第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛小高组决赛(A)卷

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔A〕卷【小高组】一、填空题〔每题10分,共80分〕.用［x］表示不超过x的最大整数,例如［3.14］3,那么TOC\o"1-5"\h\z2021 3 2021 4 2021 5 2021 6 2021 7 2021 8/ 的值为.11 11 11 11 112.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下 1个数的和,这样1可以得到4个数：8,12,10』和91,那么原来给定的4个整数的和为 ^3.在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕.甲从A地出发去找乙,走了80千米后到达B地,此时,乙已于半小时前离开B地去了C地,甲已离开A地2小时,于是,甲以原来速度的2倍去C地,又经过了2小时后,甲乙两人同时到达C地,那么乙的速度是 千米/小时..某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组,两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的2,是只参加朗诵小组人数的1,那么书法小组与朗诵小组的人数比是.7 5.右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.M为CD边的中点,MHB90o.AB=20厘米.那么MH的为CD边的中点,.一列数ai,a2,,an,,记S(ai)为ai的所有数字之和,如S(22)224.假设al2021,a222,anS(ani)S(an2),那么a2021等于..如右图,六边形的六个顶点分别标志为 A,B,C,D,E,F.开始的时候华罗庚金杯赛〞六个汉字分别位于A,B,C,D,E,F顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一庚金个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有庚金二、解答以下各题〔每题10分,共40分,要求写出简要过程〕.平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成n个交点,那么n有多少个不同的数值?.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果,用作课间加餐.每名学生至少选择一种,也可以多项选择统计结果显示：70%的学生选择苹果,40%的学生选了香蕉,30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.11..箱子里面有两种珠子,一种每个 19克,另一种每个17克,所有珠子的重量为2021克,求两种珠子的数量和所有可能的值.5n1.使3^二不为最简分数的三位数n之和等5n1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕.班上共有60位同学,生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同〔比方生日为1月12日与12月12日的号数是相同的〕结果发现,在所得到的答复中包含了由 0到14的所有整数,那么,该班至少有多少个同学生日相同.将1至9填入右图的网格中,要求每个格子填一个整数,不同格子填的数字不同,且每个格子周围的格子〔即与该格子有公共边的格子〕所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.左右格子已经填有数字4和5,问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(A)卷参考答案【小高组】一、填空题(每题10分,共80分).解析：【知识点】计算原式(20214)3 (20214)4 (20214)5 (20214)6 (20214)7 (20214)8TOC\o"1-5"\h\z11 11 11 11 1143 44 45 46 47 48183(345678)11 11 11 11 11 11183331112226039960482.解析：【知识点】平均数设这四个整数分别是a、b、c、d,根据题意,可以得到：1-(abc)d81-(abd)c123TOC\o"1-5"\h\z1 2(a c d) b 103 31 1(b c d) a 93 31 四个式子相加得到一(3a3b3c3d)abcd40,化间得到abcd20,3那么原来给定的4个整数的和为20..解析：【知识点】如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 7个位置可以选择,故有7种摆放方法；图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 3个位置可以选择,其余均与图 1重复,故有3种摆放方法；图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复；所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.

.解析：【知识点】行程问题假定A、B、C三地在同一条直线上,从A至ijB,80千米,甲用了两小时,那么甲的速度为 40千米/小时;设乙的速度为化,乙离开B地半小时,距B地的距离为0.5v乙；乙再用2小时到达C地,那么B、C两地的距离为2.5v乙；2V甲80千米/小时,甲用两小时从B地到达C地,那么8022.5v乙 v乙64千米/小时.解析：【知识点】容斥如图,a表示只参加书法兴趣小组的人数, c表示只参加朗诵兴趣小组的人数, b表示既参加书法兴趣小组又参加朗诵兴趣小组的人数;根据题意,可以根据题意,可以得到b-ab1c

57a-b那么(ab)3.5bb4.532'、(bc)5bb6 4c5b那么书法小组与朗诵小组的人数比3:4..解析：【知识点】平面几何22 2100cm,贝UCF10cm,SABD72cm,过D点作DEBC,过C点作CFBC,BC20cm,SABC那么DE7.2cm,DE//MH//CF,M为CD的中点,那么MH为梯形CDEF的中位线,1MH(i(107.2)8.6cm,那么MH的长度为8.6厘米..解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a1713a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期为24,(20213)2483 22,那么a2021等于10.解析：【知识点】计数,逻辑推理每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论；假设重新摆放后,“华〞在B位置,“罗〞在A位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在C位置,“杯〞在F位置,“赛〞在E位置,这是一种情况,假设“金〞在E位置,不符合条件；“华〞在B位置,“罗〞在C位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在E位置,“杯〞在F位置,“赛〞在A位置,这是另一种种情况；同样的,“华〞如果在F位置,同样也有两种情况,所以总共有 4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程).解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值..解析：【知识点】容斥设学生总数为100人,那么70人选择苹果,40人选择香蕉,30人选择梨;只选择苹果的人数为 70(abc),只选择香蕉的人数为 40(abd),只选择梨的人数为30(acd),可以得到70(abc)40(abd)30(acd)(abcd)100化简得到2abcd40,那么a40(bcd) 当bcd0时,a可以取最大值20.211解析：【知识点】不定方程设19克的珠子有x个,17克的珠子有y个,根据题意,可以得到：19x17y2021根据余数的性质,19x17y2021(mod17),17x0(mod17),202111(mod17),那么19x11(mod17),那么2x11(mod17),可以得到最小的x值,及对应的y值,并在此根底上加减系数即可；x14x 31 x 48 x65x 82x 99y103‘y 84' y 65' y46 'y 27 'y 8珠子和分别为117,115,113,111,109,107..解析：【知识点】辗转相除根据题意,(3n2)和(5n1)的最大公约数不为1,设其最大公约数为k,即(3n2,5n1)k,(k1),根据辗转相除,可得：k(3n2,5n1)(3n2,2n1)(n3,2n1)(n3,n4)(n4,7)因此,k等于7,且7能够整除n4,满足条件的最小三位数是 102,依次加7即可满足条件,n构成等差数列102,109,116,,998,总共129个数字；那么满足条件的三位数的和为10299812970950.2三、解答以下各题(每题 15分,共30分,要求写出详细过程).解析：【知识点】抽屉原理60位同学,每人答复两个问题,所以总共有120个答复,这些答复中包含0〜14的所有整数,也就是说每种答复包含白^学生数量为 1〜15,由于123 15120,也就是说不管是答复同月还是同号,

月和号的数字不会重复,正好每个数字都仅用了一次〔即不会出现同月的有 3个,同号的也有三个的情况〕；为了满足题目至少的要求,那么一个根本的考虑就是同月的分布要尽量分散,这样生日相同的可能性就能尽量少；因此,答复同月的共有60个学生,在1〜15中,用1,2,3,4,5,7,8,9,10,11这10个数字构造出60,即回答同月为0的有1人,答复同月为1的有2人等等,共有10个月有学生；此时,还剩下15,14,13,12,6是答复同号的,取15来分析,这15名同学是包含在上面答复同月的学生中的,也就是说,这15个同号的学生最极端的情况会尽量分散在 10个月份中,也就是必然存在至少有2个人同月同日；所以至少有两名同学生日相同..解析：【知识点】组合数学除去4和5,剩余7个数字的和是36,设xy36,即图中空白格子的数字之和为 y,根据题意,xy36,x的取值可以是1,2,3,6,9;ynx既然要求x可能取的最大值,先假设x9,(1(1)假设 b c 1 3, e f(2)假设 b c 1 7, e f(3)假设 b c 2 6, e fx9不符合条件,再假设x28或78,填入原图后无解;23或28,填入原图后无解;37或78,填入原图后无解;6,bc17,ef28时,可以构造出符合题意的情况;因此,x可以取的最大值为6.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B〕卷【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕TOC\o"1-5"\h\zJ1 1111-23 3451 1202120211 1 1~202120212021.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时甲乙两车的速度比为 5:4.出发后不久,甲车发生爆胎,停车更换轮胎后继续前进,并且将速度提升20%,结果在出发后3小时,与乙车相遇在AB两地中点.相遇后,乙车继续往前行驶,而甲车掉头行驶,当甲车回到 A地时,乙车恰好到达甲车爆胎的位置,那么甲车更换轮胎用了分钟..在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕4.小4.小于1000的自然数中,有个数的数字组成中最多有两个不同的数字..右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.M为CD边的中点,MHB90.AB=20厘米.那么MH的长度为厘米.

HH.一列数ai0,,an,,记S(ai)为ai的所有数字之和,如S(22)224.假设ai2021,a222,不S(ani)S(an2),那么a20i7等于.一个两位数,其数字和是它的约数,数字差(较大数减去较小数)也是它的约数,这样的两位数的个的个数共有个.最终最终结果是每个顶点处仍各有.如右图,六边形的六个顶点分别标志为 A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛〞六个汉字分别位于A,B,C,D,E,F顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程).平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成m个交点,那么m有多少个不同的数值?.求能被7整除且各位数字均为奇数,各位数字和为 2021的最大正整数.从1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意选出四个数,使它们的和为偶数,那么共有多少种不同的选法..使生二不为最简分数的三位数之和等于多少5n1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕.一个正六边形被剖分成6个小三角形,如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数.能否找到一个填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以,请给出一种填法；如果不可以,请说明理由..7X的方格网黑白染色,如果黑格比白格少的列的个数为 m,黑格比白格多的行的个数为 n,求mn的最大值.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B〕卷参考答案【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕.解析：【知识点】计算原式11 31111一一111 31111一一1一一23(22311)4234532(21)26245 34 2021(41)420212452021(41)12021

1 1 120212021202120212021120211 12021202120212021(20211)2021(20211)202122034144202122.解析：【知识点】行程问题设甲最初的速度为5v,乙的速度为4v,甲提速后的速度为6v,行程图如下,C点为爆胎处,D点为中点,设C、D的距离为x,乙车用了3小时,从乙车用了3小时,从B地到D地,走过的距离为34v12v,即为半程的距离;相遇以后,甲掉头返回,乙继续行驶,可以得到那么甲从A到D,行车所用的时间为4v8v5v6v一一、, 3213 13那么换轮胎所用的时间为3+13h,13601515 15所以甲车更换轮胎用了52分钟.12v—x8v,那么A、C两地距离为4v6v4v432—一,31552min,.解析：【知识点】计数如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 7个位置可以选择,故有7种摆放方法;图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 3个位置可以选择,其余均与图1重复,故有3种摆放方图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复;所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.

.解析：【知识点】计数0〜99这100个数字都符合题意,主要研究三位数,分为含0和不含0分类讨论;只含一个0,总共有18个；含两个0,总共有9个；不含0,只含一种数字的总共有9个；不含0,由两种数字组成的总共有C；32216个；那么满足条件的数总共有100+18+9+9+216=352个..解析：【知识点】平面几何过D点作DEBC,过C点作CFBC,BC20cm,Sabc100cm2,MCF10cm过D点作DEBC,过C点作CF那么DE7.2cm,DE//MH//CF,M为CD的中点,那么MH为梯形CDEF的中位线,1MH-(107.2)8.6cm,那么MH的长度为8.6厘米..解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;

a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a〞13a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期为24,(20213)2483 22,贝Ua2021M10.解析：【知识点】计数设这个两位数是ab,ab10ab;1时,2时,b20b18,解得3时,b30b,b27,解得4时,b40b36,5时,b50b,b1时,2时,b20b18,解得3时,b30b,b27,解得4时,b40b36,5时,b50b,b45,6时,b60b54,7时,b70b63,8时,b80b,b72,9时,b900、2、8,验算10、0、1、4、7,验算0、6,验算30、解得b解得b解得b解得b解得b解得b0、2、58,验算12可以,18不可以;20、21、24可以,27不可以;36可以;40、42、45、48可以;0、4,验算50、54可以;0、3,验算60、63可以;02,验算70可以,72不可以;0、1、4,验算80、84可以,81不可以;0,验算90可以;杯杯〞在F〞在A位所以,满足条件的两位数总共有 19个..解析：【知识点】计数,逻辑推理每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论;假设重新摆放后,华〞在B位置,罗〞在A位置,那么庚〞只能在D位置,金〞可在C位置,位置,赛〞在E位置,这是一种情况,假设金〞在E位置,不符合条件;华〞在B位置,罗〞在C位置,那么庚〞只能在D位置,金〞可在E位置,杯〞在F位置,段置,这是另一种种情况;

同样的,华〞如果在F位置,同样也有两种ft况,所以总共有 4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程).解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有 11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值..解析：【知识点】数论要使得所求的数尽可能大,那么所求整数的位数就尽可能多,且每一位数字都是奇数,就要含有尽量多的1;根据能被7整除的数的特征可得,111111是每个数位均为1,且能被7整除的最小数,而2021=6X336+1=6X335+7当有336个111111时,由于所有数字之和是2021,首位数字只能是1,不能被7整除；当有335个111111时,前面还需要再加上一个正整数,使得数字之和等于 2021,且要求最大,满足条件的最大整数是13111,;所以满足条件的最大正整数就是 13111--111.2021个1解析：【知识点】计数这9个数里面有5个奇数,4个偶数,要使得选出来的4个数之和为偶数,有下面