专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题2.1等式性质与不等式性质TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 1【考点2：作差法比较大小】 4【考点3：作商法比较大小】 7【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 7【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】【知识点：不等式的性质】性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd>0⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)【知识点：倒数的性质】①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).【知识点：有关分数的性质】若a>b>0，m>0，则：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1．（2021秋•河北区期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130【分析】根据题意列出不等式即可．【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．故选：D．2．（2022•安徽模拟）已知a＞b＞c＞d＞0，且a+d＝b+c，则以下不正确的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．ad＜bc D．a【分析】利用不等式的性质判断选项A、B，利用平方法判断选项C，进而判断选项D即可．【解答】解：∵a＞b＞c＞d＞0，∴a+c＞b+d，ac＞bd；即选项A、B正确；∵a﹣d＞b﹣c＞0，∴（a﹣d）2＞（b﹣c）2，即（a+d）2﹣4ad＞（b+c）2﹣4bc，即ad＜bc，故选项C正确；∵ad＜bc，∴ab即选项D错误；故选：D．3．（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a【分析】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；因为a＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以−故选：D．4．（2021秋•玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a+c＞b+c D．a【分析】直接利用不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于ac＞bc，则：对于A和B：当c＜0，则a＜b，故ac2＜bc2，a＜b，故A、B错误；对于C：当c＜0时，a+c＜b+c，对于D：由于ac＞bc等价于ac＞b故选：D．5．（2021秋•阎良区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2 B．ab＞a＞ab2 C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a【分析】利用不等式的性质进行判断即可．【解答】解∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，又﹣1＜b＜0，∴0＜b2＜1，两边同乘以负数a，可知ab2＞a，∴ab＞0＞ab2＞a．故选：D．6．（2021秋•临渭区期末）已知b＜0＜a，则下列不等式正确的是（）A．b²＜a² B．1b＜1a C．﹣b＜﹣a D．a﹣b【分析】，利用举实例判断ACD，利用不等式的基本性质即判断B．【解答】解：当a＝2，b＝﹣3时，满足b＜0＜a，但b2＞a2，﹣b＞﹣a，a﹣b＞a+b，∴A，C，D错误，∵b＜0＜a，∴1b＜0，1a＞0，∴故选：B．（多选）7．（2022•汕头二模）已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac【分析】利用不等式的基本性质求解．【解答】解：因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选：BCD．9．（2021秋•昌平区校级期中）用“＞、＜”填空；若a＜b＜0，则a2＞b2，1a＞1【分析】由a，b的大小关系进行判断即可．【解答】解：由题意，a＜b＜0，举例说明，令a＝﹣2，b＝﹣1，则（﹣2）2＞（﹣1）2，则a2＞b2，又−1则1a故答案为：a2＞b2，1a10．（2021秋•察右前旗校级期中）对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则ac−a＞bc−b；⑤若a＞b，1a＞1b，则【分析】根据不等式的性质2和性质3，我们分别判断题目中的五个命题的真假性，即可得到答案．【解答】解：当c＝0时，若a＞b，则ac＝bc，故①为假命题；若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，故a＞b，故②为真命题；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③为真命题；若c＞a＞b＞0，则ca＜cb，则c−aa若a＞b，1a＞1b，即bab＞aab，故a•故答案为：②③④⑤【考点2：作差法比较大小】【知识点：作差法比较大小】作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b<0⇔a<ba，b∈R.))1．（2021春•乌苏市校级期中）已知x＜a＜0，下列不等式一定成立的是（）A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax【分析】根据题意，利用作差法比较x2，xa以及xa，a2的大小，即可得答案．【解答】解：根据题意，x＜a＜0，则x﹣a＜0，则x2﹣xa＝x（x﹣a）＞0，则有x2＞xa，同时，xa﹣a2＝a（x﹣a）＞0，则有xa＞a2，必有x2＞xa＞a2，故选：B．2．（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【分析】利用作差法直接化简判断即可．【解答】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，则a﹣b＜0，又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故选：B．3．（2021秋•伊州区校级期末）已知t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，则（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s【分析】利用作差法，可求得答案．【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a²+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故选：C．4．（2021秋•海淀区校级月考）设a＞b＞1，y1=b+1a+1，y2=ba，yA．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba−b−1a−1=ab−b−ab+a所以y1＞y2＞y3，故选：C．5．（2021秋•南昌县校级期末）比较大小：6+7＞【分析】平方作差，可得（6+7）2﹣（22+5【解答】解：（6+7）2﹣（22+5）2＝13+242−（13+410）＝242−410故（6+7）2＞（22故6+故答案为：＞6．（2022春•慈利县期中）比较大小：（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）．（填写“＞”或“＜”）【分析】利用作差法比较大小即可．【解答】解：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+9﹣x2+6x﹣8＝1＞0，故（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4），故答案为：＞7．（2021秋•蒙城县校级月考）（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为（x+1）（x+5）＜（x+3）2．【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案为：（x+1）（x+5）＜（x+3）28．（2021秋•黄陵县校级期中）（1）已知a＞b＞0，c＜0求证：ca（2）比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小．【分析】（1）由a＞b＞0，可得1b＞1（2）将（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）作差即可【解答】证明：（1）∵a＞b＞0，∴1b再由c＜0，可得ca故要证的不等式成立；解：（2）∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）＝﹣7＜0，∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．【考点3：作商法比较大小】【知识点：作商法比较大小】作商法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1⇔a<ba∈R，b>0.))1．（2021•金安区校级开学）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，则A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．无法确定【分析】配方可得P和Q都大于0，作商法比较可得．【解答】解：∵P=1Q＝a2﹣a+1＝（a−12）2QP=（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P当且仅当a＝0时取等号．故选：C．【考点4：利用不等式的性质求取值范围】1．（2021秋•天河区校级期中）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则2a﹣b的范围是．【分析】利用同向不等式具有可加性，即可解出．【解答】解：∵2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，∴4＜2a＜6，1＜﹣b＜2，∴5＜2a﹣b＜8，故答案为：5＜2a﹣b＜8．2．（2021•鸡冠区校级三模）已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，则z＝3a﹣b的取值范围是．【分析】根据条件可求出∴﹣2≤2a﹣2b≤4，进而可得出z＝3a﹣b的取值范围．【解答】解：∵1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，∴﹣2≤2a﹣2b≤4，∴﹣1≤3a﹣b≤7，故答案为：﹣1≤3a﹣b≤7．3．（2021秋•三元区校级月考）已知﹣1＜α≤β≤2，设m＝α+β，n＝α﹣β，则m的取值范围是，n的取值范围是．【分析】利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：∵﹣1＜α≤β≤2，∴﹣2＜α+β≤4，∴﹣2＜m≤4，∵﹣1＜α≤β≤2，∴﹣2≤﹣β＜1，∴﹣3＜α﹣β≤0，∴﹣3＜n≤0，∴故答案为：﹣2＜m≤4，﹣3＜n≤0．4．（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．【分析】根据题意需要配凑出4a﹣2b，所以结合题意，就用设未知数的方法求解即可．【解答】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．所以x+y=4，解得x=1，因为1≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，两式相加，所以﹣2≤4a﹣2b≤10．5．（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．【分析】根据绝对值运算可解决（1）；根据不等式性质可解决（2）（3）（4）．【解答】解：（1）0≤|a|≤3；（2）﹣1＜a+b＜5；（3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．6．（2017春•黄陵县校级月考）设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，ab，ab，b【分析】根据不等式的性质进行运算即可得到结论．【解答】解：∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4，−1∴﹣2＜a+b＜