.解答题中档以上题型：对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,从新高考命题看，连续两年出现直线与双曲线位置关系问题，难度不减.解决此类问题的关键是通过联立方程组来解决；高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式、探求参数的取值范围、解决函数的零点、方程根的问题，以及在某不等式成立的条件下，求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.3.难度摇摆不定的概率统计问题：对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、独立性检验,用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查：二是统计与概率分布的综合，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及概率分布列等知识交汇考查：三是均值与方差的综合应用，常用离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布、条件概率、正态分布等知识交汇考查.回归分析与独立性检验常与概率交汇命题.中档以上的题目主要是概率问题，涉及随机变量问题，有时与数列、导数等相结合.另外，高考的核心功能是“立德树人，服务选才，引导教学”，特别是在发挥“立德树人”功能方面，更加注重“五育”并举，在选择题、填空题、解答题中均有相关背景的题目出现，如“一带一路”、“疫情防控”、“南水北调”、“亚运赛事”、“冬奥赛事”、“低碳生活”、“扶贫脱贫”、“建党百年”、“社区生活”等，特别是考查概率与统计的综合问题，往往以社会热点话题为背景，值得我们关注.方法技巧典例分析解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．因此，抓住解答题得分要点，是高考决胜的必要条件.复习的后期要特别注意以下几点：1.高考阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考注重通性通法的考查，高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.3.干净整洁保得分，简明扼要是关键高考已实行网上阅卷，若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.5.评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，解题步骤的书写，要保证逻辑思路清晰，用词用句、符号、行段等，规范无误，突出过程中“结论”的“醒目”位置，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．从近几年命题原则、命题要求及高考命题看，解答趋势是不拘泥于某种特定模式，引导师生避免“解题模式化”，防止“思维固化”、“弱化”思维创新能力.因此，我们应在规范答题过程上着力！01三角函数与解三角形【核心提示】1.三角函数图象与性质的综合问题.2.三角形中基本量的求解（解三角形）．3.解三角形中的证明问题.4.解三角形中的范围、最值问题【典例分析】典例1.(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝SKIPIF1<0，②csinA＝3，③c＝SKIPIF1<0b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝SKIPIF1<0sinB，C＝SKIPIF1<0，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.步骤要点规范解答阅卷细则(1)选择条件：在所给条件中选择自己熟悉、易于转化的条件.(2)选用工具：根据条件选用正弦定理或余弦定理实现边角之间的转化.(3)计算作答：将条件代入定理进行计算，确定题目结论.解方案一：选条件①.由C＝SKIPIF1<0和余弦定理得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.由sinA＝SKIPIF1<0sinB及正弦定理得a＝SKIPIF1<0b.…3分于是SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，由此可得b＝c.6分由①ac＝SKIPIF1<0，解得a＝SKIPIF1<0，b＝c＝1.8分因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.10分方案二：选条件②.由C＝SKIPIF1<0和余弦定理得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.由sinA＝SKIPIF1<0sinB及正弦定理得a＝SKIPIF1<0b…3分于是SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，6分由此可得b＝c，B＝C＝SKIPIF1<0，A＝SKIPIF1<0.由②csinA＝3，所以c＝b＝2SKIPIF1<0，a＝6.…8分因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2SKIPIF1<0.10分方案三：选条件③.由C＝SKIPIF1<0和余弦定理得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.由sinA＝SKIPIF1<0sinB及正弦定理得a＝SKIPIF1<0b.…3分于是SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，6分由此可得b＝c.8分由③c＝SKIPIF1<0b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.10分(1)写出余弦定理代入即得2分；(2)写出正弦定理得到a，b之间的关系即得2分；(3)定理使用顺序不影响得分，其他正确解法同样给分；(4)计算正确没有最后结论扣2分.典例2.（2022·全国·统考高考真题）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求B；(2)求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将SKIPIF1<0化成SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，即可求出；（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用正弦定理以及二倍角公式将SKIPIF1<0化成SKIPIF1<0，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.典例3.（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及三角恒等变换等化简已知等式得到SKIPIF1<0，再根据三角形内角的范围得到SKIPIF1<0，再次利用正弦定理即可得证；（2）利用已知及（1）中的结论得到SKIPIF1<0的值，利用同角的三角函数关系得到SKIPIF1<0，结合题目条件SKIPIF1<0求出a的值，再由三角形的面积公式即可求解；【详解】（1）由SKIPIF1<0及正弦定理可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为A，B为三角形的内角，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．由正弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以△ABC的面积为SKIPIF1<0．02立体几何【核心提示】1.用空间向量证明平行、垂直2.求直线与平面所成的角（函数值）3.求二面角（函数值）4.空间中的距离、翻折、探索性问题5.立体几何中的动态问题．【典例分析】典例4.（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距离；(2)设D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱SKIPIF1<0中，设点A到平面SKIPIF1<0的距离为h，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0的中点E,连接AE,如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且相交，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.典例5.（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，为的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点在棱上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为，求三棱锥A−BCD的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)36【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB=AD，O是中点，所以OA⊥BD，因为OA⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以OA⊥平面BCD．因为CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，OD为y轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系O−xyz，则C(32,所以EB=(0,−设n=x,y,z为平面则由EB⋅n=0EC⋅又平面BCD的一个法向量为OA=所以cosn,OA又点C到平面ABD的距离为，所以VA−BCD=所以三棱锥A−BCD的体积为36[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG⊥BD，垂足为点G．作GF⊥BC，垂足为点F，连结，则OA∥EG因为OA⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，∠EFG为二面角E−BC−D的平面角．因为∠EFG=45°，所以EG=FG．由已知得OB=OD=1，故OB=OC=1．又∠OBC=∠OCB=30°，所以BC=3因为GD=2VA−BCD[方法三]：三面角公式考虑三面角B−EDC，记∠EBD为α，∠EBC为β，∠DBC=30°，记二面角E−BC−D为．据题意，得θ=45°．对β使用三面角的余弦公式，可得cosβ=化简可得cosβ=3使用三面角的正弦公式，可得sinβ=sinαsin将①②两式平方后相加，可得34由此得sin2α=1如图可知α∈(0,π2)根据三角形相似知，点G为OD的三等分点，即可得BG=4结合α的正切值，可得EG=23,OA=1从而可得三棱锥A−BCD【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.典例6.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点.(1)棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由；(2)若SKIPIF1<0，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，证明：直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值小于SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，连接SKIPIF1<0，证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可证明.【详解】（1）当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）如图，连接SKIPIF1<0.由条件可知SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.在平面SKIPIF1<0内，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直.以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值小于SKIPIF1<0.03数列【核心提示】1.数列的判断与证明2.数列求和3.数列与不等式—最值、范围问题．【典例分析】典例7.（2022·全国·统考高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和与项的关系得到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,进而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，检验对于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到SKIPIF1<0，进而证得.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然对于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0典例8.（2021·全国·高考真题（文））设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和．证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出SKIPIF1<0，再作差比较即可.【详解】（1）因为SKIPIF1<0是首项为1的等比数列且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，

⑧则SKIPIF1<0．

⑨由⑧-⑨得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，通过等式左右两边系数比对易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，下同方法二．[方法四]：导函数法设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下同方法二．【整体点评】1.本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得SKIPIF1<0,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.典例9.（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时,求证数列SKIPIF1<0为等比数列,并求SKIPIF1<0的通项公式;(2)当SKIPIF1<0时,不等式SKIPIF1<0对于任意SKIPIF1<0都成立,求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)退SKIPIF1<0相减,得出递推式,再用构造法证明,最后求通项公式(2)恒成立问题,通过分离SKIPIF1<0与SKIPIF1<0转化为函数最值问题求解【详解】（1）当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0,公比为3的等比数列所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0对于任意SKIPIF1<0都成立SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<004解析几何【核心提示】1.圆锥曲线中的最值问题2.圆锥曲线中的范围问题3.圆锥曲线中的证明问题4.圆锥曲线中的定点问题5.圆锥曲线中的定值问题6.圆锥曲线中的存在性问题.【典例分析】典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线l交C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）由点SKIPIF1<0在双曲线上可求出SKIPIF1<0，易知直线l的斜率存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，即可解出l的斜率；（2）根据直线SKIPIF1<0的斜率之和为0可知直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，根据SKIPIF1<0即可求出直线SKIPIF1<0的斜率，再分别联立直线SKIPIF1<0与双曲线方程求出点SKIPIF1<0的坐标，即可得到直线SKIPIF1<0的方程以及SKIPIF1<0的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线SKIPIF1<0的距离，即可得出SKIPIF1<0的面积．【详解】（1）因为点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即双曲线SKIPIF1<0．易知直线l的斜率存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．所以由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，与题意不符，舍去，故SKIPIF1<0．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0均在双曲线左支时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当SKIPIF1<0均在双曲线右支时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），于是，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，因为方程有一个根为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．［方法二］：设直线AP的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线SKIPIF1<0的斜率，从而联立求出点SKIPIF1<0坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点SKIPIF1<0坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．典例11.（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条切线，SKIPIF1<0是切点，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于SKIPIF1<0的等式，即可解出SKIPIF1<0的值；（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求出直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，进一步可求得直线SKIPIF1<0的方程，将直线SKIPIF1<0的方程与抛物线的方程联立，求出SKIPIF1<0以及点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得SKIPIF1<0面积的最大值.【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，SKIPIF1<0，设圆M上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．从而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对该函数求导得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0为这两条直线的公共点，则SKIPIF1<0，所以，点A、SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取最大值SKIPIF1<0.[方法二]：【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到SKIPIF1<0．过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．P点在圆M上，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的面积最大，最大值为SKIPIF1<0．[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0和抛物线C的方程得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．判别式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．抛物线C的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．联立方程SKIPIF1<0可得点P的坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．将点P的坐标代入圆M的方程，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．由弦长公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】方法一利用两点间距离公式求得SKIPIF1<0关于圆M上的点SKIPIF1<0的坐标的表达式，进一步转化为关于SKIPIF1<0的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得SKIPIF1<0的值；方法二，利用圆的性质，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用弦长公式求得SKIPIF1<0的长，进而得到面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于SKIPIF1<0的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得面积关于SKIPIF1<0坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，求得SKIPIF1<0的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标SKIPIF1<0，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于SKIPIF1<0的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值.典例12.（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，其右焦点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一动点（不在SKIPIF1<0轴上），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，过原点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0.问SKIPIF1<0能否为定值，使得SKIPIF1<0？若是定值，求出该SKIPIF1<0值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0能为定值，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【分析】（1）根据题意得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0即可得答案；（2）设SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再计算斜率即可得SKIPIF1<0，最后结合SKIPIF1<0即可得答案.【详解】（1）解：因为椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，其右焦点为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0（2）解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以过原点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平行的线的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，假设存在SKIPIF1<0能为定值，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0能为定值，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.05函数与导数【核心提示】1.证明不等式2.不等式恒、能成立(存在性)问题3.判断函数零点个数4.根据零点个数求参数的值(范围)【典例分析】典例13.（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求a的取值范围；(2)证明：若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见的解析【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为SKIPIF1<0，再利用导数即可得证.【详解】（1）[方法一]：常规求导SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0单调递减当SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0[方法二]：同构处理由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0（2）[方法一]：构造函数由题知,SKIPIF1<0一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设SKIPIF1<0要证SKIPIF1<0,即证SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0,即证SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0,故只需证SKIPIF1<0即证SKIPIF1<0即证SKIPIF1<0下面证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；综上,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.[方法二]：对数平均不等式由题意得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0只有1个解又因为SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0两边取对数得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0下证SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，则只需证SKIPIF1<0构造SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<