《画法几何与机械制图》课件第6章

第6章立体与立体表面相交6.1平面立体与回转体表面相交6.2两回转体表面相交6.3多个立体表面相交在物体上，经常会见到立体表面相交的情形。立体表面相交时产生的交线称为相贯线，相交的立体常称为相贯体。立体表面相交常见的形式有三种：①平面立体与平面立体表面相交；②平面立体与回转体表面相交；③回转体与回转体表面相交，如图6-1所示。在视图上画出立体表面交线(相贯线)的投影，能帮助我们弄清各形体之间的分界线，有助于看图和想像物体形状。图6-1立体表面相交的三种常见形式在图6-1(a)中，平面立体可看做由若干个平面围成的实体，因此，两平面立体表面相交产生的相贯线，可转换成平面与平面相交求交线的问题去解决。本章重点讨论图6-1(b)、(c)所示相贯线投影作图问题。

相贯线随相交两立体的表面形状、大小及相对位置的变化而形状各异，但相贯线均具有如下性质：

(1)相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线是两立体表面的共有线，即分界线。

(2)相贯线一般是闭合的。

由性质(1)可知，求相贯线的基本问题就是求出相交两个表面的共有点。相贯线上的点包括特殊点和一般点。特殊点是指能够确定相贯线形状和范围的点，包括相贯线上的结合点，可见与不可见的分界点，最高和最低、最左和最右、最前和最后点，转向轮廓线上的点等，在条件允许的情况下，这些特殊点应全部求出。一般点则是在相贯线发生的范围内、位于特殊点之间的一些点，一般点是为了作图准确而适当选取的，有时也称为中间点。

求相贯线的常用方法有利用积聚性、辅助平面法和辅助球面法。本章讨论常用的前面两种方法，辅助球面法可参阅相关教材。

(1)利用积聚性：两立体相交，当其中有一个立体的表面(平面或圆柱面)垂直于某一投影面时，立体的表面具有积聚性(积聚为直线或圆)，相贯线在这个投影面上的投影则重合在有积聚性的直线或圆上，即相贯线在这个投影面上的投影是已知的，从而可利用积聚性求出相贯线在其它投影面上的投影，即可作出相贯线。

(2)辅助平面法：利用一个与参加相贯的两个立体均相交(含相切)的辅助平面切割相贯体，所产生的两组截交线的交点是辅助平面与两立体表面的三面共点，即为相贯线上的点，从而作出相贯线的投影。

6.1平面立体与回转体表面相交

如图6-1(b)所示，平面立体与回转体表面相交产生的相贯线，一般是由若干段平面曲线(或直线)组成的空间封闭图形，而每段平面曲线(或直线)也是平面立体的各个棱面与回转体表面相交产生的截交线。因此，求相贯线的问题可简化为求截交线的问题，只要能够求出各段截交线的投影，即可得到相贯线的投影。

【例6-1】

如图6-2(a)所示，已知三棱柱与半球相贯，试完成相贯体的三视图(主视图和左视图中的双点画线表示立体未确定的图线)。

【解】(1)空间情况和投影分析。由已知条件可知，相贯体左右对称，因此相贯线也左右对称。三棱柱在俯视图中具有积聚性，所以相贯线的水平投影是已知的，可利用积聚性求出其它投影。三棱柱与半球相贯，可以看做半球被三棱柱的三个棱面(截平面)切割，每一个棱面切割半球面产生一条截交线，求出每一条截交线的投影，即得到相贯线的投影。三棱柱的三个棱面均垂直于水平面，因此相贯线的水平投影重合在三个棱面有积聚性的直线上。三个棱面分别切割半球所产生的截交线实形均为圆弧，因棱面M和N为铅垂面，它倾斜于正面和侧面，所以截交线的正面投影和侧面投影都是椭圆弧；棱面P是正平面，它平行于正面、垂直于侧面，因此截交线的正面投影仍是圆弧，其侧面投影积聚为直线。因三棱柱的三条棱线均与半球表面相交，所以其交点就是相贯线上的结合点，三条棱线的投影长度一直延伸到结合点。

(2)作图方法。为作图清晰，作图中间步骤的轮廓线暂用细线表示。

①确定并求出相贯线上的特殊点。如图6-2(b)所示，相贯线上结合点的水平投影a、b、c和正面转向轮廓线上的点的水平投影d、e分别重合在棱面有积聚性的相应直线上，由辅助纬圆法或直接投影可求出其正面投影a'、b'、c'、d'、e' 和侧面投影a"、b"、c"、d"、e"，在求b'、c' 的同时求出了棱面P所产生的截交线圆弧b'c'，并确定了该圆弧的侧面投影到b"c" 为止；如图6-2(c)所示，截交线的最高点应位于最小的水平纬圆上，在俯视图中作出与三角形相切的圆即为最小水平纬圆，得到最高点的水平投影f和g，从而求出其正面投影f '、g'和侧面投影f " 和g"。以上各点同时还具有其它特殊点的含义，请读者自行分析。②求一般点。如图6-2(d)所示，利用积聚性，在俯视图适当的位置定出几对一般点的水平投影1、2和3、4，进而求出其正面投影1'、2'、3'、4' 和侧面投影1"、2"、3"、4"。

③判断可见性，连接截交线上的各点，确定各棱线的投影，完成作图。如图6-2(e)、(f)所示，在主视图中，d'、e' 以外的部分位于半球的后半个球面上，所以不可见；d'、e' 以内的部分位于半球的前半个球面上，所以可见。三棱柱左、右两条棱线延伸到b'、c'，中间棱线延伸到a'。在左视图中，由于相贯线左右对称，因此，位于左、右半个球面上的相贯线重合，而位于左半个球面上的相贯线是可见。三棱柱左、右两条棱线延伸到b"、c"，中间棱线延伸到a"。图6-2求三棱柱与半球表面相交的相贯线

6.2两回转体表面相交

如图6-3(a)所示，两回转体表面相交产生的相贯线，一般是一条封闭且光滑的空间曲线，特殊情况下也会呈现平面曲线的形式，如圆或椭圆等。

当参加相贯的回转体之一为轴线垂直于投影面的圆柱体时，均可利用积聚性求作相贯线上的点；不属于上述情况的，一般需要使用辅助平面法求解或两种方法综合求解。6.2.1利用积聚性求相贯线

利用积聚性就是利用回转体的回转面在某一个投影面上的投影具有积聚性，即在该投影面上，相贯线的投影重合在回转面有积聚性的投影上的特点，来求相贯线上一般点或特殊点的一种方法。只要参加相贯的两个回转体中，有一个是轴线垂直于投影面的圆柱体，就可以利用积聚性求出相贯线上的点，得到相贯线。

【例6-2】

如图6-3(a)所示，求直径不等、轴线垂直相交(正交)两圆柱的相贯线。图6-3直径不等、轴线垂直相交两圆柱的相贯线

【解】(1)空间情况和投影分析。由图6-3(a)可知，这是直径不等、轴线分别为铅垂线和侧垂线(轴线垂直且相交)的两圆柱相贯(正贯)。相贯体具有前后、左右的对称性，相贯线也是一前后、左右对称的封闭空间曲线，如图6-3(a)中的立体图所示。小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都积聚为圆，相贯线的水平投影和侧面投影积聚在两圆柱的积聚性投影上，即相贯线的水平投影和侧面投影是已知的，分别与两圆柱有积聚性的圆重合。也就是说，相贯线的水平投影是圆，相贯线的侧面投影是圆弧。因为相贯线前后对称，所以它的正面投影中，相贯线前半部分曲线与后半部分曲线重合为一段曲线。显然，只要求出相贯线上点的正面投影，即可得到相贯线的正面投影。

(2)作图方法。

①求特殊点(见图6-3(b))。该例中，转向轮廓线上的点有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，其中Ⅰ点是最高、最左点；Ⅲ点是最高、最右点；Ⅱ点是最前、最低点；Ⅳ 点是最后、最低点；同时，Ⅰ、Ⅲ 两点又是相贯线对正面投影可见与不可见的分界点，Ⅱ、Ⅳ 两点是相贯线对侧面投影可见与不可见的分界点。可利用转向轮廓线上取点的方法，由1、2、3、4和1"、2"、3"、4" 求出1'、2'、3'、4'。②求一般点(利用积聚性，见图6-3(c))。在俯视图中相贯线有积聚性的圆上，根据对称性在特殊点之间的适当位置，取一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 的水平投影5、6、7、8，据“宽相等”在左视图中相贯线有积聚性的圆弧上求出5"、6"、7"、8"，再求出正面投影5'、6'、7'、8'。③判断可见性后用曲线光滑连接(见图6-3(d))。因为相贯线是两回转体表面的共有线，所以只有参加相贯的两回转体表面在该投影面上的投影均可见时，相贯线才可见。两圆柱的前半个柱面的正面投影是可见的，而后半个柱面是不可见的，所以，位于前半圆柱面上的相贯线的正面投影1'、5'、2'、6'、3' 可见，位于后半圆柱面上的相贯线的正面投影不可见，1'、3' 两点是可见与不可见的分界点。因相贯线前后对称，所以前半相贯线遮住了后半相贯线，即粗实线遮住了虚线。在主视图上，用粗实线将相贯线上的各点按俯视图上各点的顺序光滑地连成曲线。④整理轮廓线(见图6-3(d))。完成相贯线后，有时立体的外轮廓线，特别是转向轮廓线因相贯的影响而不完整，需要整理。例如，在主视图中，大圆柱对正面的转向轮廓线在相贯线之间的部分已经不存在，这从俯视图中可以看到。

上例求圆柱与圆柱相贯线的分析方法和作图步骤，也适用于求其它回转体的相贯线。有时，当相贯线发生的范围较小或形状趋势较明显时，也可省略求一般点。

两圆柱体相交有三种形式：两外表面相交、两内表面相交、外表面与内表面相交。图6-4给出了圆柱体相交的常见三种形式，其相贯线的分析和作图与例6-2相同。从以上几种圆柱相贯线的作图结果可总结出以下规律：

(1)当直径不等，轴线垂直相交的两圆柱相贯时，在圆柱面有积聚性的视图中，相贯线为已知，在两圆柱面均无积聚性的视图中(如图6-3、图6-4中的主视图)，相贯线待求。

(2)相贯线总是发生在直径较小的圆柱周围(见图6-4主视图)。

(3)相贯线总是向直径较大圆柱的轴线方向凸起(见图6-4主视图)。

当相交的两个圆柱体的直径和两轴线的相对位置发生变化时，相贯线的形状也随之发生变化，但是其相贯线的分析和作图方法是类似的。(a)两外表面相交(b)外表面与内表面相交(c)两内表面相交图6-4两圆柱体相交常见的三种形式6.2.2辅助平面法求相贯线

如图6-5所示，利用“辅助平面法”求相贯线上点的原理和方法如下：

(1)作辅助平面P(或平面Q)，如图6-5(b)、(c)所示。在选择辅助平面时应注意：应选择特殊位置平面为辅助平面；辅助平面与参加相贯的两个已知回转面均相交；辅助平面与两回转面产生的交线都应是简单图形，如圆(圆弧)或直线。

(2)分别作出P平面(或Q平面)与两个已知回转面相交的交线(截交线)，如图6-5(b)、(c)所示。

(3)两交线的交点既在P平面上(或Q平面上)，又属于两回转体表面，因此是辅助平面与两个回转面的三面共点，即相贯线上的点，如图6-5(b)、(c)所示。图6-5利用辅助平面法求相贯线上的点辅助平面法求相贯线的使用场合较多，凡可用积聚性法求得的相贯线，均可采用辅助平面法；对于相贯线的投影无积聚性的情况，也可采用辅助平面法求得相贯线。

【例6-3】

如图6-6(a)所示，求直径不等、轴线垂直交叉(偏交)两圆柱的相贯线。

【解】

(1)空间情况和投影分析。由图6-6(a)可知，这是直径不等、轴线分别为铅垂线和侧垂线(轴线垂直但不相交)的两圆柱相贯(偏贯)，小圆柱全部贯穿大圆柱。相贯体具有上下、左右的对称性，因此相贯线是上下对称的两条封闭、光滑的空间曲线，且每条相贯线自身左右对称。因为小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都积聚为圆，所以相贯线的水平投影和侧面投影也为已知的圆和圆弧(显然，该例也可以采用积聚性法求解)。因相贯线上下对称，所以只讨论上面一支相贯线的求法。

(2)作图方法。

①求特殊点(图6-6(b)、(c))。特殊点有Ⅰ(最左点)、Ⅲ(最右点)、Ⅱ (最前点)、Ⅴ(最后点)，这四个点也分别是大圆柱对正面和侧面转向轮廓线上的点；Ⅳ、Ⅵ 两点是最高点，也是小圆柱对正面转向轮廓线上的点；相贯线相应的投影在这六个点与转向轮廓线相切。这些点可由水平投影和侧面投影，利用转向轮廓线上取点的方法直接求得正面投影。②求一般点(图6-6(e)、(f))。采用辅助平面法求一般点。在特殊点之间的适当位置，作一辅助正平面P(PH，PW)与两圆柱面相交(参看图6-6(d))，在主视图中，得到的截交线是两组平行直线，两组截交线的交点即为相贯线上的一对一般点的正面投影7'、8'。同理，用辅助正平面Q(QH，QW)可求出另一对一般点的正面投影9'、10'。

③判断可见性后用曲线光滑连接(图6-6(g))。对正面投影的可见性，可由俯视图和左视图作出判断。在主视图中，以1' 和3' 分界，这两点以前的相贯线可见，之后的不可见。在判断可见性后，即可用相应图线顺序光滑连接相贯线上的点，得到相贯线的投影。④整理轮廓线(图6-6(g))。在主视图中，大圆柱对正面的转向轮廓线延伸到点6' 和4' 为止，伸入的一段不可见；小圆柱对正面的转向轮廓线延伸到1' 和3' 为止，伸入的一段可见，这些可从俯视图中观察到。因图形较小，图6-6(g)中用局部放大图表示了相贯线与转向轮廓线的切点及相贯线、转向轮廓线的可见性。图6-6直径不等、轴线垂直交叉两圆柱体的相贯线

【例6-4】

求作如图6-6(a)所示的圆柱体与圆锥体(圆台)正贯的相贯线。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图6-7(a)可知，这是轴线垂直相交的圆柱体与圆锥体正贯，相贯线是一条前后、左右对称的空间曲线；圆柱的轴线为侧垂线，圆柱面的侧面投影积聚成圆，因此相贯线的侧面投影必定重合在圆上，且在圆锥体的侧面投影与圆重合的范围内，即图6-7(b)中的1" 和2" 之间的圆弧是相贯线的侧面投影(显然，该例也可以采用积聚性法求解)。相贯线待求的投影为正面投影和水平投影：因为相贯线前后对称，所以相贯线的正面投影重合为一段曲线；相贯线的水平投影是一条前后、左右对称的封闭曲线。

(2)作图方法。

①求特殊点(见图6-7(b))。先定出特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 的侧面投影1"、2"、3"、4"。Ⅰ、Ⅱ 两点是圆锥对侧面投影转向轮廓线上的点，可由1"、2" 求得1'、2'，再据“宽相等”求得水平投影1、2。Ⅲ、Ⅳ两点是圆锥对正面投影转向轮廓线上的点，可由3"、4" 求得3'、4'，再由3'、4' 求得水平投影3、4。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个特殊点的其它意义请自行分析。②求一般点(见图6-7(c))。采用辅助平面法求一般点。在适当位置作水平面P(PV，PW)，P与圆柱面和圆锥面相交得一组截交线矩形和纬圆(立体图见图6-7(d))，两组截交线的交点即为相贯线上的一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，它们的水平投影是5、6、7、8，由此求得正面投影5'、6'、7'、8' 和侧面投影5"、6"、7"、8" (见图6-7(c))。③判断可见性后用曲线光滑连接。相贯线正面投影的可见性分析与例6-3相似，不再赘述；因相贯线位于圆锥面和上半个圆柱面上，而上半个圆柱面和圆锥面(轴线为铅垂线)的水平投影均可见，所以相贯线的水平投影也可见。在主视图和俯视图上用粗实线将相贯线上的各点光滑连成曲线即可(见图6-7(e))。

④整理轮廓线。在主视图中，圆柱对正面的转向轮廓线和圆锥对正面的转向轮廓线到3'、4' 为止(见图6-7(e))。图6-7圆柱体与圆锥(台)正贯的相贯线

【例6-5】

试求图6-8(a)所示的圆柱体与半球相贯的相贯线。

【解】(1)空间情况和投影分析。由已知条件可知，这是一个半球与一个轴线为侧垂线的圆柱体相贯，相贯体前后对称，因此相贯线为一条前后对称的空间曲线。相贯线的侧面投影重合在圆柱体有积聚性的圆上(该例也可以利用积聚性求解)；相贯线的水平投影为一条前后对称的封闭空间曲线；相贯线的正面投影和水平投影待求。

采用辅助平面法求相贯线上的点：选择水平面P、Q、S作为辅助平面，辅助平面切割圆柱体和半球得到的截交线为直线和圆，由此可求得特殊点和一般点(参考图6-8(b)立体图)。

(2)作图方法。为作图清晰，作图中间步骤的轮廓线暂用细线表示。

①求特殊点(见图6-8(c))。先定出特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 的侧面投影1"、2"、3"、4"。其中Ⅰ、Ⅲ 为最前、最后点，Ⅱ、Ⅳ 为最高、最低点，这些点也是转向轮廓线上的点。可将Ⅱ、Ⅳ点看做球面对正面投影的转向轮廓线上的点，据侧面投影2"、4" 在正面投影的半圆上，可直接求出2'、4'，从而求得水平投影2、4。Ⅰ、Ⅲ 两点在圆柱对水平面的转向轮廓线上，也是球面上的一般点，包含圆柱体主视图中的轴线作辅助平面P(PV、PW)，P切割圆柱体和半球，在俯视图中得到直线和圆两组截交线(图6-8(b)立体图)，两组截交线的交点即为Ⅰ、Ⅲ点的水平投影1、3，由1、3在主视图的PV上得到正面投影1'、3'。图6-8求半球与圆柱体的相贯线②求一般点(见图6-8(d))。在特殊点之间适当的位置作出辅助平面Q(QV、QW)，求出一般点Ⅴ、Ⅵ 的三面投影，空间情况见图6-8(b)立体图；用辅助平面S(SV、SW)求一般点Ⅶ、Ⅷ 的三面投影。③判断可见性，用曲线连接。如图6-8(e)所示，相贯线的正面投影中，前半相贯线位于圆柱和球的可见表面上，所以其正面投影4'、1'、2' 为可见，而后半相贯线的投影4'、3'、2' 为不可见，与可见的一半重合，因此正面投影为一段可见的曲线；在俯视图中，因相贯线上的点1、2、3位于圆柱体和球可见的上半个表面上，所以是可见的，应用粗实线连接，点1、4、3则位于圆柱不可见的下半个柱面，所以它们不可见。注意：1、3两点为相贯线对水平面可见与不可见的分界点，也是相贯线与圆柱对水平面转向轮廓线的切点。④确定转向轮廓线，完成作图。如图6-8(f)所示，半球对正面的转向轮廓线到2'、4' 为止；圆柱对H面的转向轮廓线到1、3为止。注意：相贯线的水平投影与圆柱对H面的转向轮廓线相切于1、3两点。

【例6-6】

试求如图6-9(a)所示的圆台与半球的相贯线。

【解】(1)空间情况和投影分析。由图6-9(a)可知，由于相贯体前后对称，且圆台全部贯入半球，因此相贯线应为一条前后对称的封闭空间曲线；因参加相贯的圆台和半球表面在三个投影面上均无积聚性，所以相贯线的三面投影均为待求(不能采用积聚性法求解)。在主视图中，相贯线重合为一段曲线，在俯视图和左视图是一条前后对称的封闭曲线。参考图6-9中的立体图，分析特殊点的位置：最左点(最低点)Ⅰ和最右点(最高点)Ⅱ 应在圆台最左和最右的两条素线上，即对正面的两条转向轮廓线上；最前点Ⅲ 和最后点Ⅳ 应在圆台最前和最后的两条素线上，即对侧面的两条转向轮廓线上。可包含圆台对正面和侧面的转向轮廓线作辅助平面，来求出特殊点；一般点可采用水平辅助平面求得，水平面与圆台、球相交的截交线均为圆。

(2)作图方法。

①求特殊点(见图6-9(b)、(c))。包含圆台对正面的转向轮廓线作辅助正平面P(PH、PW)，P平面切割圆台的截交线就是其对正面的两条转向轮廓线，切割半球的截交线是半球对正面的转向轮廓线(半圆弧)，因此两组截交线的交点即为相贯线的最左(最低)点Ⅰ、最右(最高)点Ⅱ，由此得到Ⅰ、Ⅱ点的正面投影1'、2'，从而求得其它两面投影1、2和1"、2"；同理，包含圆台对侧面的转向轮廓线作辅助侧平面Q(QH、QV)，求得最前点Ⅲ、最后点Ⅳ

的三面投影3"、4"，3、4和3'、4'。②求一般点(见图6-9(d))。在特殊点之间适当的位置作出辅助水平面S(SV、SW)，S垂直于圆台和半球的轴线切割，在俯视图中得到两个截交线圆，两圆的交点即为相贯线上的一般点Ⅴ、Ⅵ 的水平投影5、6，据投影关系在SV和SW上可得到正面投影5'、6' 和侧面投影5"、6"。③判断可见性，用曲线光滑连接各点，完成作图(图6-9(e))。在相贯线的正面投影中，前半相贯线位于圆台和半球的可见表面上，所以其正面投影1'、5'、3'、2' 为可见，而后半相贯线的投影1'、6'、4'、2' 为不可见，并与可见的一半重合，因此正面投影应为一段可见的曲线；在俯视图中，因相贯线上的点全部位于圆台和半球可见的上半个表面上，所以是可见的；在左视图中，以3"、4" 为界，之上的相贯线位于圆台的右半个表面，是不可见的，之下的相贯线位于圆台的左半个表面，是可见的，3"、4" 是可见与不可见的分界点，也是相贯线与圆台转向轮廓线相切的切点。注意：圆台对侧面的转向轮廓线应延伸到3"、4" 为止。图6-9求圆台与半球的相贯线6.2.3相贯线的特殊情况

两回转体的相贯线在一般情况下是空间曲线，在特殊情况下也会呈现平面曲线的形式。下面介绍几种常见的特殊相贯的情况。

1．相贯的两个回转体轴线相交

当相贯的两个回转体的轴线相交，且轴线同平行于某一投影面时，如果它们公切于一个球面，则它们的相贯线为垂直于这个投影面的椭圆，这种情况存在于圆柱与圆柱、圆柱与圆锥、圆锥与圆锥相贯时。

1)圆柱与圆柱特殊相贯

图6-10(a)为正交的两圆柱体，它们的轴线均平行于正面，并公切于一个球面，其相贯线为垂直于正面的、形状相同的两个椭圆。在两圆柱轴线所平行的正面上，相贯线(椭圆)的投影为直线；在圆柱轴线所垂直的水平面和侧面上，相贯线(椭圆)的投影为圆或圆弧。图6-10给出了轴线垂直相交、等径相贯的两圆柱体相贯线常见的三种形式，它们同样可发生在圆柱与圆柱外表面、圆柱外表面与圆柱内表面、圆柱内表面与圆柱内表面之间。图6-10两圆柱特殊相贯的三种常见形式

2)圆锥与圆柱、圆锥与圆锥特殊相贯

图6-11(a)为圆锥与圆柱的特殊相贯，圆柱与圆锥的轴线相交，它们的轴线均平行于正面，并公切于一个球面，其相贯线为垂直于正面的两个椭圆；图6-11(b)为圆锥与圆锥的特殊相贯，圆锥与圆锥的轴线相交，它们的轴线均平行于正面，并公切于一个球面，其相贯线为垂直于正面的两个椭圆。图6-11圆锥与圆柱、圆锥与圆锥特殊相贯的相贯线

2．两回转体共轴线

当两回转体共轴线时，其相贯线为垂直于轴线的圆。据圆所在平面相对于投影面的位置，其投影可为直线、圆或椭圆，如图6-12所示。图6-12同轴回转体的相贯线 6.3多个立体表面相交