2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是A． B． C． D．3．（3分）的半径为，点到圆心的距离为2，若点在外，则A． B． C． D．4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判断5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在A．的三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．以上都不对6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为A． B． C． D．7．（3分）如图，四边形内接于，若，则的度数为A． B． C． D．8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径”尺寸）根据题意直径长为A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸10．（3分）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为A．3 B． C．6 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）已知是方程的一个根，则实数的值是．12．（3分）写出一个根为的一元二次方程：．13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是．14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是．15．（3分）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为．16．（3分）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．（结果保留17．（3分）已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为．18．（3分）如图，在扇形中，，，点在半径上，将△沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程有一个根为，求的值及另一个根．21．（10分）如图，点是内一定点．（1）过点作弦，使点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若的半径为13，，①求过点的弦的长度范围；②过点的弦中，长度为整数的弦有条．22．（10分）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图．（1）若，求作一个的角；（2）、分别是、边中点，求作的内心．23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，则阴影部分的面积？24．（10分）如图，是的直径，点在上，，垂足为，点与点在直径的两侧，且，、的延长线交于点，与的延长线交于点．（1）判断△的形状，并说明理由．（2）若的半径为5，，求的长．25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？26．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．（1）根据上述定义，一元二次方程（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求与的关系；（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．27．（10分）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：；【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明．【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．28．（10分）已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆．（1）判断与的位置关系：；（2）已知的半径为3，当所在直线与相切时，求的长；（3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．解：．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是A． B． C． D．解：，移项，得，配方，得，即，故选：．3．（3分）的半径为，点到圆心的距离为2，若点在外，则A． B． C． D．解：点在外，，的半径为，点到圆心的距离为2，．故选：．4．（3分）关于的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判断解：由题意得，△，原方程有两个不相等的实数根，故选：．5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在A．的三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．以上都不对解：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．故选：．6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，则可列方程为A． B． C． D．解：由题意有，故选：．7．（3分）如图，四边形内接于，若，则的度数为A． B． C． D．解：四边形内接于，，而，，．故选：．8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意；（4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．故选：．9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，垂直平分弦，寸，寸，求圆的直径”尺寸）根据题意直径长为A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸解：连接，，垂直平分弦，寸，寸，寸，在中，，即，解得：，故圆的直径为26寸，故选：．10．（3分）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为A．3 B． C．6 D．解：连接，，，，点关于点的对称点为点，，点在以为圆心，3为半径的圆上运动，令，则，要求值最大，越往上越大，当直线于相切时，最大，设直线于轴交于点，切点为，连接，则，由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为，△为等腰直角三角形，，即，最大值为，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）已知是方程的一个根，则实数的值是2．解：是方程的一个根，，解得：，故答案为：2．12．（3分）写出一个根为的一元二次方程：（答案不唯一）．解：因为一元二次方程的一个根为，所以这个方程可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是．解：此圆锥的侧面积．故答案为．14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是2.5．解：设中，，，，如图1，，，是直角三角形，且，取边的中点，，，，三点在以为圆心，为半径的圆上，即是的外接圆，，的外接圆的半径为2.5，故答案为：2.5．15．（3分）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为．解：如图，连接，切于点，，，，，，故答案为：．16．（3分）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．（结果保留解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，即，故答案为：．17．（3分）已知，，3分别是等腰三角形三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为5或6．解：①当、为腰时，，、是关于的一元二次方程的两个根，方程有两个相等的实数根，△，解得：；②当和3（或和是腰时，，把代入方程得，解得：；所以或6．故答案为：5或6．18．（3分）如图，在扇形中，，，点在半径上，将△沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为．解：如图，连接，由翻折的性质可知，，，，，，，△是正三角形，，，设，则，，在△中，，，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．解：（1），，，；（2），，或，，．20．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程有一个根为，求的值及另一个根．解：（1）关于的一元二次方程有实数根，△，解得：．（2）将代入原方程，，解得：，原方程为，解得：，．的值为5，方程的另一个根为．21．（10分）如图，点是内一定点．（1）过点作弦，使点是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若的半径为13，，①求过点的弦的长度范围；②过点的弦中，长度为整数的弦有4条．解：（1）如图1，连接并延长，过点作，则弦即为所求；（2）①过点的所有弦中，直径最长为26，与垂直的弦最短，连接，如图2所示：，，，过点的弦的长度范围为；②过点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有两条，过点的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．22．（10分）如图，已知、、均在上，请用无刻度直尺作图．（1）若，求作一个的角；（2）、分别是、边中点，求作的内心．解：（1）如图1，为所作；（2）如图2，点为所作．23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，则阴影部分的面积？【解答】（1）证明：连接，，是的直径，，，，，是的中位线，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，阴影部分的面积的面积的面积扇形的面积．24．（10分）如图，是的直径，点在上，，垂足为，点与点在直径的两侧，且，、的延长线交于点，与的延长线交于点．（1）判断△的形状，并说明理由．（2）若的半径为5，，求的长．解：（1）△是等腰三角形，理由：，，，，，，是的直径，，于点，，，，，△是等腰三角形．（2）的半径为5，，，，，，，△△，，，，，，且，，，，，，，解得，的长是．25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）设该品牌头盔的实际售价为元，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．26．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．（1）根据上述定义，一元二次方程是（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求与的关系；（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．解：（1），，解得，，故该方程是倍根方程；故答案为：是；（2），或，解得，，是“倍根方程”，或，或；（3）；理由如下：一元二次方程是倍根方程，设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得，