单调性与最大(小)值（1）教案- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

单调性与最大(小)值（1）一、课时内容：函数的单调性二、课时目标1.借助函数图象，会用符号语言表述函数单调性的定义.2.会根据函数单调性的定义,证明一些简单函数的单调性,能归纳出证明单调性的-般步骤.3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间，达到直观想象核心素养。4.在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用。三、重点与难点1.重点:函数单调性的定义.2.难点:用符号语言描述函数的单调性,根据单调性定义证明具体函数的单调性.四、教学过程1.明确学习目标,引出课题前面我们学习了函数的定义和表示方法,知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样,我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中变化的规律了,这就是学习函数的基本性质的目的.那么,什么是函数的基本性质呢?课本中给了我们这样的解释:变化中的不变形就是性质,变化中的规律性也是性质.我们知道,函数由定义域、值域和对应法则三个要素构成,因变量y随自变量x的变化而变化,因此，当x按某种规律变化时,y所呈现的规律性和不变性就是函数的性质.实际上,有些性质我们在初中阶段已经接触过.设计意图:明确本节课学习目标,自然过渡到本节课学习的主题.帮助学生从一般观念上了解什么是“函数的性质”,便于开展研究.[问题1]通过观察函数图像,往往能给我们以函数变化规律的启发.观察下面三个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗?师生活动:(1)学生结合初中学过的知识,用自然语言表述三个函数的单调性、第三个函数图像关于轴对称等;(2)教师引导学生体会构成图象的基本元素是点,因此从图象整体上看,函数在某个区间上随的增大而增大,在这个区间内的图象呈，上升趋势,实际上是图象上点的横坐标增大时,对应的纵坐标随之增大;(3)教师指出,在初中,我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质,这一性质就是我们这节课要学习的函数的单调性.设计意图:引导学生通过观察一般情况的函数图象，用图形语言和自然语言刻画函数的单调性.2.观察具体函数的图象,实现从自然语言到符号语言刻画单调性的过渡教师讲授:初中阶段我们对单调性的认识是通过对具体函数图象的观察,从直观的角度,用自然语言进行定性的描述.接下来我们要考虑如何用符号语言,对单调性进行定量的刻画.实际上,这样做很有必要.设计意图:引导学生体会用符号语言刻画函数单调性的必要性.[问题2]如何用符号语言刻画函数的单调性?师生活动:指导学生先用自然语言从直观角度刻画:当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时,y随x的增大而增大。(2)先锁定x<0时的情况，引导学生体会“x<0”可以用符号语言“x∈(,0)”表示。(3)指导学生体会“增大、减小”描述的是不等关系,需要结合不等式的符号语言进行表述,“x的增大”通过“任取”来表示,“y减小”通过“”来表示.给出函数在x<0时单调递减的符号语言。对任意的，得到,当x>x时,有，我们就说函数在区间(,0)上是单调递减的.设计意图:引导学生先用符号语言描述具体函数在给定区间的单调性.在借助具体函数给出准确描述的过程中,通过设计问题串,加深学生对借助不等式语言和逻辑用语描述函数性质的体会,突破难点.追问:如何用符号语言描述“函数在x>0时单调递增”?.师生活动:1.学生通过类比上面的过程,自主完成.2.教师通过巡视，指导学生用准确的符号语言进行刻画.设计意图:通过前面的讲解和引导,学生有了使用符号语言刻画具体函数的单调性的经验,对x>0的情况,学生可以通过模仿自主完成.教师可以借此机会,落实学生的理解情况.[问题3]你能用符号语言描述函数f(x)=|x|和函数的单调性吗?师生活动:(1)教师巡视指导,有部分学生可能会忘记函数f(x)=|x|的图象,提醒学生这是上节课学习的内容;(2)提醒学生结合前面的例子,注意体会函数单调性的“局部性”,单调增和单调减时，f(x)与f(x)的不等号方向.设计意图:问题2中,学生只是通过模仿刻画了f(x)=x在(0,+∞)上的单调性.问题3用来引导学生应用符号语言,刻画具体函数的单调性.通过问题3,提高学生对用符号语言刻画函数单调性的理解,为进一步理解一般函数单调性的定义作铺垫.3.阅读教材,明确函数单调性的概念[问题4]如何利用符号语言刻画-般函数的单调性呢?请同学们阅读教材76页到77页最后思考部分的内容,并回答如下问题:(1)说说你对单调性定义的理解;(2)你是如何理解定义中的“任意”、“都有”这些词的?师生活动:学生阅读、思考并回答,然后教师结合前面的具体实例对函数单调性的概念做简要总结,包括画关键词(“任意”、“都有”),强调不等式语言和逻辑用语在数学语言表达问题的作用,强调函数单调性描述的可以是“整体单调”，也可以是“局部区间单调”等.设计意图:经过三个具体实例的描述，学生可以通过阅读教材明确函数单调性的概念,给学生独立思考、内化知识的时间.通过老师总结和点评,加深对概念的理解.4.概念辨析;[问题5]思考教材中的问题:(1)设A是区间D上某些自变量组成的集合,而且,当时，都有,我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗?你能举例说明吗?师生活动:引导学生通过画函数图象简图举出反例.追问:我们能说函数是定义域上的减函数吗?师生活动:1.通过与学生交流、互动,了解学生的看法.2.引导学生根据单调性概念解释为什么不能说函数在定义域上是减函数.设计意图:进一步理解函数单调性的符号语言.(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上函数递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗?设计意图:通过学生结合单调性概念,梳理学过的函数,通过举例说明,检测学生对单调性理解的认识.5.函数单调性的应用[问题6]根据定义证明函数在定义域上是增函数.师生活动:(1)由学生独立完成证明过程;(2)注意引导学生联系一次函数两种情况的图象简图;(3)引导学生体会根据函数单调性的定义证明函数的单调性的步骤:①取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差:f(x1)－f(x2)；③变形:通常是因式分解和配方；④定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；⑤结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.(4)实际上,本例的一次函数不是具体的一个函数,因此也画不出具体的函数图象,但是我们可以借助严格的推理和运算判断函数的单调性,从而体会用符号语言刻画函数单调性的必要性;(5)引导学生能够通过代数运算的角度“看”一次函数的单调性,即对于代数式ax+b,当a>0时，随着x增大,代数式ax+b的值随之增大,当a<0时,随着x.增大,代数式ax+b的值随之减小.设计意图:根据单调性定义证明函数的单调性，并能归纳出证明的一般步骤.[问题7]物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试对此用函数单调性证明.设计意图:引导学生体会利用函数单调性的符号语言解释生活中的实际问题.[问题8]根据定义证明函数在区间上单调递增。(1)通过与题目“若b>a>1,证明:的联系和比较,结合前面不等式性质中关于利用实数大小关系的基本事实证明不等式的大小(作差法)的学习,帮助学生克服运算上的难点;(2)再次强调，实际上，我们还不了解函数的具体图象,但是我们能够借助单调性的定义,通过推理和运算判断函数在上的单调性;(3)注意引导学生通过代数运算的角度“看”函数的单调性.通过结合基本不等式内容的学习,指出函数在[1,+∞)上有最小值2,为下一节课内容作铺垫.设计意图:积累利用函数单调性