理论力学典型解题方法

理论力学典型解题方法

〔内部资料，仅供重庆理工大学本课堂学生参考〕

第1章静力学公式和物体的受力分析

一问题

问题1:有哪五大公理，该注意哪些问题？

答：五大公理（静力学）

（1）平行四边形法那么

（2）二力平衡公理（一个刚体）

（3）力系加减平衡原理（一个，刚体）

力的可传递性（一个刚体）

（4）作用与反作用力（运动学、变形体）

（5）刚化原理

问题2：画受力图步骤及应注意的问题？

答：画受力图方法

原那么：尽量减少未知力个数，使得在做题的第一步就将问题简化，以后根据力学原理所列的方程

数目就少一些，求解就方便一些。

步骤：

a）根据要求，选取研究对象，去掉约束，先画主动力

b）在去掉约束点代替等效的约束反力

c）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部

或从局部到整体来思考C

d）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。对于未知大小，方向的力将它设为Fx,Fy再标识出。

问题3：约束与约束力及常见的约束（详见课本）

物体［系）受到限制就为非自由体，这种限制称为约束，进而就有约束力（约束反力）。

一般，一处约束就有一处约束力。

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

［例1］由哈工大1-2（k）改编；如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AC（不带销仃C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图；

2）画出整体，AC（不带销钉出，BC（带销钉C）的受力图；

3）画出整体，AC1带销钉C）,BC（不带销钉C）的受力图。

［解法提示］:应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽到减少未知力个数。1）由

整体利用三力汇交确定3方向，那么AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（不带销钉C）也三力汇交。

（a）（b）（c）（d）

2）由整体利用三力汇交确定R方向，那么AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（带销钉C）不能

用二力汇交。具体参考1）

3）由整体利用三力汇交确定K方向，BC［不带销钉C）可用三力汇交。AC（带销钉C）不能用三力

汇交。

［例2］如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图；

2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）的受力图；

3）画出整体，AB（带销钉画,BC（不带销钉B）的受力图。

［解法提示］：1）由B点的特点，可用三力汇交确定R方向。同样，由C点的特点，可用三力汇交

确定FB方向。

（a）（b）（c）（d）

2）,3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反

作用力。注意，当销钉处有集中力时，那么不能如此。

［例3］如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。

［解法提示］：1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。

［例4］如图.各处光滑，不计自重。

画受力图：构架整体、杆力8、AC.以〔均不包括销钉4销钉力、销钉。

［解法提示］：先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。依次由a广f）作图。

（a）（b）

（c）（d）

（e）（f）

第2章平面力系的简化和平衡

-问题

问题1：本章注意问题有哪些？

1）找出二力轩

2）约束力画正确

3）①平面汇交力系：2个方程二>能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）

平面力偶系：1个方程=2个？n2

平面平行力系：2个方程=>2个？％

平面任意力系：3个方程=>3个？％

=一个系统总的独立方程个数为：

2々+%+2%+3〃4=>能且只能求得相应数目？

②任意力学列方程方法a）一矩式

b）二矩式43不_1），（力投影轴）

c）三矩式A8C不共线

注：a）,b）,c）可以相互推导得出，在推导的过程中会发现这些限制条件，应注意，

否那么会线性相关。

③具体对一个问题分析时注意

（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部：方程2

方程1+方程2=整体方程是不行的

（2）因此尽显选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列时应方程

说明：方程1+方程2=整体方程，局部1,与局部2为整体的别离体，其中包含了两者间的内力，相

加后消除内力，就推导出整体方程。

问题2：如何取研究对象，如何列方程

答：（•）、原那么：11）尽量列最少数目的方程

只包含待求未知量（优先）

尽量让每个方程能解出一个未知量

㈡、解题思路（重要）：

a）先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作，方便以后分析，但不必具

体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。

b）从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑较链连接点D处，对点I）取矩，依次类

推。假设碰到其他不待求未知量，说明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。（本书

称为顺藤摸瓜法）。

c）假设存在n个闭合回路，一般至少要多补充n个多余的方程，其中图中那些方向的力的信息必须

加以利用，比方向我垂线投影。假设不用此信息，此题一般无法求解，因为止是此信息才决定该结构不

是其他结构，只有解题时表达其特殊性问题才能求解。

㈢、如何用一个方程解一个未知量：

（1）向不待求未知量垂线投影

（2）在不待求未知量交点处取矩

问题3：平面桁架关键问题有哪些？

答：解题方法

、「节点法：汇交力系--能且只能列2个独立方程°

1

I截面法：平面任意力系•--能且只能列3个独立方程

2）先找出零力杆。

3）（从整体到局部）先看整体能求出几个未知量（备用），找出零力杆

4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原那么入手：

a）••次截出3个未知量（国为平面任意力系最多只能列出3个方程），并最大限度包含待求未知量

〔目的是使方程个数最少）.

b）在使用截面法，截出3个未知量后，假设求其中一个未知量，那么另2个未知量要么平行，要

么相交。那么可

5）注意零力杆判别

①②\\F

二典型习题A/\

以下通过例题来演示上述介绍的方法。以

（一）平面任意力系例题

【例1】如图.各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C、£处为较接；：10kN,J/=12kNmo求力、

B、〃处的支座反力。

［解法提示］:总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程：

【庞杆】XME=0,【BC杆】ZMc=0。

答案：FD=12K$FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN

【说明】何锋课后习题2.14与比类似解法。

【例2】如图.各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如下图，作用有分布力和集中力，集中力作用在俏钉

C上。

1）求销钉。对〃'杆的约束力。

［解法提示］:总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部〔顺藤摸瓜）补

充2个方程即可：【销钉C+BC杆】ZMB=°，【AC杆不带销钉C】^MA=0O

答案：FCAX=TOKN,FCAY=-!OKN

2）假设仅求销钉C对BC杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC杆】^MA=0,

【BC杆不带销钉C】^MB=0O

3）假设仅求A约束力。【AC杆】^Mc=0,［AC+BC］工乂产。。

4）假设仅求B约束力。【BC杆】^Mc=（）,［AC+BC］＞｝乂人=（）。

4）假设同时求A、B约束力。总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸

瓜）补充1个方程即可:如【BC杆】ZMc=O.

或【AC杆】XMc=0*有人问，那为什么不可将这几个方程同时列出呢？因为那样将有5个方程解4

个未知量，没必要。

［说明］哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。

［3-29改编］:巳知q、°、M=x'P作用在箱钉B上，］）仅求A的约束反力。

［解法提示］:总共3个？，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个方程即可：先整体,【ABCD】

M

5＞口=0，再局部［AB］XMB=（）,［ABC］Xc=O.

2）假设仅求B对AB约束力。局部，取【AB】将引入不待求未知量MA,故【带销钉B+BC杆】^Mc=0,

【带销钉B+BCD杆】ZMD=O-

【例3】由何锋例2.7改编；如图.均质小车重尸，如下图放在组合梁上，劭杆上作用形状为直角三

角形、强度为。的分布力：杆重不计，求支座力、〃的反力。

［解法提示］:总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补

充2个方程，但因为小车与AC、CB形成闭合回路，不可防止引入CB与小车间A,故需补充3个方程：【BD

杆】2MB=°，【CBD】ZM（=°。【小车】2MH=0。

答案：MA二GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/（2L）,FDX=ql/6+Ga/（2L）,FDY=Ga/（2L）

【说明】哈工大第6版课后习题371;何程课后习题2.11与此类似解法。

【例4】结构及其尺寸、载荷如图。Q=1000N,〃=500N,力偶矩/〃=150N-m.

1）求销钉3对杆优'的作用力。

［解法提示］:总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补

充2个方程即可•【不带销钉R的BC杆】ZMc=0，【不带销钉R的用：杆+轮C+绳+Q+M杆】=00

答案:FBCX=500N,FBCY=500N.

2）假设仅求夕对杆胡的作用力。与上述类似，但须引入FA,【整体】^MB=O局部（顺藤摸瓜）

补充2个方程。【不带销钉B的3A杆】ZMD=。，【不带销钉B的BA杆+DC杆】'XMc=0•为了得

到FA,o一—

3）假设仅求销钉。对杆DC的作用力。与上述D类似，总共2个？，先对整体3个方程没用故从局部

〔顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD杆】VMD=01BC杆+

轮C+绳+Q］ZMB=°。

4）假设仅求销钉C对杆BC的作用力。与上述1）类似，总共2个？，先对整体3个方程没用故从局部

（顺藤摸爪）补充2个方程。【BC杆】2LMB=01DC杆+

轮O绳Z”XMD=°V

5）假设仅求销钉D对杆DC的作用力。与上述1）类似，总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部

（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC杆】ZM（：=0,1BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】^MB=0

【例5】如图.构架力旗由三杆48、然和小组成，杆分'上的销子E可在杆力8光滑槽内滑动，构架尺

寸和载荷如图示，/z?=2400Nm,P=200N,试求固定支座8和。的约束反力。

［解法提示］:总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，但因为AEG形成

闭合回路，不可防止引入FE,故需补充2个方程：【BA杆】^MA=0,［DF+AC］^MG=0«共5个

方程即可。

答案：FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N

假设仅求G对EF的作用力？

总共2个？，【DF】3个方程，三个？，故不需对整体，局部【EF杆】ZMG=°沿AB方向，EF=0.

【说明】1）哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。'

2）何锂课后习题2.21.与此类似解法。

［2.21］物体重Q=12kN,由杆月〃、4。和成组成的支架和滑轮〃支持如图示，AD=BD=2m,

CD=DE=\.5m,不计杆与滑轮的重量，求支座力的约束力以及施、的内力。

［解法提示］：总共3个？，先对整体2个有用方程，尽量不引入“，【整体】ZMB=°，ZX=0,

再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，【CE】^MD=0,共3个方程即可。

假设仅求D对CE的作用力？用两个方程。

【例6】哈工大第6版课后习题3T9:

［解法提示］:总共6个？，先整体列2个方程.顺藤摸瓜，局部，［AB］可列3个独立方程，再补充1

个，【DF】ZME=（）。思考：如下解法正确吗？为什么？总共6个？，因为AB包含所有未知力，取

［AB］可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】2Mc=0,［DF+AC］^Mc=0,［DF］

VME=OO共6个方程即可,

答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FD案0,FDY;M/a,FBX=0,FBY=-M/2a.

【说明】1）哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法：

［解法提示］:总共5个？，因为AB包含所有未知力，取［AB］可列3个独立方程，还差2个。按顺藤

摸瓜法，【整体】^ME=0,［DB］^MD=0O共5个方程即可。

【例7】AB.AC.和、用9四杆连接如图示。水平杆仍上有铅垂向下的力P作用。求证不管P的位置如

何，力。杆总是受到大小等于〃的压力。（只允许列三个方程求解）。

［解法提示］:求Re,但FM与［AD］、［AB］相关,单独分别取［AD］或［AB］,必将引入A点AD或AB的作用

力，不能直接求出%。按顺藤摸瓜法，为了不引入A点AI）或AB的作用力，故取［DAB］,那么将在点B、

1）、E引入未知力。而E点力最多，故【DAB】ZME=°。对引入的R、FD,再次把其当作待求量，按

顺藤摸瓜法，

得到【BA杆】ZMA=。，【整体】XMc=°o共3个方程即可。

【补充】如何用4个方程求E处作用力？【解】除了上述2个外，补充【AD】：2MA=0.⑵

［BC）;^Mc=0一

【思考】：（1）如何用4个方程求［CB］的C处作用力？（2）如何用4个方程求［AD］的A处作用力？（3）

为什么需要4个？答：假设仅BC那么1个闭合回路，再加上AD,那么2个闭合回路，外加待求的2个未

知力。故需要4个方程.

【例8】已知不计各杆件自重，受力及尺寸如图；求校链D受的力。

［解法提示］:总共2个？，但因为DGC形成1个闭合回路，K可防止引入用,故需列3个方程:按顺藤

摸瓜法，【DCB［^Mc=（）,［DCB+FC］【整体】^MA=0,共3个方程即可。

答案：FDX=37.5N,FDY=75N

注：一般串联结构可以几个？就列几个方程：并联结构那么可能引入不待求量。

【例9】组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m,求支座反力及二力杆1,2,3,4的内力。

:解法提示］:总共7个？，先对整体3个方程，可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方

程。因为二力杆1,2,3,4与DE相关，故取【DE杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸

瓜，取［3,4+CB杆】：ZMc=O.

（二）平面桁架例题

已知ABC为等边三角形，AO=DB,E、F为两腰中点；

［例1】求8杆的内力

［解法提示］:按解题套路，先去除［CE］上部所有的的0杆，进一步确定［DE］为。杆（去掉）。【切断AD、

CDsCF,取右边局部】：^MB=0O答案:F产一6/2F

【例2】桁架由边长为々的等腰直角三角形为根本单元构成，外力£=10kN,乙=八=20kN。求4、

5、7、10各杆的内力。

［解法提示］:按解题套路，先由整体得到尽量用最少方程求解。故

［整体；2〃八=0］

【切断4、5、6,取右边局部】：ZMK=。得到皿，ZY=O得到F5.

【切断6、7、8,取右边局部】：工丫=0得到F7.【切断8、9、10,取右边局部】：得到

F10.一一

答案：F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-ll.83KN,Fl0=51.83KN.

【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力

［解法提示］:按解题缪萨［AE］左边所有的的0杆，再尽量用最少方程（3个）求解。故【切断

AB、3、FB,取上边】：>"!<=°得到尸2,由点F得到F1,F2.

答案：Fl=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.

【说明】1）哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34,3-36类似解法：

2）假设求FAB,%,F3,（何何课后习题2.17（b））,与此类似:求出F防和地面对B点的力后，用节点法即可

求得FAR,FIK

【例2。18何程】

（三）其他题型

答：应用合力矩定理求合力作用线方程。【例1】何锂例题2.2.如图平衡系统中，大小相同的矩形

物块/亩和比上分别作用力偶加2，M1="2=M。不计重力，求支座/、。的约束力。

［解法提示］：1）假设按一般常规方法,A、C点总共4个？，先对整体3个方程，再对【AB杆】：^MB-OO

此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。一

2）方法2:利用二力平衡，确定F-%方向，再用力偶平衡理论作v此方法不易想到，仅对特殊题目适

用。

［例2］合力作用线方程，何程例题2.4.如图的平面一般力系由力耳『2，4和力偶"组成，各力

4=73N,6=100N,Fy=200N,汇交点力的坐标为（5,5）,单位为m,力偶矩M=40（）Nm.

求该力系的合力作用线方程。

解略。

三其他类似典型习题〔假设读者对上述方法已很熟练，可跳过此局部〕

（一）平面任意力系〔来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）

3-19构架山杆AB,AC和DF较接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用1力偈矩

［1］为M的力偶。各杆重力不计，求杆AB上校链4D和B受力.

3-19构架由杆AB,4c和DF较接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用1力偶矩为M的

力偶。各杆重力不计，求杆上较链A,。和4受力。

［解法提示］:求杆AB上较链A,D和B的共6个未知力,故需列6个方程。按解题套路，

【先整体：3个方程,未引入新的未知量一个Fc可奉献2个方程,^Mc=0.^X=f）l.

【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可月】，

【再DF：Z"E=O】

3-20构架山杆AB,ACDF组成，如图120a所不。杆DF上的销子E可在杆.4C

的光滑槽内滑动，不计各杆的重量。在水平杆DF的一端作用铅直力F,求铅直杆AB上较

［2］

3-20构架由杆ABfAC和DF组成，如图3-20a所示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽

内滑动，不计各杆的重量。在水平杆DF的一端作用铅直力F,求铅直杆AB上较链A,D和B受

力。

［解法提示］;求杆AB上铁链A,Z）和"的共6个未知力,故需歹46个方程。按解题套路，

【先整体：3个方程，未引入新的未知量2个（C处），可奉献1个方程，EMC=O,】，

【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可月工

【再DF：未引入新的未知量1个旧），可奉献2个方程：ZME=（）,

【说明】：E处力的方向已给，一般必须利用此信息，否那么，题目信息缺乏，无法求解（在【方法中已

提到】）

3-21图3-21a所示构架中，物体重P=1200N,由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，

［2］尺寸如图.不计杆和滑轮的重力.求支承d和3的约束力，以及杆BC的内力FBC.

3-21图31la所示构架中，物体重P=1200N,由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，

尺寸如图。不计杆和滑轮的重力，求支承A和3的约束力，以及杆BC的内力。

［解法提示］:求四个个关切力，故需列4个方程。按解题套路，

【先整体：3个方程】

【再CE+轮E:3个方程包含D处2个新的未知量，可奉献1个方程：2加/）二0】

3-26图3-26a所示结肉由食用弯杆DAB与真杆BC、CD校链而成，并在乂处与3处

用固定校支座和可动校支座固定。杆DC受均布我荷q的作用，杆BC受矩为力的力

［3］偶作用。不计各构件的自重。求较铳D受力。

3-26图3-26a所示结构由直角弯杆。八A与直杆RC\CD钱链而成，并在4处与R处用固定较

支座和可动较支座固定。杆DC受均布载荷q的作用，杆BC受矩为M=qa的力偶作用。不计各构

件的自重。求较链D受力。

［解法提示］:求^个个未知力,故需列2个方程。按解题套路，

【先整体：3个方程，自身有3个未知力，无用】

【再DC：ZMC=O】，【再DCB：Z〃8=O】

*3-28图3-28a所示结构位丁•铅垂面内，由杆AB.CD及斜T形杆BCE组成,不计各

杆的H重。已知载荷Fi,Fi和尺寸a,且M=F^a.F2作用于销钉B上，求：（1）司定

［4］端X处的约束力：（2）用灯B对杆及T形杆的作用力.

3-28图3・28a所示结构位于铅垂面内，由杆ABtCD及斜T形杆BCE组成，不计各杆的自重。

载荷Fl,F2和尺寸a,且必=尸1〃,F2作用于销钉B上，求：（1）固定端A处的约束力；（2）

销钉8对杆A5及T形杆的作用力。

［解法提示］:（1）假设仅求固定端A处的约束力，3个个未知力，故需列3个方程。按解题套路，【AB：

VMfl=o］,［再ABC：ZM「=O】，【再ABCD：ZM/）=。］

⑵假设仅求销钉B对杆AB杆的作用力，2个未知力,故需列2个方程。按解题套路，顺藤摸瓜。

［AB：ZMA=°，不行，因为A处有无法消除的未知力偶矩阳，故【俏钉B+BC：ZMc=（）】，【再俏

rB+BC+CD:^A/D=01一

⑶假设仅求销钉〃对T形杆的作用力，2个未知力,故需列2个方程。按解题套路，【BC（无销钉

B）:=°】，【再BC+CD（无销钉B）:=°】

_*3-29图3-29a所示构架，由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成，各杆H重不计，载

荷分布及尺寸如图。销钉Bn选AB反BC两构件.在销钉B上作用1铅垂力尸。已知q•

a,M•且0求固定端乂的约束力及销钉B对杆CB,杆AB的作用力。

［5］

3-29图3-29a所示构架，由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸

如图。销钉B穿透AB及BC两构件，在销钉B上作用I铅垂力Foq,a,M,且M=qa2。

求固定端A的约束力及销钉B对杆CB,杆AB的作用力。

［解法提示〕：（1）假设仅求固定端A处的约束力，3个个未知力,故需列3个方程。按解题套路，LAB：

£加8=0］,【再ABC:>Mu=0］，【再ABCD:>,M/）=0］

⑶假设仅求销钉B对杆AB杆的作用力，2个未知力,故需列2个方程。按解题套路，顺藤摸瓜。

［AB：八=0,不行，因为A处有无法消除的未知力偶矩M］,故【销钉B+BC：Z/c=0】，【再销

钉B+BC+C1）:23。】一

⑵假设仅求销钉8对CB形杆的作用力，2个未知力,故需列2个方程。按解题套路，【BC（无销钉

B）：ZMZ=0】，【再BC+CD（无销钉B）：Z〃o=（）］

｛说明｝:可以看出，按本文的解题思路，此题解法与上题几乎完全一样。

3-30山直角曲杆ABC,DE,直杆CD及滑轮组成的结构如图3-30a所示，杆45上作

用有水平均布投荷qo不计各构件的重力，在D处作用1铅垂力F,在滑轮上悬吊一重为P

［6］的重物，滑轮的半件r=a,且P=2F.CO=pD。求支座E及固定端A的约束力。

3-30由直角曲杆ABCfDE,直杆CD及滑轮组成的结构如图3-30a所示，杆AB上作用有水平

均布载荷qo不计各构件的重力，在。处作用1铅垂力F,在滑轮上悬吊一重为P的重物，滑轮的

半径r=a,且P=2F,CO=OD。求支座E及固定端A的约束力。

｛说明｝:可以看出，该题实际上就是前文【例3】演变而来。方法自然同【例3,实际上，读者只需作

几道典型问题，其他题目进图形外表不同而已，按本文的托分析思路，将发现其实际是相同的。如上述

几题。

前文例3图

3-31构架尺寸如图3-31a所示（尺寸单位为m）,不计各杆的自重，载荷尸=60kN.

［7］求较链4E的约束力和杆BD.BC的内力.

3-31构架尺寸如图3・31a所示（尺寸单位为m）,不计各杆的自重，载荷/=60kN。

求较链A,E的约束力和杆RD,BC的内力。

［解法提示］:6个未知力，列6个方程即可。【整体】、【AB】、【EC】，每个均可列3个方程，3选2即可。

【说明】（D假设仅求杆BD,BC忸为力,2个未知力，故需列2个方程。按解题套路,【AB：ZMA=（）］，

【再EC：ZME=O】

3-32构架尺寸如图3-32a所示（尺寸单位为m）,1、计各构件fl屯.载荷Fi=120kN.

［8］A=75kN・求杆AC及AD所受的力.

3-32构架尺寸如图3-32a所示（尺寸单位为m）,不计各构件自重，载荷F1=120kN,

F2=75kNo求杆AC及AD所受的力。

［解法提示〕：2个未知力，列2个方程，但因为闭合回路，且D处力方向一致，一般需利用，故列3个方

程。【整体：2〃八=°】，【AD+AC+CD：^Mc=0］,［AD*AC+CD+BC：,

3-32构架尺寸如图3-32a所示（尺寸单位为m）,1、计各构件自重，载荷Fi=120kN.

［9］A=75kN・求杆XC及AD所受的力。

3-32构架尺寸如图3-32a所示（尺寸单位为m）,不计各构件自重，载荷F1=120kN,

F2=75kNo求杆AC及AD所受的力。

［解法提示］:2个未知力，列2个方程，但因为闭合回路，且D处力方向一致，一般需利用，故列3个方

程。【整体：2加八二°】，（AD+AC+CD：ZM、=°】，［AD-AC+CD+BC：=01,

（二）平面桁架〔来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）

3-19构架山杆AB,AC和DF较接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用1力偈矩

［1］为M的力偶。各杆重力不计，求杆AB上校链/D和5受力.

3-19构架由杆A8,AC和DF较接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用I力偶矩为M的

力偶。各杆重力不计，求杆AB上较链A,。和B受力。

［解法提示］:求杆AB上校链A,D和B的共6个未知力,故需列6个方程。按解题套路，

【先整体：3个方程，未引入新

第3章空间力系的简化和平衡

一问题

问题1：本章应注意问题有哪吗？

答：①力偶的合成方法：

②空间力系最终简化结果；

③力螺旋；

④如何选取适宜的轴对其取矩

问题2：一般解题方法是什么？

答：a）对轴而不是对点取矩（说明：平面问题的对点取矩实际上也是对轴取矩）

b）选取轴AB的原那么

厂先选取A点；未知力最多的汇交点,

①B点为其他未知力最多的汇交点

3选取B点:

②或AB,使其他未知力最多的与AB平行

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】力对任意轴的矩问题。何锂例题3.3.

长方体各边长分别为。=8=0.2m,c=0.1m,沿对角线力夕作用的力尸=1N。求力F对轴

之矩。

解：因为轴通过。点，因此我们先求力F对。点之矩M（）（F）。

F=F-=10V6x-^(-0.2i+0.1j+0.1k)

ABV6

=-20i+10j+I0k

力F对。点之矩为

因此，力F对轴之矩为

【例2】求合力偶问题问题。何锋课后习题3.7.

将图示三力偶合成。耳尼=片=外=100N,/尹

［解法提示］；1）假设按一般万能方法，无论力偶在何任意画上，通过平面3点坐标，得到立面的平面

方程，由此得到该平面的法向单位矢量无，那么该平面的力偶

矩讯=±同同。再将各而i的各分量相加即可。

比方OAB平面，由

得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=O,那么ni=（Ai+Bj+Ck）/,方向由平面方程中OAB的顺序,

用右手安培定那么确定。

2）具体针对此题，用空间解析几何的其他方法将更简单。但因为上述方法对任意力偶合成均适用，故

推荐使用此法。

【说明】何程课后习题3.8,3.113.13,解法与此类似。

【例3】空间力系平衡问题。哈工大第6版例题4T0.

各尺寸,求F4,F5,F6.Fl,F2,F3.

［解法提示］：1）根据解题方法，因为A点不待求未知量最多，故先确定A点，那么1,2,3的力矩为0。

再确定B点，4,5的力矩为0,故对AB：ZMAB=。得到F6.类似找到AE,^MAE=O,得到F5。

VMW=O,得到F6。尽量依次选用x,y,z三个方向，这样不容易遗漏，且计算力臂简单，尽量防止

对AF之类取矩，那样力臂计算复杂。

2）A点使用完后，再找不待求未知量第2多点，有几个，选取F点，尽量依次选用x,y,z三个方向，即

可求得F1,F2,F3.

实际求得3个力后，用x,y,z三个方向力的投影即可求得另外3个力。不过，本书推荐全部使用对轴取

矩法。

【说明】何程课后习题3.16,哈工大第6版课后习题4-18,4-19,4-20.解法与此类似。

4-202个均质杆期和3C分别重Pi和A,其端点4和C用球较固定在水平面上，另

1端B由球校链相连接，靠在光滑的铅食墙上，墙面与AC平行,如图冬20a所示。如AB

[]与水,；.一再为45。,BAC-90。求/和C的支座约束力以及单上点B所受的压力.

4-202个均质杆AB和BC分别重P1和02,其端点A和。用球较固定在水平面上，另1端〃

由球较链相连接，靠在光滑的铅直墙上，墙面与AC平行，如图4-20a所示。如AB与水平线交角为

45。，B4C=90。求4和C的支座约束力以及墙上点B所受的压力

第4章摩擦

一问题

问题1：本章难点是什么？

答：1）自锁问题

2）解题方法

①对非临界状态，把摩擦力当未知力，用任意力力系方法求解即可

②先排除不可能的临界状态

③列出仅有的即将动的临界状态

4可能

根本

④对每一种根本组合，在假设的运动状态下确定到达临界状态的面的摩擦力的方向和大小，其他的

未假设的面上摩擦力大小及指向与正压力无关，当作未知量（大小，指向均未知）

问题2：解摩擦问题的解题思路是什么？

解题步骤：

一、假设选取对象只在3点处受力（结合三力汇交定理），那么可用几何法（应用摩擦角），否那么用

解析法；

二、用解析法解题步骤

1.先看系统总共有多少个未知量m,及能列出多少个独立方程m

2.假设%=%=非临界状态，用任意力系方法做（把摩擦力当作与正压力FN无关的量）

3.假设々—〃2=1，那么需补充一个方程（能且只能）（即使存在多个摩擦面）

补充方程来源

所有

一个摩擦面

n列出可能的临界状态组合

两个摩擦面

4.其中一个摩擦面到达临界存在4种可能1摩擦力向左、右，滚阻为逆时针、顺时针）。

考虑4种可能之前，排除不可能情形{、

5.差2个方程时，列出所有根本，可能的两•后，

先「a）排除不可能组合

九Jr摩擦力方向

U滚阻

9.再对剩下的组合根据假设，在假设的摩擦力方向下，一一求解即可。

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】利用摩擦角解题。哈工大第6版课后习题5-6.何锂课后习题4.1.3。

假设楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为，，那么欲使楔子被打入后而不致自动滑出，a角应为多大？

［解法提示］:利用摩擦角。答案：a4纯

【说明】何锂课后习题4.7解法与此类似。

【例2】应用解析法解题。何锂课后习题4.9。

均质长方体凡宽1m、高2m、重10kN,置于30°的斜面上，摩擦系数/=（）.8,在长方体上系一与斜

面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重。的重物C求平衡时重量。的范围。

［解法提示］:按照上述解析法解题步骤

1.先看系统总共有多少个未知量m,及能列出多少个独立方程m

A处：2个，绳：1个，粒B：2个，+耻，共计6个。方程：A处:2个，轮B：3个。故尽管有2个摩

擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。

2.补充1个临界方程来源：

A处：〔E处摩擦力任意，A摩擦力到临界，但只能向左，有鼠=fFG.（第1种可能）

E处：（A处摩擦力任意，E摩擦力到临界，可能向左，可能向右。FELfFM.（2种可能）

在这3种可能中，第1种可能已包含了：E摩擦力到临界，向左。故知讨论2种根本的可能临界了。在

所假设的临界条件下，补充一个摩擦力与正压力关系方程即可求解了。其求解方法仍同静力学，尽量不

耍引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出个木知量。

3)至于B可能脱离地面情况，对［B］通过对K取矩，即可排除这是不可能的。

4)A、E处摩擦力同时到达临界的情形，必然包含于上述2种根本情形之中。不用单独讨论。

【具体解法】：1)A摩擦力到临界，向左，有Fh=fF."(1)

［整体］:ZME=。•在对A求出FAX.即可求得心

2)E摩擦力到临界，向右，有FH=fFa

［整体］:ZMA=O.

［整体除去A的剩余局部］:工乂卜=0.即可求得Q。

3)比拟大小，得到范围。

【说明】1)何锋课后习题4.10解法与此类似。［何锂课后习题4.10］圆柱重G,放在倾角a=3O°的斜

面上，由一直角弯杆挡住，如下图。圆柱各处摩擦系数均为f不计杆重。求向上拉动弯杆所需的最小

力匕in

［解法提示］:按照上述解析法解题步骤

1.系统仅需由摩擦条件补充1个临界方程。

2.补充1个临界方程来源：

A处：(B处摩擦力任意，A摩擦力到临界，依题意只能向上，有限=fFM.(第1种可能)

B处：(A处摩擦力任意，B摩擦力到临界，只能向下。「口=打飞).(笫2种可能)

在这2种可能中，互不完全包含。故要分别讨论。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，

尽量用1个方程即可求出一个未知量。

【具体解法】：1)A摩擦力到临界,向上，有Fvf小(1)

［轮C］：ZMB=O.(2)

［AD》X=O.⑶得到P1.

2)B摩擦力到临界，向下，有Fg=fF战(1)

［轮C］：EMA=O.(2)

［整体］:Ex=0.(3)得到Pl.

3)比拟大小，得到范围。

2)哈工大第6版课后习题5T5,对轮C,分别利用对•地面、AB与C的接触面取矩，从而确定出各摩擦

面的摩擦力方向后，剩下的临界可能性就少多了。哈工大第6版课后习题5T8,解法与此类似。

【例3】应用解析法解题。何锂课后习题4.9。

*5-15重为P1=450N的均质梁AB.梁的A端为固定较支座，另1端搁置在重

642FeFs*1=240NW2=343N的线圈架的芯轴上，轮心C为线圈架的重心。线圈架与AB梁

和地面间的静滑动摩擦因数分别为/sl=0.4,fs2=0.2,不计滚动摩阻，线圈架的半径R=0.3m,

芯轴的半径r=0.1m。在线圈架的芯轴上绕1不计重量的软绳，求使线圈架由静止而开始运动的水平

拉力F的最小值。

［解法提示］:按照上述解析法解题步骤

1.先看系统总共有多少个未知量m,及能列出多少个独立方程也

尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。

2.补充1个临界方程来源：

D处：（E处摩擦力任意，D摩擦力到临界2种可能）.但对轮C:对E点取矩，排除了摩擦力向左。（第1

种要讨论的情形）

E处：（D处摩擦力任意，E摩擦力到临界2种可能）.但对轮C:对D点取矩，排除了摩擦力向右。［第2

种要讨论的情形）

3.故只需讨论2种情形。在第1种要讨论的情形中，为了不引入E处2个未知力，【轮C：EME=0】

【AB：ZMA=0］，再补充D处摩擦条件方程即可。在第1种要讨论的情形中，为了不引入）处2个未

知力，【轮C：ZM/）=0】【整体：2加八二0］，再补充E处摩擦条件方程即可。

第5章点的运动学和刚体的根本运动

一问题

问题1：点的运动的主要知识点是什么？

x=x(t)匕

答：直角：=>

y=y(t)Vy

A-，rcdr

矢径：V=——

dt

弧坐标：V=-a,-""",an-=>a=

dt1dt"p'"'

问题2：点的运动难点是什么？

答：⑴如何由X（t）,Y（t）求t时刻曲率半径。

⑵切向加速度，全加速度

问题3刚体简单运动

1）平动：在同瞬时，各点口a•样，且印=0,£=（）,在其他任意时刻，尽管五可能与上•时

刻小同，但在同一时刻，各点以M一样，Kvv=O,£=(),机构特点为平行四边形。

而瞬时平动，仅在此瞬时，各点D一样，且卬=()。机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行,

巨与两点连线不垂直。

V=R-w

2)定轴：•q=Rs

%=Rw2

矢量表示法京4=WxfA(rA起点必须为为而雇:上任一点)

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。哈工大第6版例题6-5.

［解法提示］:利用全速度和加速度在直角和弧坐标下均相等的桥梁即可。

、1*dv(t)