固体物理总结能带理论、固体物理知识点总结

一、考试重点

晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识

二、复习内容

第一章晶体结构

•基本概念

1、晶体分类及其特点：

单晶粒子在整个固体中周期性排列

非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）

多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积

准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间

2、晶体的共性：

解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质

各向异性晶体的性质与方向有关

旋转对称性

平移对称性

3、晶体平移对称性描述：

基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元

格点用几何点代表基元，该几何点称为格点

晶格、

平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量

瓦=%,=+，避2+，3痣=0;±1.±2.±3;-«-）

例、

-

苴七三个不共面矢量2为点阵空间坐标矢量，称为基矢。

元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不

同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。原胞是晶体结构的最小体积重

复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。每个原胞含1个格点，

原胞选择不是唯一的

晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴

上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。

晶胞边长同、、向称为晶格常数;

晶格常数B

WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体

称为WS原胞。WS原胞含一个格点

复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格

简单格子

点阵格点的集合称为点阵

布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。

4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、

金刚石

两个面心立方晶格沿体对角线相互移动1/4对角线长套构成

闪锌矿

体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对

角线相互移动1/4对角线长套构而成。

铅锌矿

六方硫离子晶格和六方锌离子晶格沿六方轴C移动3c/8长度套构形成。

氯化钝

Cs+和Cl-各自构成简立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对

角线长套构而成。

氯化钠

N#和C1-各自构成面心立方格子沿立方边长方向相互移动半

个边长套构形成。

钙钛矿结构

A离子在立方顶角，B离子在立方体心（氧八面体中心），Oi、

On、Oni分别在立方面心，A、B、。八。口、。皿各自组成简单

立方格子套构而成。

5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排

面

密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。

六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积

中心反演i

1

（x15x2JJJ）T（一玉,一工2,一天）

、玉,3）B--100］「xj

________X；=0-10x2

.-------------------*毛X3J00-1Xj

（X；,芯芯、-100-

D=0-10

00-1

镜面反映CT

（玉心口3）

3*

_______/:

/上

:（XXM

n次旋转对称轴Cn

将晶体围绕某一固定轴旋转工后,晶体重合，则对应的固定轴

n

称为〃次旋转对称轴,其操作矩阵是正交矩阵。

司」10(）

乂=0cos6-sin8七

§Q

芯0sin0cos

14种布拉菲晶胞

14种布拉菲晶胞

名称布拉菲晶胞类型对称性最高的点群晶胞基矢特征

简单立方（P）

立方晶系a-b-c

面心立方（F）O

（高级对称）ha二4=7=90

体心立方（I）

四方晶系简单四方（P）a-b^c

P-简单Df

（中级对称）体心四方（Da=Q=y=9。

I-体心简单正交（P）

a*b±c

正交晶系底心正交（C）

F-面心

（低级对称）体心正交（I）外a=/?=y=90

面心正交（F）

R-菱形

单斜晶系简单单斜（P）a*b丰c

C-底心

（低级对称）底心单斜（C）C?ha=4=90,”90

三斜品系丰

简单三斜（P）£ab#c

（低级对称）a“w90?w90

三方晶系a=b=c

三方（R）,d

（中级抽）a=4=7工90

六方晶系%

六方（P）a=b^c

（中级对称）a=8=90,y=120

32种宏观对称性

晶体32个点群

名称标记符号的意义熊夫利符号

回转群Q晶体只含有一个旋转对称轴G，GCC

晶体包含一个〃重旋转轴和n个与之

双面群

2垂直的二重轴

G群GG加上中心反演（对称心）G

G群加上镜面反映对称面Q

口上与〃重旋转轴垂直的水平对

，群CJ02冷03方，。4不。6力

酬h称省

c群c„加上〃个含〃重旋转轴垂直对

nv称荷

。前群Z）加上与〃重旋转轴垂直的水平2方，A/P2/P2力

对称面

。㈢群Dn加上通过"重轴及两根二重轴的

%角平分线的对称面D】d,D3d

Sn群

凡晶体只包含象转轴SQG

Td群Td含正四面体24个对称操作Td

O群O°h中24个转动操作加中心反演。，。卜

T群TTd中12个转动操作T

。群T加上中心反演A

7个晶系

晶系：满足32种宏观对称类型的晶胞,其基矢a,b,c的组合只有7种,每一种

组合称为一个晶系.

6、描述晶体性质的参数：

配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

晶体最大配位数为12,晶体可能配位数12,8,6,4,3,2。

晶列过任意两格点的直线称为晶列

晶向晶列方向

晶向指数

♦晶向指数（晶列指数）

设元胞基矢为为q,格点。为原点,

沿着某一晶体方向，格点力的平移矢量,

耳=万］+4万？+/；53

W-0,±1,±2,…）

将化成互质整数，

口⑷3］就是晶向指数

晶面全部格点用一族平行平面包含，该平行平面族称为晶面族，族中每个平面称为

晶面

晶面指数）晶面在元胞基矢截距的倒数的互质整数组称为晶面指数

密勒指数（hkD晶面在晶胞基矢上截距的倒数的互质整数组称为密勒指数

面间距

密勒指数（h,k,l）晶面系晶面间距，

面密度

体密度

晶面上的格点密度。与面间距d之间满足

式中,P为格点体密度.

致密度

_晶胞中原子最大体积之和

‘晶胞体积

解理面对原子晶体，密勒指数简单的晶面族，面间距较大，晶面格点密度大，晶面

间结合力较小，容易解理。对离子晶体，晶面格点密度大且晶面是电中性的晶面容

易解理

7、倒格子：

定义倒格子是晶格点阵在波矢空间的傅立叶变换

倒格子基矢:倒格子基矢4,方2，与।

7xxa

oa2a3,a3a,,_

fi=af(a2XaJ为正格子元胞体积।

倒格矢

+〃石，+(”「%，砥=0,土1,土2,土3,・・・)

Gnh=h1S.1xznn

布里渊区以任意倒格点为原点，作所有倒格矢的垂直平分面将倒格子空间分成的一

系列区域，称为布里渊区

•理论公式

1、布拉菲点阵分布函数？?？

2、倒格矢

3、倒格子基矢与正格子关系式

:倒格子基矢与正格子的关系为,

Qi'bj=2TT3U=j0j〜jD=1,2,3

4、晶面指数(57-60)、密勒指数(61)、晶面间距(65-66)、晶面原子密度的计算????？

•图形和关系曲线

1、简单立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同晶面上格点分布、倒格

子基矢、第一布里渊区)

•筒单立方晶格

晶胞基矢，原胞基矢，

a=ata-=ai

b=aj一=>

c=ak53=ak

alblca:la:1a3

晶格常数，同二|不|=同二。

晶胞与原胞同=|5|=向=a体积，

晶胞含1个格点，体积,Q=*(a;xa3)=a'

2、

(1)设简单立方格子的基矢为a产ai、a2=aja3=ak,则对应的

倒格子基矢为b产(2Va)i、b2=(2n/a)j.b3=(27t/a)ko

(2)由瓦、b2、b3作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立

方，元胞大小为(2n/a)3。

(3)简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围

成的立方体，其体积为(2Wa凡且包含了一个格点。

3、图1-12(a)简单立方图1-44简单立方格子的简约布里渊区

2、体心立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格点分布、倒格子基

矢、第一布里渊区)

•体心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常数，

同=B卜同=。

晶胞含2个格点，体积，

晶胞与原胞

Q=

原胞基矢，

4=?(-亍+了+.)

a2=^(J-j

万3=yG+7-*)

团=同|=同|=卓

原胞体积，

。=五1.(方2乂］3)=9

对广体心立方结构，其原胞的基矢可取为

ai=互(—，+j+A)，02=—J+k),g=+j-k)，

其倒格子基矢为

bi=­“(j+A),62=(I+*,g=—CL(«+j).

4、面心立方(配位数、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格点分布、倒格子

基矢、第一布里渊区)

•面心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±blc

晶格常数，

同=b=|cI=a

晶胞含4个格点，体积，

Q=Q3

原胞基矢，万1=y(J+k)

%=十f)

氏=/+])

团=同=鬲|=

原胞体积,

Q=a,(万2、通)=—

6、

倒格子基矢、元胞体积,

Rxq=_G_J+斤）

4、金刚石结构（最小结构单元、配位数、元胞、晶胞、晶胞基矢、不同面格点分布、倒格

子基矢、第一布里渊区）

♦金刚石结构

晶胞与元胞

体对角线原子面心立方晶格与顶角、面心原子面心立方晶格

沿体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成面心立方格子

（复式）。

基元由面心（或顶角）原子和1/4对角线长度处原子组成。

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常数，

|<2|=|z>=归]=a

晶胞包含外格点，晶胞体积，

Q=

金刚石晶格由两个面心立方格子套构而成，第一布里渊区

由两个面心立方倒格子的第一布里渊区套构而成。

第二章晶体结合

•基本概念

1、两粒子间排斥力及其性质

两粒子间吸引力及其性质

两粒子间总相互作用力及其特点

,一、、r〃⑺>0

二，〃亿）二°

吸引.篦而短势力〃少八.

/、5、m、n>0

n>m

r—两粒子间距

4-两粒子平衡间距

吸引势能，异性电荷之间的库伦吸引势（长程势能）

排斥势能：1、两同性电荷库伦排斥势（长程势能）

2、泡利不相容短程势（短程势能）

UG）=：£〃（A/）

晶体总相互作用能人.'

晶体结合能绝对零度下，忽略粒子零点振动能，晶体粒子最小总相互作用势能等于晶体结

合能3K）

4、离子键及特点

定义，晶体中正、负离子库仑引力形成的结合力称为离子键。

依靠离子键结合形成的晶体称为离子晶体。

离子键特点，1、没有方向性和饱和性

5、2、离子键越强，离子晶体越稳定

马德隆常数

2=y--------...............—

均，叼，与।4+〃；+nt）

（勺,叼，与不同时二0八''））

6、共价键的形成及其特点两个原子各出一个电子，在两个原子核之间形成较大电子云密

度被两个原子共用、自旋相反配对的电子结构

饱和性

一个电子与另一个电子配对后不再与其它电子配对

8-N定贝IJ

共价键数等于原子轨道未填满价电子数

方向性

共价键方向在电子波函数最大方向上，共价键强弱决定于两

7、个电子波函数的交迭程度

极性共价键形成及其特点共用电子对偏向负电性大的原子的共价键

6、金属键形成及其特点金属原子结合成金属晶体时，价电子脱离原子成为晶格共有电子，

原子成为正离子实，共有化电子与离子实库仑引力构成金属键

7、范德瓦耳斯键形成及其特点

静电力一极性分子偶极矩之间的静电力

范德瓦尔斯键会导力一极性分子偶极矩与感应偶极矩静电力

色散力一非极性分子瞬时偶极矩间静电力

原子负电中原子负电性=0.18（电离能+亲和能）

原子电离能基态原子失去一个电子成为正离子所需能量

原子亲和能基态原子俘获一个电子成为负离子时释放的能量

8、原子负电性与晶体结构关系

1、负电性小和负电性大两种原子结合倾向形成离子晶体

2、原子负电性差别减小，原子结合由离子性向共价性变化

3、负电性较大的同种原子结合成晶体，倾向形成共价晶体

4、负电性较小的同种原子结合成晶体，倾向形成金属晶体

5、氢与负电性大的原子形成共价键后，负电荷中心与氢核偏

9、离，氢核与另一个原子结合形成氢键晶体

10、SP\SP2、SP轨道杂化的形成及其性质原子S、P轨道波函数杂化形成的波函数给出的

电子几率分布称为杂化轨道。

•理论公式

1、两粒子间相互作用能的一般形式

2、两粒子间相互作用力的一般形式

3、晶体体积弹性模量

定义晶体体积弹性模量父=卷=

4、原子负电性计算式

•图形和关系曲线

1、两粒子相互作用势能

2、两粒子相互作用力

3、SP?杂化轨道示意图

第三章晶格振动

•基本概念

1、一维单原子晶格振动及其特点

2、一维双原子晶格振动及其特点

3、简谐近似原子绕格点弹性振动(谐振)，振动位移与弹性力成正比

4、最近邻近似

只考虑最近邻原子相互作用势能，并且凡1=凡.】=£,得到，

5、周期性边界条件

N个元胞一维双原子晶格周期性边界条件，

Un~UR+N，冏=U/N

6、格波

原子集体振动形成波长2=二的简谐波，称为一个格波

q

(Latticewave)或晶格振动的一个简正模。

8、格波波矢、波矢空间、

波矢密度

p(g)=±=A^(?)=-^-=—/(q)=_L=

"⑺La2乃Sq(2乃)“Qvq(24

第一布里渊区波矢个数

Un~UJI+N，Un~U

i(na

〃“=Ae^\un=Be"总

4=1

2万？T

Naq=hxInq=---------hh=O.±l.±2-・・

Na

波矢在第一布里渊区取值，

n7tN,1N

——<q<——>-------------<h<——

9、aa22

8、色散关系圆频率-波长关系

d3

力=----

?dq

群速度“

相速度原子振动状态用格波位相描述，波速等于振动位相传播速度，称为相速度

CD

U——:

「q

10、光学支格波

光学支格波色散关系（光学模），

A+21+£；+2£应cos(〃q)］/

工=----------------十—

11、mm

声学支格波

声学支格波色散关系（声学模），

_1_［庆+/+2PMcos(aq)］为

m

长纵光学波、长纵声学波基元中两个原子相反振动，形成长光学波

10、振动模式数每个波矢对应一个声学波圆频率和一个光学波圆频率。N个元胞一维双原子

晶格共有2N个独立振动模式（自由度）。

11、振动模式数与晶体结构的关系

11、声子晶格振动能量的“量子”方生⑶）一声子（格波能量子）

h

声子准动尿声子准动量方工=方（刈仄+ih+h3b3）

声子统计分布一定温度下，晶体中能量为的平均声子数由玻色-爱因斯坦统计给出,

平均声子数

1_1

n=x1-tiojki1

%e-ie—1

12、振动模式密度g（3）二菰

12、正则变换

独立振动模式的正交性、

完备性周期性边界条件下，所有的晶格振动模式构成正交、完备集

态空间

•理论公式

RK-na。7=1,2,3「・・产）

1、一维格波〃。夕-第〃个原子的振动位相

劭加、,"

=w(0)exp[z(/^x6f+mqcot)]

二维格波

%。⑺=勺。⑺建m

三维格波解

2、一维、二维、三维晶格周期性边界'+"

3、三维晶格振动总能量表达式及其意义

4、晶格振动模式密度定义

5、一维、二维、三维晶格振动模式密度计算

三维晶格振动模式密度

g（o）=-f|----------dS

（2万尸?|▽产（。）|

二维晶格振动模式密度，

e房!艮始巴

一维晶格振动模式密度，

/、L1

S32;r\dfdq\

•图形和关系曲线

CD

2、一维双原子晶格色散关系曲线

aa

第四章晶体能带

•基本概念

1、单电子近似（包括：绝热近似假设相对于电子运动速度，离子实近似固定在格点上不动。

平均场近似假设每个价电子所处的周期场相同，与其它价电子、离子实的库仑相互作用

只与该价电子位置有关

周期性势场近似若单电子势具有晶格平移周期性，晶体价电子的定态薛定谭方程求解转

化为晶格周期场中单电子薛定修方程求解）

2、电子共有化运动、晶体电子、能带电子波包代表的电子称为能带电子

3、布洛赫定理

晶体中共有化运动电子的本征波函数是调幅平面波（布洛赫波）。

（布洛赫波函数）

人（尸）=4（不+艮）

布洛赫波的物理意义

由布洛赫波函数，得到晶体共有化运动电子的几率分布，

4、周期性边界条件

5、电子波矢矢量定是平移算符本征值2（用）的量子数，称为电子波矢

、波矢空间、波矢空间密度、电子能态（状态）密度

6、能带共有化电子能量本征值，不同波矢对应的能量值（能级）的集合，称为能带

禁带（能隙）、满带、空带、导带能量最低的空带、价带能量最高的满带、近满带、半满带、

能带底、能带顶、能带宽度

7、准经典近似、波包

用能带波矢k附近A4范围内的电子本征态叠加构成波包，

18E

v=---i

8、电子平均速度能带电子波包群速度定义为能带电子的平均速度hSk

电子加速度

9、电子有效质量及其物理意义

2

1_1SEn(k}

在能带顶，加周期势场对电子作负功，电子传递给

晶格的能量大于外场力对电子的作功。

在能带底，加*>0,周期场对电子作正功，电子从晶格得

到能量.

电子有效质量概括了周期场对电子的作用，使外场下能带电子的运动，可用服

从牛顿运动定律、具有有效质量的“质电子”来描述。

.h2

m=—-----

2luo

能带底电子有效质量次

82E(k)

能带顶电子有效质量O'

禁带FEc-------

禁带4_____与邑簟」

线二二.

10、导体--------、绝缘体-------------・一—、半导体

的能带图

11、固体导电性特点及其能带论解释

11、空穴及物理意义电场作用下，缺1个电子的能带中其余2N-1个电子对电流的贡献等效

为1个带正电子电量粒子的贡献，这个粒子称为空穴

♦・

、空穴电荷量、空穴有效质量“尸二一”"

•理论公式

1、一维晶格、二维晶格、三维晶格的状态(能态)密度

ds

gg=南”1▽出（左）

3式＞）=瞅6产

〃式亍）=,任+旦）

2、布洛赫波函数

3、电子、空穴平均速度

4、电子、空穴有效质量

5、晶体电子在外场作用下的牛顿第二定律

方2

-^-V2（r）+r（r）W（尸）="（产）

6、单电子近似下的薛定谓方程1­

•图形和关系曲线

1、电子能带的四种不同表示方法

周期性布里渊区表示法

3/24_万07t243不

2、aaaaaa

扩展布里渊区表示法

三、试卷结构

共七大题

1、填空题（20空，共20分）

2、画图及计算（10分）

3、概念解释题（共5个概念，10分）

4、画图及计算（15分）

5、论述题（10分）

6、画图及论述（15分）

7、运用公式计算〔20分）

满分：100分

四、成绩构成

期末考试成绩80%,平时成绩20%

特点：1、考试题目体现不同章节内容的连续

2、对所学内容的准确掌握

补充：第一章PPT68改错

第一章PPT75说明

目录

一、本章难易及掌握要求1

二、基本内容.....................................1

1、三种近似...................................1

2、周期场中的布洛赫定理.......................2

1）定理的两种描述........................2

2）证明过程：............................2

3）波矢k的取值及其物理意义.............3

3、近自由电子近似...........................3

A、非简并情况下.........................4

B、简并情况下...........................5

C、能带的性质............................6

4、紧束缚近似.................................6

5、震势.......................................9

6、三种方法的比较.............................10

7、布里渊区与能带.............................11

8、能态密度及费米面...........................11

三、常见习题...................................14

简答题部分...................................14

计算题部分.....................................15

一、本章难易及掌握要求

要求重点掌握：

1）理解能带理论的基本假设和出发点；

2）布洛赫定理的描述及证明；

3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白

三维近自由电子近似的思想；

4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；

5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；

6）会计算能态密度及明白费米面的概念。

本章难点：

1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的

应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体;

2）对三种模型的证明推导。

了解内容：

1）能带的成因及对称性；

2）费米面的构造；

3）势方法；

4）旺尼尔函数概念；

5）波函数的对称性。

二、基本内容

1、三种近似

在模型中它用到已经下假设：

1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度

就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的

运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个

电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫

平均场近似。多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势

场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理

1）定理的两种描述

当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性

质：

形式一：HH&WW亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间

的波函数相位差

形式二：必亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可

用受小⑺调制的平面波表示,其中，〃）=出+凡），凡取布拉

菲格子的所有格矢成立。

2）证明过程：

a.定义平移算符T,T（一）=7T⑷中伍2）7?回）

b.证明了与。的对易性。TaH=HTa

c.代入周期边界条件，求出丁在丁与方共同本征态下的本征值

，（尸）="（尸+MG）

BPif/⑺=中5+N2G2>A4=P,4=*%,4=*小

W）=W5+N3a3）

d.将几代入7的本征方程中，注意了定义，可得布洛赫定理。

柿+RJ=邛殍芍歹⑺=*（"叫+吗电+M）夕（》>〃⑺=*%"）!

3）波矢k的取值及其物理意义

八人后+上立+4a……一”</]”，k是第一布里渊区的

23J

/V,N2N.22

波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而

7（孔明⑺=以尸+孔）=J鼠歹⑺反映了原胞之间电子波函数位相的变

化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设

为布洛赫函数。

3、近自由电子近似

1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰

2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函

数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由

运动。

3）模型建立过程：

首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许

取值，推出了能量的准连续性；

其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且

发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。

A、非简并情况下

1)由假设1>,2>可得系统的哈密顿量和薛定丹方程:

h1d2

H=H0+H',+V,

H。=2

2阳dx

微扰项：

^=V(x)-V=AV,满足的方程式：H-EW

2)利用微扰论方法有设：后人=琛+以)+以为+…,

其中：

或二2£+乙=<k\H'\k>=0,E2)=Y一一一(K9K)

“2mk人-E；-E；,

设：忆(x)=婕(幻+般(x)+….

其中：

鹤即示"吸V聋舒:(KWK)

4)结论：

能量本征值：耳:空+D+Z'T^/-------

2m"—[A:2-a+-2^-)2]

2ma

波函数：…f——--------©

J1I1々工k2_(〃+々犷]

Ima

5)波函数的意义：

第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期

性势场作用产生的青攵射波

，，(,X

再令uk(x)=1+2L-------------e~,贝！J有〃式x)=(X)

"—R2-a+-2^-)2])L

2ma

具有布洛赫函数形式，其中用到，”a+〃心)=uk(X)

B、简并情况下

1)同-碟|>>MI此时波矢k离一个较远，k状态的能量和状态

尸。।以「

瓦二〈

2

4M.£oIKI

《差别较大把3*按(七；「£了泰勒级数展开得〔入心一印

由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互

影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了

2)|埼-磋|<<⑷时，波矢k非常接近-皆，k状态的能量和k，

能量差别很小按将3*式⑻一与了泰勒级数展开得

<1

E±=g闻+&.±2|叫+与常■}

2川叫代入相应的球,以得

F+MI+M稿+1)

E土—_2T

”'一同-女(山)2

Z

n-―2m^—a)

可得如下结论两个相互影响的状态k和k'微扰后，能量变为E+

和E-,原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。

周期性E“(k)=E.(k+G)［周期为

倒格矢，由晶格平移对称性决定］

反演对称性E“(k)=E〃(一k)

［E“(一是个偶函数］

宏观对称性E“(k)=E〃(ak)

［。为晶体的一个点群对称操作］

C、能带的性质

简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要

表明：

1）它属于哪一个能带（能带标号）

2）它的简约波矢I是什么？

3）能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲

2）禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处

3）禁带的宽度帆帆…狙I

4）各能带之间是禁带，在完整的晶体中，禁带内没有允许的能

级

5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态

4、紧束缚近似

1）紧束缚近似的假设：

电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为

微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子

波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求

Atomiccore

原子之间的距离较大。••・••

=加,！+7W石？+加，）

2）模型实现••七篇•

对于简单格子电子在格矢•••••

-•-•——<••

Rm=呵%十利必+?。3处原子附近运动“33

"0）满足的薛定谤方程：

力22

[--V2+（/（r）W）=E^）

Z/7Z

U（『）是晶体的周期性势场—所有原子的势场之和。对方程进行

变换有［-4旬+丫任一凡）物⑺+［U（V-V任一凡）吸⑺=Ew⑺

2m

U（r）-V（r-&）即是微扰作用。

设晶体中电子的波函数"⑺=（此法的本质），代

m

入上得：

Z%⑹+u⑺一V行一凡,）幽行-RJ=Eg勺依"-R）

tnmm

考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的2行-%）重叠很有，

］/行-%泗行-凡）方=3nm用（p；（r-/）左乘上面方程5*,得到

J媒（>-R）lU（r）-V（r-凡,）物（r-R）dr=（E-%）%

mnm

J<p；.一（凡一%）］uG）-v（<）M（^=-J（凡一%）

则得-2>3（用-凡）=（E，）〃”，考虑到周期性的势场，应有

ni

am=C*凡，（N是任意常数矢量），则有E-q=-）"历，

S

R=凡-氐.

利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数忆6）=.§*尺”--&）

考虑用简约波失表示有力⑺=点*?/3心夕"—心）］,由此可得

对于确定"E（Q=£j-W7（R）/3R,而且实现了N个晶体中的电子

S

波函数与束缚态的波函数的幺正变换换：

0岛氐、

/&...C-/一居）、

-2•即

1e~•••0（尸一凡）

*=芹*

•.*

*••

6两后,6匹国..ikNRN

C7«口一风）,

3）模型简化:

考虑-M)=f^；G-R)eG)-vG)sG)}据的化简：

当。;G-凡)和%©)有重叠时，积分不为0。

a最完全的重叠用=凡-凡,=0,得人=-佃(就36)-1/(打死

b其次考虑近邻格点的格矢艮，得E(h=£「J「2>(尺)屋应。。6*

/?r=Nearest

能带底部电子的有效质量加=—J,能带顶部电子的有效质量

2

2Jta

4)能级与能带的对应

A计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带s态的波函数是

球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有

E(k)=£i-Jo-2J{(coskxa+coskva+cosk.a),其中在能带「：k=(0,0,0)

处在E=(0,0,0)处用级数展开有Enin=a-4+64，在能带顶部

R：U-)按k=(-,-)附近按泰勒级数展开得

aaaaaa

Emax=£-J+6，BandEnergyinSolid

ioEnergyofAtom

带宽取决于Jl，大小取fr

1Jo...

决于近邻原子波函数之间的+\

相互重叠，重叠越多，形成能XCH004025£

AW£>xvxy即SoM

带越宽，同样可以看出，由于k的取值f/■可以有N

个，故一个能级在微扰下分裂成为一个能带。

1-XCWXM_Cl2R

B对于一般情况有如下结论：

一个原子能级ei对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。

当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较

窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带

之间有简单的对应关系，如ns