2024新教材高中数学课时素养评价二十七向量的线性运算含解析新人教B版必修第二册

PAGE课时素养评价二十七向量的线性运算(15分钟30分)1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 ()A.10d B.-10d C.20d D.-20d【解析】选B.2a-3b+c=2×4d-3×5d-3d=8d-15d-3d=-10d.【补偿训练】化简下列各式(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)m+n【解析】(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=m+na-m+nb-m+2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则肯定共线的三点是 ()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.3.已知e是单位向量,a=2e,b=-3e,则a-2b【解析】由题意得a-2b=8e,故a-答案:84.(2024·长沙高一检测)如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=________(用向量,表示).

【解析】=+=12+23=12-23.答案:12-235.如图,以向量=a,=b为边作▱OADB,=13,=13,用a,b表示,,.【解析】因为=-=a-b,=16=16a-16所以=+=16a+56b,又因为=a+b,=+13=12+16=23=23(a+b)=23a+所以=-=23a+23b-16=12a-1即有=16a+56b,=23a+2=12a-16(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·杭州高一检测)下面四种说法:①对于实数m和向量a,b,恒有ma-②对于实数m,n和向量a,恒有m-③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是 ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必肯定有a=b,错误.对于④,若a=0,由ma=na,未必肯定有m=n,错误.2.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于()A.12a+bB.a+1C.12(a+b) 【解析】选C.+=+==2,所以=12(a+b).3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,22)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,22)【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满意++=,则点P与△ABC的关系为 ()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=12,所以点P是AC边的一个三等分点.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是 ()A.r=-12p+3C.r=32p-12q【解析】选BCD.因为=+,=-3=3,所以=13,所以=+13=+13(-).所以r=q+13(r-p).所以r=-12p+6.若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是 ()A.=-12a-b B.=a+12bC.=-12a+12b D.=12【解析】选ABC.如图在△ABC中=+=-+12=-b-12a,故A正确;=+=a+12b,故B正确;=+=-b-a,=+12=b+12×(-b-a)=-12a+12b,故C正确;=12=-12a,故D不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(1)化简:23________.

(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满意关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=________,y=________.(用向量a,b表示)

【解析】(1)原式=2=2=2352a-(2)3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×答案:(1)53a-118.(2024·潍坊高一检测)在平面对量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P,Q,R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=1-t+t.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=________.

【解析】因为点B,M,F三点共线,则存在实数t,使=(1-t)+t.又=2,=13,则=2(1-t)+t3.因为点C,M,E三点共线,则2(1-t)+t3=1,所以t=35.故x=45,y=35,x+y=75.答案:7【补偿训练】若=t(t∈R),O为平面上随意一点,则=________.(用,表示)

【解析】=t,-=t(-),=+t-t=(1-t)+t.答案:(1-t)+t四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量,;(2)求证:B,E,F三点共线.【解析】(1)因为=12(+)=12(a+b),所以=23=13(a+b),因为=12=12b,所以=-=-a+12b.(2)由(1)知=-a+12b,=+=+23=+23=-23a+13b=所以=23.所以与共线.又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.10.如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示,和;(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因为∥,所以=4a0,则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;因为AD∥BC,所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3,则=-25=-25(6a0-2b0)=-125a0+45b(2)由题意知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别应当为8和4.O是平面上肯定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满意=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线肯定通过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选C.设BC中点为点M,则=,则有=+λ,即=λ,所以P点的轨迹所在直线肯定通过△ABC的重心.【补偿训练】O是平面上肯定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满意