《线性代数》课件第3章

3.1n维向量及其运算

3.2向量组的线性相关性

3.3极大无关组与向量组的秩3.4向量空间的运算3.1.1n维向量

定义3.1.1

n个有序的数a1，a2，…，an所组成的数组称为n维向量，记为3.1n维向量及其运算或

n维向量可以写成一列，也可以写成一行，分别称为列向量和行向量.按第二章中的规定，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量按矩阵的运算规则进行运算.因此，n维列向量与n维行向量

αT=(a1，a2，…，an)

总看做是不同的向量(按定义3.1.1，α与αT应是同一向量)。

所有n维向量构成的集合称为n维向量空间，记为

Rn={x=(x1，x2，…，xn)T|xi∈R})在解析几何中，如果取定一个空间坐标系［o:x，y，z］，并以i，j，k分别表示与三个坐标轴方向一致的单位向量，那么空间的任一向量α可分解为

α=xi+yj+zk

其中，x，y，z称为向量α在坐标系［o:x，y，z］中的坐标(或分量)。向量α也可以简单表示为

例3.1.1

任意一个m行n列矩阵A，它的每一行是一个n维行向量，称为矩阵A的行向量，它的每一列是一个m维列向量，称为矩阵A的列向量。矩阵A的各个行构成了A的行向量组，A的各个列构成了A的列向量组。向量与矩阵关系密切，既可以利用向量组研究矩阵，也可以利用矩阵研究向量组。3.1.2向量的运算

n维向量可如同矩阵一样进行运算。

设λ是实数，α，β是n维向量则分别是向量α与β的和以及数λ与向量α的乘积.向量加法以及向量的数乘两种运算统称为向量的线性运算。

称-α

为α的负向量。

例3.1.2

已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1)T，且2x+3β=γ+4x，求x。

解3.1.3向量组的线性组合

定义3.1.2

给定向量组A:

α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A的一个线性组合，k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数。

如果向量β可以表示为

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

例3.1.3

向量组ε1=，ε2，…，

εn=称为n维单位坐标向量组。显然任一n维向量α=

都可以表示为ε1，ε2，…，εn的线性组合，即

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

例3.1.4

设向量组α1=，α2=,α3=和向量

β=，向量β能否由向量组α1，α2，α3

线性表示？若

能，求表示的系数。

解设β=k1α1+k2α2+k3α3，即

方程组的系数行列式利用克莱姆法则可以计算方程组的解为

所以

定义3.2.1

设向量组A:

α1，α2，…，αm是n维向量组，如果存在一组不全为零的实数k1，k2，…，km，使

k1a1+k2a2+…+kmam=03.2向量组的线性相关性例3.2.1

证明:单独一个零向量组成的向量组是线性相关的，单独一个非零向量α组成的向量组是线性无关的。

证取λ=1≠0，使λ0=0成立，所以零向量线性相关。设λα=0，若α≠0，必有λ=0，所以非零向量线性无关。

例3.2.2

证明:含有零向量的向量组必线性相关。

证设向量组A:0，α1，α2，…，αm，容易知道有不全为零的数λ(λ≠0)，0，0，…，0使得

λ0+0α1+0a2+…+0am=0(λ≠0)定理3.2.1向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示。

证必要性设α1，α2，…，αm

线性相关，即有一组不全为零的数k1，k2，…，km，使

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

因为k1，k2，…，km中至少有一个不为零，不妨令k1≠0，则有

即α1可由其余m-1个向量线性表示。

充分性在α1，α2，…，αm中至少有一个向量(不妨设α1)能由其余m-1个向量线性表示，即有

α1=k2α2+…+kmαm

也就是

(-1)α1+k2α2+…+kmαm=0

因为(-1)，k2，…，km这m个数不全为零(至少-1≠0)，所以α1，α2，…，αm线性相关。例3.2.3

讨论向量组

α1＝

，α2=，α3=的线性相关性。

解设有数k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+…+k3α3=0

即

由方程组的系数行列式

例3.2.4

讨论n维单位坐标向量的线性相关性。

解设有k1，k2，…，kn，使则

于是

例3.2.5

讨论向量组α1=，α2=的线性相

关性。

解因为α1，α2的对应坐标不成比例，所以α1，α2

线性无关。例3.2.6

讨论向量组

α1=，α2=，α3=的线性相关性。

解设有一组数k1，k2，k3，使

k1α1+k2α2+…+k3α3=0即

由方程组的系数行列式例3.2.7

设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1,证明向量组β1，β2，β3也线性无关。

证设有一组数k1，k2，k3，使

k1β1+k2β2+k3β3=0

即有

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0

从而得

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0因为α1，α2，α3线性无关，所以

由于此齐次线性方程组的系数行列式

定理3.2.2

若向量组α1，α2，…，αn线性无关，而向量组α1，α2，…，αn，β线性相关，则β可以由α1，α2，…，αn线性表示，且表示式唯一。

证因为向量组α1，α2，…，αn，β线性相关，故有一组不全为零的数k1，k2，…，kn，k，使得

k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0

成立，若k=0，则有

k1α1+k2α2+…+knαn=0

因为α1，α2，…，αn线性无关，所以

k1=k2=…=kn=0于是

设有两组数k1，k2，…，kn和λ1，λ2，…，λn，使得

β=k1α1+k2α2+…+knαn

β=λ1α1+λ2α2+…+λnαn

两式相减得

(k1-λ1)α1+(k2-λ2)α2+…+(kn-λn)αn=0

定理3.2.3

如果向量组A:α1，α2，…，αn中有部分向量线性相关，则向量组A线性相关.反言之，若A:α1，α2，…，αn线性无关，则A的任意部分组也线性无关。

证明此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部分。

不妨设A的部分向量α1，α2，…，αr(r≤n)线性相关，由定义知必有不全为零的数k1，k2，…，kr，使得

k1α1+k2α2+…+krαr=0

从而

k1α1+k2α2+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0例3.2.8

讨论向量组

解易知向量组a，d线性相关，由定理3.2.3知，向量组a，b，c，d线性相关。

例3.2.9

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，

α3，α4线性无关，证明:

(1)α1能由α2，α3线性表示；

(2)α4不能由α1，α2，α3线性表示。定理3.2.4

设

证此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部分。设若向量组A线性无关，则上述方程组只有零解。因此方程组3.3.1等价向量组

定义3.3.1

给定两个向量组A:α1，α2，…，αr和向量组B:β1，β2，…，βs，若向量组A中的每一个向量ai(i=1，2，…，r)都能由向量组B线性表示，即存在矩阵K，使A=BK，其中

A=(α1，α2，…，αr)B=(β1，β2，…，βs)3.3极大无关组与向量组的秩3.3.2向量组的秩

定义3.3.2

设A是n维向量组，如果满足

(1)在A中存在r个向量α1，α2，…，αr线性无关；

(2)在A中任意r+1个向量(如果存在的话)线性相关，

则称α1，α2，…，αr是向量组A的一个极大线性无关

组，简称极大无关组；数r称为向量组A的秩。定理3.3.1

向量组中的每个向量都可用其一个极大线性无关组线性表示，且表示是唯一的。

例3.3.1

求全体n维向量构成的向量组是R

n的一个极大线性无关组。

解由例3.2.4知，Rn中单位坐标向量组ε1，ε2，…，εn线性无关，而Rn中任一向量α=(a1，a2，…，an)都可以表示为

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

例3.3.2

设有向量组

解因为向量α1，α2对应分量不成比例，所以向量组α1，α2线性无关。又因为α3=α1+α2，即向量组α1，α2，α3线性相关，所以α1，α2是向量组α1，α2，α3的一个极大无关组.例3.3.3求向量组

的秩，并求出它的一个极大线性无关组。

解显然，α1，α2，α3线性无关，α4，α5都可由α1，α2，α3

线性表示，根据定义3.3.2知，α1，α2，α3为向量组的一个极大无关组，且所给向量组的秩为3。

定理3.3.2

m×n矩阵A的秩等于矩阵A的列向量组的秩，也等于矩阵A的行向量组的秩。

证设有m×n矩阵

例3.3.4

求矩阵

的列向量组的秩和它的一个极大无关组。

解

A的二阶子式为

A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2知，A的列向量组的秩为2，它的一个极大无关组是

例3.3.5

求向量组

的一个极大无关组。

解设α1，α2，α3，α4构成的矩阵A=(α1，

α2，α3，α4)，对A施以初等行变换，可得由此可知R(A)=3，所以向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，A1的三阶子式

由此可知，α1，α2，α3是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组。

定理3.3.3

设向量组B:β1，β2，…，βt能由向量组

A:α1，α2，…，αs线性表示，则R(β1，β2，…，βt)≤

R(α1，α2，…，αs)。

证不妨设向量组A的一个极大无关组为

(r≤s)例3.3.6

设向量组B:β1，β2，…，βr可由向量组A:α1，α2，…，αs线性表示，证明:

(1)若向量组B线性无关，则r≤s；

(2)若r>s，则向量组B线性相关。

证

(1)因为向量组B线性无关，故其秩为r；又向量组B可由向量组A线性表示，所以

R(β1，β2，…，βr)≤R(α1，α2，…，αs)≤s

因此r≤s。

(2)因为向量组B可由向量组A线性表示，故

R(β1，β2，…，βr)≤R(α1，α2，…，αr)≤s

例3.3.7

已知β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明:

R(α1，α2，α3)=R(β1，β2，β3)

证易知

(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)此式表明β1，β2，β3可由向量α1，α2，α3线性表示，因此

R(β1，β2，β3)≤R(α1，α2，α3)

因为

所以可逆，那么3.3.3矩阵等价的应用

向量组的秩、向量组的最大无关组以及向量之间的线性关系是向量理论非常重要的一部分内容，下面的定理介绍了利用初等变换求解向量组的秩以及向量组的最大无关组的方法。

定理3.3.4

如果矩阵A经有限次初等行(列)变换变到矩阵B，则A与B的行(列)向量组等价，且A的任意r个列(行)向量与B的对应的r个列(行)向量有相同的线性相关性。

例3.3.8

求列向量组

的一个极大无关组，并用此极大无关组表示其他列向量。

解设α1α2，α3，α4构成的矩阵A=(α1，α2，α3，

α4)，对A施以初等行变换，可得例3.3.9

证明:当m>n时，m个n维向量线性相关。

证

m个n维向量可构成m×n矩阵A，由于R(A)≤n，故这m个向量的秩也不大于n，因此m个向量的秩小于m，故线性相关。

例3.3.10

证明:向量组A:α1T=(1，1，1)，α2T=(2，3，4)，α3T=(5，7，9)与向量组B:β1=(3，4，5)T，β2=(0，1，2)T等价，并将β1，β2分别用α1，α2，α3线性表示。

证由定理3.3.3的推论2，只需证

R(A)=R(B)=R(A，B)

将矩阵(A，B)化为行阶梯形矩阵，并继续化为行最简形，即定义3.4.1设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，即若α∈V，β∈V，则α+β∈V；若α∈V，λ∈R，则α∈V，那么称集合V为向量空间。

例3.4.1

集合

V={x=((0，x2，…，xn)T|x2，…，xn∈R}

例3.4.2

集合

V={x=((1，x2，…，xn)T|x2，…，xn∈R}3.4向量空间

例3.4.3

讨论集合

V={x=((x1，x2，…，xn)T|xi=1，xi∈R}是否为向量空间

解不是，因为若α=(x1，x2，…xn)T∈V，则xi=1，取λ=3，则

定义3.4.2

设有向量空间V1及V2，若V1V2，V1≠，且V1对加法运算及数乘运算封闭，则称V1是V2的子空间。

定义3.4.3

设V为向量空间，向量组α1，α2，…，

αr∈V满足:

(1)α1，α2，…，αr线性无关；

(2)V中任一向量都可由α1，α2，…，αr组线性表示，

则称向量组α1，α2，…，αr为向量空间V的一个基，r为向量空间V的维数，V为r维向量空间。例3.4.4

设α1，α2，…，αr为一个已知的向量组，记

V={x=(λ1α1+λ2α2+…+λrαr|λ1，λ2，…，λr∈R}

证明:V为一个向量空间，并且称V是由α1，α2，…，αr

所生成的向量空间.

证若

x1=λ11α1+λ12α2+…+λ1rαr∈Vx2=λ21

α1+λ22α2+…+λ2rαr∈V则

x1+x2=(λ11+λ21)α1+(λ12+λ22)α2+…+(λ1r+λ2r)αr∈V

对任意的λ∈R

λx1=λλ11α1+λλ12α2+…+λλ1rαr∈V

例3.4.5

设向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βs

等价，记

V1={x=(λ1α1+λ2α2+…+λmαm|

λ1，λ2，…，λm∈R}

V2={x=(μ1β1+μ2β2+…+μsβs|μ