结构不良题-数列（五）

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页结构不良题-数列（五）一、填空题（本大题共1小题）1.已知数列中，，从①，②为等差数列，其中，，等比数列，③这三个条件中任选一个，求数列的通项公式，则．二、解答题（本大题共24小题）2.已知正项等比数列的前n项和为，，且．请在①；②；③是和的等差中项；这三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.4.已知数列满足，，，.从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题.(1)写出、，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.5.设，有三个条件：①是2与的等差中项；②，；③．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分）若数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列的前n项和．6.在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③a2＋a3＝b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且，设cn＝，是否存在实数k，使得对任意的n∈*，都有ck≤cn?7.已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图，的图象经过A，B两个点.(1)求Sn；(2)若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.8.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，.给出下列三个条件：条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；条件②：点（Sn，an＋1）在直线y＝x＋1上；条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.9.已知数列的前n项和为，在①②，，③这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和10.在①是与的等比中项，②，③这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足．(1)求；(2)若，且，求数列的前n项和．11.在①数列是各项均为正数的递增数列，，且，，成等差数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：设数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）12.在①，；②，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.已知数列前项和是，数列的前项和是，.(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：.13.已知数列满足，，令(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和，从条件①；②；③中任选一个，补充在横线中，并给予解答，若有多个解答，则按照第一个解答评分.14.在①，且，②，③，设，且为常数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知数列满足，设数列的前n项和为，求.15.在①，，②数列的前3项和为6，③且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知是等差数列的前n项和，，.(1)求；(2)设，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16.设正项数列的前n项和为，，且满足.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，求n的值.17.在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，数列是等差数列，其前项和为.已知，，，.(1)请写出你选择条件的序号；并求数列和的通项公式；(2)求和.18.已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列是等比数列，，且，，成等差数列；②数列是递增的等比数列，，；③.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.19.设正项数列的前n项和为，，且满足.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，是数列的前n项和，求证：.20.已知正项数列，表示其前项和，且，从下面条件中选一个补充在横线上，并解答，①；②；③．(1)求数列的通项公式；(2)求．21.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，令，求数列的前n项和．22.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．23.已知数列{an}是递增的等差数列，a3＝7，且a4是a1与a13的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．①若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的取值范围；②若cn＝an•2n，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证Tn＞2．24.从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，；设数列的前n项和为，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：已知等差数列公差大于零，且前n项和为，，，，求数列的前n项和.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）

参考答案1.【答案】【分析】若选①，两边同时取倒数，得到为等差数列，计算通项即可；若选②，通过条件直接计算公差，按照等差数列公式求通项；若选③，退位相减求出，检验满足后，得到通项.【详解】若选①，由得，所以是1为首项，3为公差的等差数列，，；若选②，是等差数列，设公差为，，，又，故，，；若选③，，时，，两式相减，，也符合，故.故答案为：.2.【答案】(1)；(2).【分析】(1)设等比数列的公比为，由于，则有.若选①：根据前n项和列出关于q的方程，解得q即可；若选②：根据通项公式和前n项和求得q即可；若选③：列出关于q的方程，求出q即可；(2)根据通项公式，采用裂项相消法求其前n项和.【详解】(1)设等比数列的公比为，由于，则有.选择条件①，由得，又，∴，∴，解得(舍)或，∴.选择条件②，由，可知，∴，∴，解得(舍)或，∴.选择条件③，由题，可知，又，则有，解得(舍)或，∴.(2)由(1)得，，∴，∴.3.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.【详解】(1)设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，选①:由，可得，解得，所以数列的通项公式为选②:由，可得，即，所以，解得，所以；选③:由，可得，即，所以，解得，所以；(2)由（1）可得，所以.4.【答案】(1)条件选择见解析，，，(2)【分析】（1）选①，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，并可求得、；选②，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分为偶数、奇数两种情况讨论，结合并项求和法以及等比数列求和公式可求得.【详解】(1)解：若选①，，且，故数列是首项为，公比为的等比数列，，故；若选②，，所以，，且，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，故，所以，，故，.(2)解：由（1）可知，则，所以，.当为偶数时，；当为奇数时，.综上所述，.5.【答案】(1)(2)【分析】（1）选条件①时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件②时，利用数列的递推关系求出数列的通项公式；选条件③时，利用与的关系可求出答案；（2）首先可得，然后利用错位相减法算出答案即可．【详解】(1)选条件①时，由于是2与的等差中项；所以，①当时，解得；当时，②，①②得：，整理得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以（首项符合通项），所以；选条件②时，由于，；所以：，①，当时，，②，①②得：，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故（首项符合通项），所以；选条件③时，因为，所以当时，当时，因为时也满足，所以(2)若是以2为首项，4为公差的等差数列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．6.【答案】答案见解析.【分析】根据等比数列的基本量求得，再根据题意，选择不同的条件，判断是否存在最小值.【详解】设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0)，因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去).所以bn＝2n－1.若存在k，使得对任意的n∈*，都有ck≤cn，则cn存在最小值.若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5可得解得d＝1，a1＝1，所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝.因为n∈*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5可得解得d＝－1，a1＝，所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝.因为当n≤20时，cn>0，当n≥21时，cn<0，所以易知cn的最小值为c21＝－.即存在k＝21，使得对任意的n∈*，都有ck≤cn.若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4可得解得d＝，a1＝，所以Sn＝，cn＝＝.因为2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.7.【答案】(1)Sn＝8－23－n(2)答案见解析【分析】（1）设等比数列{an}的公比为，求得，，结合等比数列的求和公式，即可求解；（2）设等差数列的公差为，根据题意得到选择图②③均满足“存在正整数n，使得”，进而结合图②和图③，即可求解.【详解】(1)解：设等比数列{an}的公比为，由，可得，故，又因为，所以，所以.(2)解：设等差数列的公差为，由题图①知：T1＝b1＝1，T3＝－3，可得，故数列是递减数列，又由是递增数列，且，所以不满足“存在正整数n，使得”.由题图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断，故数列是递增数列.由题图③知：T1＝b1＝－3，T3＝0，可判断，故数列是递增数列.所以选择图②③均满足“存在正整数n，使得”.若选择图②，则T1＝b1＝1，T3＝6，可得，所以.当1，2，3，4，5，6，7时，不成立，当8时，b8＝8，S8＝8－23－8，即，所以使得成立的正整数n的最小值为8.若选择图③，则T1＝b1＝－3，T3＝0，可得，所以.当1，2，3，4时，不成立；当时，b5＝9，S5＝8－23－5，即，所以使得成立的正整数n的最小值为5.8.【答案】(1)an＝2n－1(2)【分析】（1）分别按照①②③条件，列式计算即可；（2）需要用裂项相消法求和.【详解】(1)选条件①：∵数列{Sn＋a1}为等比数列，∴（S2＋a1）2＝（S1＋a1）（S3＋a1），即（2a1＋a2）2＝2a1（2a1＋a2＋a3），设等比数列{an}的公比为q，∴（2＋q）2＝2（2＋q＋q2），解得q＝2或q＝0（舍），∴an＝a1qn－1＝2n－1；选条件②：∵点（Sn，an＋1）在直线y＝x＋1，∴an＋1＝Sn＋1，又an＝Sn－1＋1（n≥2，n∈N），两式相减有：an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝S1＋1＝2，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝a1qn－1＝2n－1；选条件③：∵2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1，∴2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝（n－1）an（n≥2），即2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2（n－1）an，（n≥2）．由两式相减可得：2an＝nan＋1－2（n－1）an，即an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝2a1，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝a1qn－1＝2n－1；(2)由（1）可知：an＝2n－1，，故答案为：，.9.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由已知得，，当时，两式相减有，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；若选②，由已知得，，当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；若选③，由已知得，，当时，两式相减，得，再验证当时，是否满足，可得数列的通项；（2）由（1）得，由等差数列的定义得数列是以0为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式可求得.【详解】(1)解：若选①，，则，当时，，当时，符合上式，所以；若选②，，当时，两式相减，得，即，又，，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；若选③，数列满足，当时，，两式相减，可得，所以，当时，符合上式，所以；(2)解：，，又，所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，所以.10.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①②，则可得，，从而可求出，进而可求出，若选①③，则可得，，从而可求出，进而可求出，若选②③，则可得，，从而可求出，进而可求出，（2）由（1）可得，从而可求得，则，然后利用裂项相消法求和【详解】(1)选①②：由①知，是与的等比中项，则，即．由，可得，由②知，，可得．则有，解得，则．选①③：由①知，是与的等比中项，则，即．由，可得，由③知，，可得，解得．从而，所以．选②③：由②知，，可得，由③知，，可得，解得．则，解得d＝4，所以．(2)由题意知，，且，所以．所以当n≥2时，．也满足，所以对任意的，．则．所以．11.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，可得数列是等比数列，再根据等差中项的性质求出，即可得到通项公式，若选②、③根据计算可得；（2）由（1）可得，再利用分组求和法计算可得；【详解】(1)解：若选①数列是各项均为正数的递增数列，，则数列是等比数列，因为，，成等差数列，所以，又，所以，解得或（舍去），所以；若选②，当时，解得，当时，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以；(2)解：因为，所以，所以，所以12.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)选条件①，结合探求数列相邻两项的关系得解；选条件②，结合,探求数列相邻两项的关系，求出得解.(2)选条件①，利用错位相减法计算判断作答；选条件②，利用裂项相消法计算判断作答.【详解】(1)选条件①：由，可得，两式相减可得，则，在中，令，可得，即，因此，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，，所以数列的通项公式为；选条件②：由，可得，两式相减得，即，变形得：，即数列任意相邻两项互为相反数，有，而时，，解得，于是得，则当，，从而有，，所以数列的通项公式为.(2)选条件①：由(1)知，设，，则，两式相减可得，于是得，即；选条件②：由(1)知，所以.13.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）由条件可得，即可证明；（2）首先可得，若选①，，利用分组求和法求解即可，若选②，，利用裂项相消法求解即可，若选③，，利用错位相减法求解即可.【详解】(1)由条件，，得，因为，所以，，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；(2)由（1）知，数列的通项公式为：选①：，选②：，则选③：，则，，两式相减得，.14.【答案】【分析】选条件①，将变形为，即数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用分组求和法和错位相减法求出数列的前n项和；选条件②，将变形为，通过因式分解得到，进而求出，再利用分组求和法和错位相减法求出数列的前n项和；选条件③，由题意得到，利用累加法求出，再利用分组求和法和错位相减法求出数列的前n项和.【详解】选条件①：因为，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，即.则.设数列的前n项和为，则①②①－②，得，所以，故.选条件②：由，得，两边同时平方，得，即，所以.因为，所以，即.则.设数列的前n项和为，则①②①－②，得，所以，故.选条件③：因为，，且为常数列，所以，得.当时，，而也满足上式，故.则.设数列的前n项和为，则①②①－②，得，所以，故.15.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用基本量法求得公差d，进而求得；（2）由（1）得，利用裂项相消求和法即可求得.【详解】(1)解：选条件①：设等差数列的公差为d，则由得，将代入，解得或，因为，所以，所以；选条件②：设等差数列的公差为d，则，由数列的前3项和为6及得，解得，所以；选条件③：设等差数列的公差为d，则由，，成等比数列得，将代入得，解得或，因为，所以，所以；(2)解：由（1）得，所以.16.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；（2）根据上一问结论先化简，再利用裂项抵消法进行求解.【详解】(1)解：选①：由得：，所以，又因为，因此数列为等比数列，设数列的公比为，则，由，解得或（舍去），所以；

选②：因为，当时，，又，所以，即，所以，所以当时，，两式相减得，即，所以数列是，公比为2的等比数列，所以；选③：因为，当时，，所以，即，当时，，两式相减，得，即，当时，满足上式．所以；(2)解：因为，设，则；令，得.17.【答案】(1)选①，，；选②，，；选③，，；(2)，【分析】（1）选条件①根据等比数列列出方程求出公比得通项公式，再由等差数列列出方程求出首项与公差可得通项公式，选②③与①相同的方法求数列的通项公式;（2）根据等比数列、等差数列的求和公式解计算即可.【详解】(1)选条件①：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为d，，，解得，，.选条件②：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，，选条件③：设等比数列的公比为，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，(2)由（1）知，，18.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）若选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解；若选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出即可得公比，从而可得答案；若选③：由，将已知再写一式，然后两式相减可得，最后根据等比数列的定义即可求解；（2）由（1）根据对数的运算性质求出，然后利用裂项相消求和法求出即可证明.【详解】(1)解：若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，所以，解得，所以；若选②：因为数列是递增的等比数列，，，所以，所以，，所以；若选③：因为，所以，两式相减可得，即，又时，，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)证明：由（1）知，所以，因为，所以，即.19.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；（2）利用裂项相消法求出，即可得解.【详解】(1)解：选①，因为，所以，所以数列等比数列，设数列得公比为由，得或（舍去），所以；选②，因为，当时，，所以，所以，即，当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；选③，因为，当时，，所以，即，当时，，所以，即，当时，上式也成立，所以；(2)证明：由（1）得，所以，所以.20.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）根据与的关系，选择①，②，③中一个条件进行讨论得数列的通项公式；（2）由（1）中结论结合等差数列的前项和公式即可求解．【详解】(1)选①，由条件,得:当时，，当时，满足，所以；选②，由条件,得:当时，得，解得，即；当时，，当时，满足，所以；选③，由条件,得:当时，，解得；当时，，两式相减得，化简整理得，所以是等差数列，首项为2，公差为2，所