江苏省江阴市某校高一上学期10月学情调研数学试卷（含答案解析）

2024-2025学年度秋学期10月学情调研试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选：C.2.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合，再根据交集的定义运算即可求解.【详解】因为，即2x−52x+3>0，解得或，所以或，又因为，所以.故选：A3.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（）A.每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和B.存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和C.每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和D.存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误;哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.故选：D.4.已知函数，则（）A-7 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接代入计算即可.【详解】.故选：D.5.若，则下列不等式成立的是（）A.BC.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项．【详解】因为，可得，因为，所以，即，因为，所以，即，所以．故选：D．6.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A7.命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】根据不等式恒成立，可转化为二次函数零点情况，分情况列不等式，解不等式即可.【详解】由已知在上恒成立，当时，不等式为，恒成立；当时，，解得；综上所述，故选：B.8.已知，均为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且，则，整理得：，因为，，所以，即，当且仅当时，即时，等号成立.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据函数的三要素求解.【详解】A.因为，且定义域为R，所以与函数是同一函数故正确；B.，且定义域为R，所以与函数是同一函数故正确；C.，与函数解析式不同，故错误；D.定义域为与函数定义域不同，故错误；故选：AB【点睛】本题主要考查函数的三要素以及相等函数，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10.已知关于的不等式的解集为，则（）A.函数有最大值B.C.D.的解集为【答案】ABD【解析】【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确.【详解】因为不等式解集为，所以，函数开口向下，有最大值，A正确；又，函数值即B正确；又是关于的二次方程的两根，则，所以，则C错误；不等式即为，即，解得或，，D正确.故选：ABD.11.下列说法正确的有（）A.的最小值为B.已知，则的最小值为C.若正数、满足，则的最小值为D.设、为实数，若，则的最大值为．【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式分别计算各选项.【详解】A选项：，当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，即，当且仅当，即时取等号；综上所述，即无最小值，A选项错误；B选项：时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，B选项正确；C选项：由、，，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，C选项正确；D选项：由，则，又，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，化简可得，当且仅当时等号成立，即的最大值为，D选项正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若：是：的充分不必要条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】结合充分不必要条件得到，计算得到答案.【详解】由p是q的充分不必要条件，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，意在考查学生的计算能力，转化为集合的包含关系是解题的关键.13.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】要使函数式有意义，列出不等式组求解即可.【详解】要使有意义，只需满足，解得且.所以定义域为.故答案为：14.若且，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得．【详解】由题意，当且仅当时等号成立，解得，所以且等号能取得．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根据交集、并集、补集的概念直接计算；（2）根据并集结果可得集合间的关系，分和两种情况列不等式，解不等式.【小问1详解】当时，，则，，则或；【小问2详解】由，则，当时，，即，此时成立；当时，由，则，解得，综上所述或.16.解决下列问题（1）.已知，，求的取值范围；（2）.已知，，求的取值范围；（3）.已知，比较与的大小.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由不等式性质可解决问题；（2）由待定系数法结合不等式性质可得答案；（3）由作差法结合条件可比较大小.【小问1详解】因，，则，则；【小问2详解】设.则.，则；【小问3详解】因，则，则17.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.【答案】时，S最小且元.【解析】【分析】先求出，再利用基本不等式求解.【详解】解：由题意，有，又，有.当且仅当，即时取“=”.∴当时，S最小且元.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知命题成立，命题．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；（3）若命题只有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据题意，由基本不等式，即可得到的取值范围；（2）根据题意，列出不等式求解，即可得到的取值范围；（3）根据题意，分为真为假与为假为真讨论，即可得到的取值范围.【小问1详解】因为命题为真命题，则，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，则，所以，即实数的取值范围是.【小问2详解】因为命题为真命题，则，解得或，则实数取值范围为.【小问3详解】因为命题只有一个为真命题，由（1）（2）可知，当命题为真命题，命题为假命题时，且，可得；当命题为真命题，命题为假命题时，且或，可得；综上所述，实数的取值范围是19.已知函数．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式；（2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况；（3）分离参数，可得，结合