《汽车电工电子技术》课件第2章

第2章正弦交流电路2.1正弦交流电的基本概念

2.2单相正弦交流电路

2.3三相正弦交流电路

习题

2.1正弦交流电的基本概念

2.1.1交流电的概念随时间按正弦函数变化的电动势、

电压和电流总称为正弦交流电，

它们的表达式为

式中,小写字母e、u、

i是这些量的瞬时值。

(2-1)

图2.1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t/s、弧度ωt/rad或电角度ωt/度(°）表示。图2.1正弦电动势波形图

在具有一对磁极的交流发电机中，转子旋转一周，电动势交变一个周期，所以转子旋转的机械角度等于电动势变化的电角度。当发电机具有两对磁极时，转子旋转一周，电动势交变两个周期，此时机械角度变化360°，而电动势变化720°机械角度就不等于电角度。

波形图中标出的是电角度或电弧度。

2.1.2正弦交流电的三要素

1．周期、频率和角频率正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位为秒（s），如图2.1所示。1s内正弦量的交变次数称为频率，用字母f表示，单位为赫兹（Hz），简称赫。显然，频率与周期互为倒数，即（2-2）

我国规定工业用电标准的频率（工频）为50Hz。

正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω表示，单位为弧度每秒（rad/s）。由于正弦量交变一周为2π弧度，

故角频率与频率的关系为

(2-3)例2-1频率为50Hz的交流电，其周期与频率各为多少？

解因为

所以

ω=2πf=2×50π=100π=314(rad/s)在某些设备中需要频率较高的交流电，例如高频电炉所用的频率可达108Hz，无线电工程上使用的频率约为105~3×1010Hz。

2．相位、初相位和相位差正弦量在不同的时刻有不同的瞬时值。例如电动势e=Emsinωt，当t变化时，ωt也变，e的数值随之而变，ωt就称为正弦量的相位或相位角。初相位是一个反映正弦量初始值的物理量，是计时开始时的相位角。在图2.2中，e1和e2是两个频率相等的正弦电动势，但是它们的初相位是不同的。

它们的函数式是

(2-4)当t=0时，e1=Em1sin(ωt+φ1)，e2=Em2sin(ωt+φ2)，它们的初相位角分别为φ1和φ2。因此当φ1≠φ2时，e1和e2的初始值是不相等的。两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差，简称相位差，用φ表示。式（2-4）中e1和e2的相位差为图2.2正弦电动势的相位

图2.3同相与反相的正弦量

3.最大值和有效值

交流电在某一瞬间的数值称为瞬时值，规定用小写字母表示，例如e、u、i，分别表示正弦电动势、电压、电流的瞬时值。在一周期内出现的最大瞬时值称为最大值，也称为幅值，分别用字母Em、Um、Im表示。最大值只是交流电在变化过程中某一瞬间的数值，不能用来代表交流电在一段较长的时间内作功的平均效果。交流电的有效值是以其热效应与直流电比较后确定的量值。正弦交流电的有效值1A或1V所产生的热效应与直流电1A或1V所产生的热效应相同。设有一电阻R，通以交变电流i，在一周期内产生的热量为

(2-5)同是该电阻R，通以直流电路I，

在时间T内产生的热量为

(2-6)热效应相等的条件为QAC=QDC,因此可得交流电的有效值为

(2-7)有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，代入式（2-7）得其有效值为

即

或

同理得电动势和电压的有效值为

工程上通常所说的交流电压和交流电流的数值都是指有效值，如某电器的额定电压为220V，某电路的电流为3A。交流电表所测得的数值一般也是有效值。

2.1.3正弦交流电的表示法

1.相量法用来表示正弦量的复数称为相量。复数是相量法的基础，所以相量法又称为复数符号法。正弦电动势Emsin(ωt+φ)写成相量式时为

（2-10）

..式中E是表示正弦电动势e的复数，读作相量E。相量E既表达了电动势e的有效值，又表达了它的初相位。为了区别于只能表示有效值的E，相量E写成E。式中的j就是虚数。在数学中,是用i表示的，但是在电工学中i是电流，故用j表示。.

例2-2已知 , ，求e1和e2的和。解用相量法求和。

相量与的和为

将上式转换成极坐标式为

式中,φ为e的初相位。

从相量式可得e的函数式

2.相量图相量可以用有向线段在复平面上表示出来。线段的长度代表正弦量的最大值或有效值，称为相量的模；线段与横轴的夹角表示正弦量的初相位，称为相量的辐角。认为线段是以角频率ω按逆时针方向旋转的。图2.4是正弦电动势e1和e2的相量在复平面上的表示法。同频率的若干相量画在同一个复平面上构成了相量图。

相量图能清晰地表示出各相量的数值和相位关系。例如从图2.4中可以看出E1>E2，且相量E1导前于相量E２，相位差为φ1-φ2。

..图2.4复平面的上相量

3.j的几何意义

j既是一个虚数单位，同时又是一个旋转因子。因为任何相量与j相乘意味着该相量按逆时针方向旋转了90°。例如，在图2.5中，设相量A的模为1、辐角为30°,其相量式为

.相量每乘j一次，意味着逆时针旋转90°。图2.5中画出了相量A每次乘j以后的旋转情况。不难证明，相量每乘（-j）一次，

则顺时针旋转90°。

.图2.5相量乘以j

4.相量的加法和减法

正弦量的加减法可以在相量图上进行。选定一个相量作为参考相量，假设其初相位为零，画在水平轴上，其他相量就可根据其与参考相量的相位差而画出。在作相量图时一般不画出坐标轴。在图2.6中，为参考相量，导前于的相位角为φ1。若要计算与之和，则式中,E为合成相量的模，其值为

φ为合成相量的辐角，其值为

若欲求E1与E2的差，则

..的模和辐角都可以从图2.6所示的相量图上求得。

图2.6相量的加法与减法

例2-3

已知 求e=e1+e2。

解设E2为参考相量，为使E2的初相位等于零，将各相量的初相位都增加30°，E1导前于E2的相位差仍为60°，如图2.7所示。e1与e2的相量和为 ，其中

....

在设定为参考相位时曾将各相量的初相量增加了30°，所以在写函数式时，e的初相位要扣除30°，得

图2.7例2-3图

2.2单相正弦交流电路

2.2.1单一参数的交流电路

1.纯R电路根据图2.8（a）中u和i的参考方向，得电压与电流的一般关系式为

（2-11）

图2.8电阻电路中的电压与电流(a)一般表示；

(b)相量表示；

(c)相量图；

(d)波形图

对于正弦电路，设电流为i=Imsinωt，则电压为式中,电压的有效值为

U=RI（2-13）

式（2-12）若写成相量式为

（2-14）

在任一瞬间，电阻元件中的电流瞬时值与同一瞬间加在电阻元件两端的电压瞬时值乘积，称为电阻的瞬时功率，用pR来表示，

即

由于电压与电流同相，所以pR在任一瞬时的数值都是正值,如图2.8(d)所示。所以电阻元件总是从电源吸收功率，是一种耗能元件。

在一个周期内耗能的平均值称为平均功率或有功功率，用PR来表示，即

(2-16)

在电阻电路中,平均功率中电压和电流都是有效值。

有功功率的单位是瓦特(W)。从以上分析可得出如下结论：（1）电阻电路中，电压与电流的瞬时值、有效值、最大值和相量值均符合欧姆定律，即

（2）电压与电流同相。（3）电阻元件是耗能元件。有功功率

例2-4已知：加在电阻元件两端的电压 R＝110Ω，求I、i、I和PR。

解

.

2.纯L电路在图2.9（a）中，将线圈当作是一个理想的电感元件，图中标出了电流、电动势和电压的参考方向。根据电磁感应定律，当线圈中的电流变化时，线圈中将产生自感电动势，其大小与电流的变化率成正比，

即

（2-17）

在图2.9（a）中，

电压和电动势、电流的关系为

（2-18）

在正弦电路中，设线圈电流为i=Imsinωt，则电压为式中,U=ωLI，或I=U/ωL。可见，当线圈电压为定值时，ωL越大则电流越小，所以ωL有阻碍电流的作用，称之为电感性电抗，简称感抗，用XL

表示，单位为欧姆，即感抗XL为(2-20)由此得电感电路中电压与电流的数值关系为

(2-21)从式（2-19）还可以看出，电感电路的电压导前于电流90°，亦即电流滞后于电压90°。式（2-19）写成相量式为

(2-22)电感电路瞬时功率为pL

（2-23）

上述表明，电感电路中瞬时功率pL，是以2ωt的角频率变化的，如图2.9(d)所示。当pL为正时，电感元件从电源吸取功率，将电能转为磁能，此时电感线圈起着负载的作用；当pL为负时，

磁能又转为电能，

回送到电源，此时电感线圈起着电源的作用。

图2.9电感电路中的电压和电流(a)一般表示；

(b)相量表示；

(c)相量图；

(d)

波形图

pL在一个周期内的平均值为

(2-24)上述说明在一个周期内电感线圈“吞吐”能量相等，没有能量损耗，故有功功率为零，所以电感元件不是耗能元件，

而是储能元件。

为了衡量电感线圈与电源之间的能量互换的大小，采用瞬时功率pL的最大值来表示。这个能量互换的最大值为电感电路无功功率,用ＱL表示，即

(2-25)无功功率的单位是乏(var)，以便与有功功率的单位区别。无功功率有功率的量纲，但无功率的实质，

因为这并非是消耗的功率，“无功”由此得名。

从上述分析可得出以下结论：（1）

电感电路中电压与电流的一般关系式为

或

（2）

在正弦电路中，可以写成相量式

或

相量式表明，电感电路中电流滞后于电压的相位角90°，如果不考虑相位关系，有

或

式中,感抗XL=ωLI=2πfL。(3)电感元件是储能元件。

有功功率

PL=0无功功率

例2-5已知：通过一纯电感空心线圈的电流 ，电感L=127mH，求线圈两端的电压U和u、U和ＱL，并作U与I的相量图。

解

ω=314rad/s，

L=127mHXL=ωL=314×127×10-3=40（Ω）

故得

和的相量图，见图2.10，可知，电压导前电流90°,根据t=0时，画出它们相量图，如图2-10所示（长度为有效值）。

图2.10例2-5图

3.纯C电路电容器的基本构造是中间有绝缘层的两个金属薄片，理想电容元件的图形符号如图2.11（a）所示。

图2.11电容电路中的电压和电流(a)一般表示；

(b)相量表示；

(c)相量图；

(d)

波形图

电容器充电或放电时的电流为

（2-27）

在正弦电路中，设u=Umsinωt，则

(2-28)式中，I为电流的有效值，

即

或

可见当电压为定值时，1/ωC越大，电容电路的电流越小，所以1/ωC有阻碍电流的作用，称为电容性电抗，简称电容，用XC表示，单位为欧（Ω），即(2-29)因此电容电路中电压与电流的数值关系可写成

（2-30）

从式（2-28）可以看出，在电容电路中，电压与电流之间是不同相的，电流导前于电压的相位角为90°。式（2-28）的相量表示式为上式也可写为

（2-31）

电容电路瞬时功率pC为

pC=ui=UmImsinωtcosωt

（2-32）

瞬时功率波形如图2.11(d)所示。当pC为正时，电容器充电，电场储能；当pC为负时，电容器放电，电场能又送回电源。在pC一个周期内的平均值为

（2-33）

上述说明与电感器一样，电容器“吞吐”能量相等，不消耗能量，有功功率为零，也是储能元件。

同理，电容器与电源之间能量互换的过程中，瞬时功率PC最大值为无功功率,用QC表示，即

（2-34）

从以上分析中得到的结论是：（1）

电容电路中电压与电流关系的一般表达式是

或

（2）

在正弦电路中，电压与电流的相量式为

或

可见电容电流导前于电压90°。

如果只考虑数值关系，则

或

(3）

电容元件是储能元件。

有功功率

无功功率

例2-60.2μF电容器上的电压为u=40sin(105t-50°)(V)。求I、I和i，并画出U和I的相量图。

解

图2.122.2.2RL串联交流电路由于电感线圈总含有一定的电阻，所以分析R与L串联的电路具有普遍意义。在串联电路中，设同一电流I为参考量，

根据基尔霍夫电压定律用相量列出电压方程，参照图2.13参考方向有

.而

得

(2-35)图2.13串联电路在已知电源电压和元件参数的情况下，可求得电流

（2-36）

式中,Z=R+jXL,称为电路的阻抗。阻抗

Z=R+jXL=|Z|∠φ

（2-37）

阻抗模

阻抗角φ是电压U与I之间的相位差

..(2-39)阻抗、阻抗模的单位都是欧姆。

或

由式(2-34)可知，R、XL和|Z|三者之间符合一个直角三角形三边之间关系，此三角形称为阻抗三角形，如图2.14所示。阻抗是复数，但不代表正弦量，所以Z上面不加点。阻抗三角形不应画成相量。

图2.14阻抗三角形

电路中电流、电压关系利用相量法分析就方便多了。根据图2.13中设定的电流和电压的参考方向，画出RL串联电路的相量图，设电流为参考相量，

画出各电压的相量：

得相量图如图2.15所示，与的合成相量即为总电压，从图中可知,φ总电压导前电流φ角。由、和构成的直角三角形称为电压三角形。

根据电压三角形求得

（2-40）

图2.15电压三角形

相量与的相位差角为

或

(2-41)

由此可见,φ角的大小与电流、电压的量值无关，而是取决于电路的电阻和感抗大小。电压三角形与阻抗三角形是相似的，

但电压三角形用相量表示。

在RL串联电路中，电阻元件要消耗功率，

所以有功功率

由于UR=Ucosφ，故有功功率可表示为

P=UIcosφ

式中，cosφ是电路中电压与电流之间相位差角φ的余弦，叫做电路的功率因数，用λ表示。它是表征交流电路状况的重要数据之一。功率因数的大小是由负载性质来决定的。电阻性负载cosφ=1。电感性负载(含R和L)和电容性负载(含R和C)cosφ<1。在RL串联电路中，电感元件要与电源互换能量，所以无功功率

Q=ULI=UIsinφ

(2-43)在这里，将功率量纲的UI，即电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，单位是伏安(V·A)即

S=UI(2-44)

视在功率可以表明一个电气设备做功的能力，所以一般交流发电机及变压器等设备的额定量，在铭牌上标出的都是额定视在功率。

综上所述，

有功功率和视在功率的关系为

（2-45）

图2.16功率三角形

例2-7

已知RL串联电路，总电压，R=8Ω，L=19.1mH,求电路中电流I和，电压uR和uL，功率因数cosφ及功率P、Q、S。

解

即

因为

所以

（Ｖ）（Ｖ）有功功率（Ｗ）无功功率

(Var)视在功率

(V·A)例2－8一个线圈接在50Hz，220V的交流电源上，测得线圈的功率为20W，电流为0.5A。若把线圈的等效电路看作是由R与L串联而成，求R与L。

解由于功率表测得的是消耗的平均功率P，故得线圈的等效电阻为

（Ω）

线圈阻抗

线圈电抗

线圈电感

例2.9

一个线圈接在正弦电源上，已知U=100V，I=5A，相位差角。求：（1）线圈的阻抗模；（2）将线圈看作是RL串联电路时的等效电阻和感抗；（3）阻抗。解

（1）阻抗模

（2）从阻抗三角形可得

等效感抗

（3）阻抗

2.2.3RLC串联交流电路及串联谐振

1、RLC串联电路在串联电路中，各元件的电流相同，元件电压与总电压的关系可根据基尔霍夫第二定律用相量形式列出电压方程。参照图2－17中的参考方向，有

由于

，故得

图2－17RLC串联电路由于

，故得

（2－47）

在已知电源电压和元件参数得情况下，可求得电流

（2－48）式（2－48）可写成类似于欧姆定律的形式

（2－48）

（2－49）

式中， 称为电路的阻抗，用大写的Z代表。阻抗的实部为电阻，虚部为感抗与容抗的差，称为电抗，用X表示，即

（2－50）

电抗

阻抗模

（2－51）

相位差

（2－52）

阻抗、阻抗模和电抗的单位都是欧姆。当频率一定时它们的值均取决于元件参数R、L和C，而与电源电压无关。R、X和Z

构成阻抗三角形。正弦电路中的电流、电压关系可以用相量图直观地描绘出来。利用各相量之间的几何关系也可以求出未知的相量，以代替复数运算。

在图2－18中，根据图(a)中设定的电流和电压的参考方向，可画出RLC串联电路的相量图，如图（b）或（c）所示。

图2－18RLC串联电路及相量图

在作相量图时，可首先设定电流为参考相量，然后依次画出各电压的相量：

相量可用作图法求得，图2－18（b）是用平行四边形法求，图2－18（c）是用闭合多边形法求，它们的结果是一致的。

在相量图中，由相量、和构成电压三角形，如图2－19（a）所示。其中。这三个电压的数值关系为

（2－53）

相量与的相位差角为

(2－54)

当XL>XC,>0,电流滞后于电压角,负载是电感性的;XL<XC,<0,电流－导前于电压角,负载是电容性的,当XL=XC,￠=0,电流与电压同相位,负载是电阻性的。

在RLC串联电路中,电压三角形阻抗三角形功率三角形是相似的如图2-19所示从以上分析可得负载的功率有功功率

无功功率视功功率

图2-19

子例2－10

已知线圈的参数为R=6，XL＝8，与XC＝2的电容器串联后接在220V的正弦交流电源上。求：（1）电流I和；（2）电流与电源电压的相位差；（3）线圈的电压和。

解

（1）设

I＝25.9(A)

（2）电压的初相位为0°，电流的初相位为-45°,故知电流滞后于电压的相位差角φ=0-(-45°)=45°。（3）

2.串联谐振

1）串联谐振的条件图2.20为RLC串联电路谐振时的相量图。电路的阻抗Z=R+j(XL-XC)。要使电路呈电阻性，阻抗的虚部应等于零，故得串联谐振的条件为XL=XC，即2πfL=1/(2πfC)。由此得谐振频率为

（2-55）

f0称为电路的固有频率，它取决于电路参数L和C，是电路的一种固有属性。当电源的频率等于固有频率时，RLC串联电路就产生谐振。若是电源的频率是固定的，那么调整L或C的数值，使电路固有频率等于电源频率，也会产生谐振。图2.20串联谐振相量图2）串联谐振的特征串联谐振时电路的阻抗最小,谐振电流最大。

（2）

电压与电流同相，

cosφ=1。

（3）UL=UC，ULC=0；若XL=XC>R，则UL=UC>U，即电路电感和电容元件的电压大于总电压。由于XL=XC，

|Z|=R，

，

故得

（2-56）

若XL=XC>R，则UL=UC>U。

串联谐振时电感电压与电容电压大小相等，相位相反，互相抵消，因此串联谐振又称为电压谐振。串联谐振时若在线圈或电容上产生高电压则会造成绝缘的击穿，所以在电力电路中，是要设法避免的，然而在电子电路中却常常利用串联谐振。

例2-11在RLC串联电路中，已知R＝20Ω，L＝500μH，C＝161.5pF。（1）求谐振频率f0；（2）若信号电压U=1mV，求UL。

解

（1）

谐振频率

（2）

应用式（2-56）得

可见，通过串联谐振可使信号电压从1mV提高到88mV。

2.2.4R、L与C并联的交流电路及并联谐振

1.R、L与C并联的交流电路含有一定电阻的电感性负载和电容器并联，在实际电路中是经常出现的，如图2.21（a）所示。由于是并联支路，其两端的电压是相同的，因而在用相量图分析时，可以电压u作为参考相量，如图2.21（b）所示。元件电流与总电流的关系可根据基尔霍夫第一定律确定。图2.21R、

L与C并联的电路及相量图

用相量形式列出电流方程,参照图2.21(a)中的参考方向,有

R、L支路中的电流

式中,Z1是电感性负载的阻抗。

IL滞后电压Uφ1的角度,其值为

电容支路中的电流

式中,Z2是电容性负载的阻抗。

IC的相位导前电压U的角度是π/2。

故得

(2-58)为了便于计算,见图2.21(b），现把分解为两个分量：一个是的水平分量，它与电压同相位，称为的有功分量；另一个是的垂直分量，它与电压有π/2的相位差，称为的无功分量。但必须指出，并非是电阻上通过的电流，也不是感抗上通过的电流，在电阻和感抗上通过的电流都等于。我们把一条支路上的电流分解为两个分量的目的，不过是为了便于计算而已。作了上述分解以后，便可求得

(2-59)

总电流与电压之间的相位差可由下式求得

(2-60)当IC<ILsinφ1时，总电流则滞后于电压，整个并联电路相当于一个电感性的负载；当IC>ILsinφ1时，总电流则导前于电压，整个电路相当于一个电容性负载；当IC=ILsinφ1时，总电流与电压同相，整个电路相当于一纯电阻性负载，此时总电流的有效值最小。

从以上分析可以看出，在电感性负载的两端并联适当的电容器后，可以起下述两方面的作用：

(1)使总电流减小，它比负载上的电流I1还要小，这是因为 与相位相反，相互抵消的缘故。

(2)使总电流与电压间的相位差φ小于感性负载上的电流与电压间的相位差φ1，这样就提高了电路的功率因数，减小了电路的无功功率，

即

例2-12如图2.21（a）所示，设已知：R＝10Ω，L＝55.1mH，C＝80μF，电压U＝220V，f＝50Hz，求总电流I。

解

由图可知，

总电流

提高电感性电路功率因数的常用方法是在电路两端并联电容器。在未接入电容器前，线路电流 滞后于的相位角为φ1。并联电容器后，线路总电流 ，从图2.21（b）可以看出，在数值上I<IL，同时相位角φ<φ1，路的功率因数提高了。

电容C的数值可由相量图求得。在图2.21（b）中：

IC=ILsinφ1-Isinφ

（2-61）

并联电容器并不影响原有负载的工作，也不改变原有负载的功率，故有

代入式（2-61），得

（2-62）

由于

故得

（2-63）

式中φ1和φ分别是并联电容器前、后的相位角。

2.并联谐振

1)并联谐振的条件图2.22是线圈R、L与电容器C的并联谐振的相量图。当电路谐振时，与同相，故从相量图可得谐振条件为

(2-64)由于

图2.22并联谐振的相量图将以上各式代入式（2-64）得

将XL=2πfL， 代入上式，整理后得谐振频率（2-65）

如果线圈的电阻较小，上式可近似认为

（2-66）

2)并联谐振的特征（1）从相量图可知，若R<<XL,φ1≈90°,且IC≈IL，I≈0。换言之，电路在谐振时呈现出最大的等效阻抗，这与串联谐振时的情况相反。（2）电压与总电流同相，电路的cosφ=1。（3）若R较小时，线圈和电容器中的电流会比总电流大，即支路电流大于总电流，这从相量图可以看出。因为

若

可认为

因R<<XL，且IL≈IC，故得

（2-67）

并联谐振时电感电流与电容电流大小相等、相位相反，互相抵消，因此并联谐振又称为电流谐振。并联谐振在电工和电子技术中也有广泛的用途。利用并联电容器来提高电感性电路的功率因数时，若将功率因数提高到1，

电路就处于并联谐振状态。

例2-13

在图2.21（a）中，已知L＝500μH，C＝234pF，R＝20Ω。（1）求f0；（2）设I＝1μA，求谐振时的IC。

解

(1）故得

（2）

XL=2πf0L=2π×465×103×500×10-6=1460（Ω）应用式（2-67），

得谐振时

所以电容器电流是总电流的73倍。

2.3三相正弦交流电路

2.3.1三相电源

1.三相电动势的产生三相电网的电动势是由三相发电机产生的。三相发电机的结构原理如图2.25所示。发电机主要由固定的定子和转动的转子两部分组成。定子铁芯由硅钢片叠压而成，内圆表面有凹槽，槽内安放的线圈称为绕组。三相发电机有三组独立的绕组，总称为三相绕组。每相绕组的首端用U1、V1、W1表示，末端用U2、V2、W2表示。各绕组的首端与首端之间以及末端与末端之间都是相隔120°安放，如图2.25所示。

图2.25三相发电机原理图

各相绕组的匝数和形状都相同，

图2.26所示为U相绕组的示意图。

图2.26定子绕组示意图

发电机的转子是由内燃机、汽轮机等驱动的磁极，磁极铁芯上装有励磁绕组，其中通以直流电。由于磁极是旋转的，所以外部直流电源要通过电刷和装在转轴上的滑环，才能将电流通入励磁绕组。采用适当的磁极极面形状，可使定子与转子之间气隙中的磁通密度呈正弦形状分布。这样，当转子以恒定转速旋转时，定子绕组中感应出来的就是正弦电动势。设三个绕组中正弦电动势的瞬时值为e1、e2和e3，则其有效值为E1、E2和E3，最大值为E1m、E2m和E3m。由于每相绕组的匝数和形状相同，而且是由同一个磁极旋转时产生的，所以三个电动势的有效值或最大值彼此相等。由于三相绕组以同一速度切割磁力线，

所以三个电动势的频率相等，即

（2-68）

式中,n为转子的旋转速度，单位为r/min（转每分），p为磁极的对数。例如在图2.25中，磁极数为2,p等于1。若转速为3000r/min，则电动势的频率为50Hz。当磁极对数p为1（二极）时，转子旋转一圈，电动势变化一个周期。但由于三个绕组在空间互差120°，所以电动势之间有120°的相位差。从图2.25可以看出，电动势e2滞后于e1120°，e3又滞后于e2120°，如图2.27所示。

图2.27三相电动势波形图

三个电动势到达正或负的最大值的先后顺序称为三相交流电的相序。一般以e1为参考电动势，若e2滞后于e1，e3又滞后于e2时（1→2→3的相序）,就称为顺相序。反之，若为（1→3→2的相序）则称为逆相序。如无特别说明，三相电动势总是指顺相序。在三相发电机中，三个电动势的最大值和频率都是相同的，在相位上互相差120°，这样的电动势就称为三相对称电动势。

三相对称电动势的函数表达式为

(2-69)它们的波形如图2.27所示，

用相量表示时为

(2-70)图2.28三相电动势相量图

2.三相电源的星形连接在三相制的电力系统中，电源的三个绕组不是独立向负载供电的，而是按一定方式连接起来，形成一个整体。连接的方式有星形(Y形)和三角形（△形）两种，如图2.29所示。较为常见的是星形连接三相四线制供电系统，其接法见图2.29（a）。

在星形连接中，三相绕组的三个末端U2、V2、W2连接在一起，成为一个公共点，称为中性点。从中性点引出的导线，称为中性线，用字母N表示。低压系统的中性点通常接地，故中性点又称零点，中性线又称零线或地线。图2.29三相电源的连接方法(a)星形连接；

(b)三角形连接

从三相绕组的三个首端U1、V1、W1引出的导线称为相线或端线，又称为火线。三条引出的相线在电路图中分别用L1、L2、L3表示。三根相线和一根中性线都引出的供电方式称为三相四线制供电，中性线不引出的方式称为三相三线制供电。在三相四线制供电系统中，相线与中线之间的电压称为相电压，用U1、U2和U3表示；相线与相线之间的电压称为线电压，用U12、U23和U31表示。相电压和线电压的参考方向如图2.30所示。图2.30星形连接的相电压与线电压

如果忽略电源三相绕组以及导线中的阻抗，那么三个相电压就等于相对应的三个电动势。因为三个电动势是对称的，

所以三个相电压也是对称的。

故得

(2-71)按图2.30所设的电压参考方向，有

（2-72）

将式（2-71）代入式（2-72），再将相电压的有效值用UP表示，得

（2-73）

图2.31为星形连接时相电压和线电压的相量图。可见，当相电压对称时，线电压也是对称的。线电压的有效值为相电压有效值的倍。在相位关系上，各线电压分别导前于相应的相电压30°。若将线电压用UL表示，则我国低压供电线路的标准电压为相电压220V，

故线电压等于380V。

图2.31星形连接电压相量图

2.3.2三相负载的星形（Y）连接

三相负载可以根据对电压的要求连接成星形或三角形。图2.32为三相四线制供电线路上的星形接法的负载。这种接法的特点是各单相负载（如电灯泡）的一端连接在相线上，另一端都连接在中性线上。三相负载（如三相电动机）有星形和三角形两种接法，图2.32中画出了三个绕组作星形接法的电动机示意图。

图2.32三相电网中的星形负载

三相负载作星形连接时的电路可画成图2.33所示的形式。图中Z1、Z2和Z3为各相负载的阻抗，U1U2、V1V2、W1W2为三相电源的绕组。如果不计连接导线的阻抗，负载承受的电压就是电源的相电压，而且每相负载与电源构成一个单独回路，任何一相负载的工作都不受其他两相工作的影响，所以各相电流的计算方法和单相电路一样，即(2-75)

根据图2.33中电流的参考方向，

中性线电流

（2-76）

图2.33三相负载的星形连接

图2.34对称星形负载相量图

如果三相负载是对称的，即阻抗Z1、Z2和Z3彼此相等，则电流和的有效值也相等，在相位上互差120°，是一组对称的三相电流，如图2.34所示。所以中性线电流

既然中性线没有电流，就可以取消中性线。此时三根导线中电流的代数和等于零。在任一瞬间，电流总是沿着一根或两根相线流经负载，然后再沿着其余导线返回电源。三相四线取消中性线后便成为三相三线制。

三相电动机和各相电阻相等的三相电阻炉都是对称的三相负载，可不接中性线运行。照明电路不能保证三相负载对称，故必须设置中性线，而且要保证中性线的可靠性。在供电线路的干线上，中性线不设熔断器和开关。三相三线制的星形连接只能在三相负载确保对称时采用。否则，在没有中性线的情况下，不对称的各相负载上的电压，将不再等于电源的相电压，有的相偏高，有的相偏低，这将使负载损坏或不能正常工作。所以中性线的作用是保证星形连接负载的相电压等于电源的相电压。

例2-14

在三相四线制的供电线路中，已知电压为380/220V，三相负载都是白炽灯，其中L1相电阻R1为11Ω，L2相电阻R2为22Ω，L3相电阻R3为44Ω。求各线电流，并作相量图。

解

在图2.35中,设

得各线电流为

图2.35例2-14图(1)图2.36例2-14图(2)2.3.3三相负载的三角形（△）连接

图2.37所示为三相电网中三角形接法的负载。在线电压为380V的三相电源上，如果单相负载的额定电压为380V，如交流电焊机灯，就要连接在电源的两根相线之间。若是这样的单相负载较多时，就是分别接在各相线之间，使电网的三相负载比较均衡。负载的这种接法，称为三角形连接。此外，有些三相对称负载，如正常运行时三个绕组接成三角形的三相电动机，

它的三个绕组也是分别跨接在三根相线之间。

图2.37三相电网中的三角形负载

三角形连接。此外，有些三相对称负载，如正常运行时三个绕组接成三角形的三相电动机，它的三个绕组也是分别跨接在三根相线之间。

三角形连接的特点是每相负载所承受的电压等于电源的线电压。由于各相负载的电压是固定的，故各相负载的工作情况不会相互影响，各相的电流可以按单相电路的方法进行计算。三角形接法的负载不需要中性线，

可由三相三线制供电。

图2.38三相负载的三角形连接

由此可得相电流为

（2-77）

根据基尔霍夫电流定律得线电流为

（2-78）

如果是三相对称负载，即Z12＝Z23＝Z31，那么相电流和线电流一定也是对称的，即I12＝I23＝I31＝IP，I1＝I2＝I3＝IL它们的绝对值相等，在相位上互差120°。图2.39为对称三角形负载的电压和电流的相量图。

图2.39对称三角形负载相量图从相量图可以看出，三相对称三角形负载的线电流与相应的相电流的相位关系是滞后于，滞后于，滞后于；在数值上，线电流IL为相电流IP的倍，即（2-79）

在三相负载中，不论如何连接，总的有功功率等于各相有功功率之和，

即

（2-80）

若三相负载对称，则各相功率相同，故三相总功率可简化为

（2-81）

式中,UP为相电压，IP为相电流，cosφ为每相负载的功率因数。同理，无功功率和视在功率分别为

（2-82）

（2-83）

三相功率若以线电压和线电流表示时，对于三相对称星形负载，由于 ，

故得

对于三相对称三角形负载，由于UP=UL， ,故得

可见，对于三相对称负载，不论是星形或三角形接法，

都可以用同一个公式来表示，

即

（2-84）

式中,cosφ为每相负载的功率因数。同理可写出三相对称负载的无功功率和视在功率分别为

（2-85）

（2-86）

例2-15在图2.40中，已知Z12、Z23和Z31均为16+j12Ω，电源电压为380V。求各电流表的读数。

解本题为三角形接法的对称负载，各相阻抗均为

各相电流为

各线电流为

所以各电流表的读数都是32.9A。

图2.40例2-15图

例2-16

上题中，若Z23改为8+j6Ω，其余条件不变。求各电流表的读数。

解设 各电压和电流的参考方向与图2.38中的参考方向相同。根据式（2-77）得各相电流为

根据式（2-78）得各线电流为

因此，电流表A1的读数（I1）为32.9A，电流表A2和A3的读数（I2和I3）都为50.3A。

例2-17

在图3-41中，星形连接和三角形连接负载的每相阻抗都为4+j3Ω，电源的线电压为380V。分别计算两种接法三相负载的总功率。

解每相负载阻抗的绝对值为每相负载的功率因数为

图3-41例2-17图对于星形负载，有

对于三角形负载，有

由此可见，当电源的线电压相同时，三角形负载的功率是星形负载的3倍。这是由于三角形负载的每相电压是星形负载每相电压的倍，而功率是与电压的平方成正比关系的。

习

题

2-1已知Im=10A，f=50Hz，φ=60°。写出i的正弦函数表达式；求t=1ms时的i。

2-2已知u1=141sin(ωt-30°)(V)，u2=282sin(ωt+45°(V)。（1）写出相量式和；（2）求u1与u2的相位差。

2-3已知 ，角频率都是ω0。

写出i1和i2的正弦函数表达式。

2-4已知u1=70.7sin(ωt+150°)(V)，=50∠30°(V)，角频率与u1相同。写出与u2的表达式；计算它们的函数和。

2-5已知i1=10sin(ωt+30°)(A)，i2=10sin(ωt-60°)(A)，用相量法求它们的和及差。

2-6在图2.44中，已知I1=10A，I2=20A，U=100V。（1）写出i1、i2、u的正弦函数表达式；（2）求电流和的有效值；（3）求电流差的有效值。

2-7在图2.45中，已知R=10Ω，u=141sin(314t+30°)(V)。求电流表和电压表的读数。图2.44题2-6的图

图2.45题2-7的图

2-8已知线圈的电感L=100mH，电阻不计。当线圈电流为i=14.1sin(314t+30°)(mA)时，求感抗XL及线圈电压。

2-9当线圈接在60V直流电源上时电流为10A，接在50Hz、60V交流电源时电流为6A。求线圈电阻R、感抗XL和电感L。

2-10已知负载的阻抗Z=25+j43.3Ω，=50∠0°(V)。（1）求负载电流I；（2）求相位差角。

2-11已知负载电压

=100∠0°(V)，电流

=50∠60°(A)。求阻抗Z，并判断负载性质。

2-12已知电阻炉额定电压为100V，功率为1000W，串联一个电阻为4Ω的线圈以后,接在220V的交流电源上。求：（1）线圈感抗；（2）电流；（3）线圈电压。

2-13在R1、XL与R2和XC串联的电路中，已知R1=10Ω，XL=4Ω，电源电压=100∠-120°(V)，电感电压=20∠0°(V)。（1）画出电路图和相