第2讲基本初等函数、函数的应用课件 高三数学二轮复习

高考数学二轮复习第2讲基本初等函数、函数的应用考点一基本初等函数的图象与性质DA.b>c>a B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>bA(3)(2024山东淄博一模)设方程ex+x+e=0,lnx+x+e=0的根分别为p,q,函数

a>c>b解析

由ex+x+e=0,得ex=-x-e,由ln

x+x+e=0,得ln

x=-x-e,依题意,直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln

x图象交点的横坐标分别为p,q,而函数y=ex,y=ln

x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln

x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,[对点训练1](1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)D解析

(方法一

导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln

2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln

2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.(方法二

复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数(2)(2024陕西安康模拟)已知正数a,b满足aea=blnb=2,则(

)A.a<1<b

B.a<b<1C.a>1>b

D.a>b>1A(3)(多选题)(2024山东临沂一模)已知函数f(x)=+a(a∈R),则(

)A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)B.f(x)的值域为RC.当a=1时,f(x)为奇函数D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2ACD故选ACD.考点二函数的零点(多考向探究预测)考向1函数零点个数的判断例2(1)(多选题)(2024四川雅安模拟)已知函数f(x)=2x+-4,若存在x1<x2,使得f(x1)·f(x2)<0,则下列结论正确的是(

)A.x1<1B.x2>1C.f(x)在(x1,x2)内有零点BCD解析

因为f(x)=2x+-4在[0,+∞)上单调递增,且x1<x2,f(x1)f(x2)<0,所以f(x1)<0,f(x2)>0,根据零点存在定理可得函数f(x)在(x1,x2)内有零点,故C正确;又因为f(1)=-1<0,所以x2>1,故B正确;(2)(2024福建漳州模拟)已知函数

则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(

)A.3 B.5 C.6 D.8B解析

依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0解的个数,又f(x)-1=t,则f(x)=t+1,当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有两个解;当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有两个解;当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有一个解.综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5.故选B.考向2求参数的值或范围例3(1)(2024陕西榆林二模)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4B这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,个数为2.故选B.(2)(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为

.

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解析

解含参数、含绝对值的二次函数问题的基本思想:去绝对值符号、分类讨论.令g(x)=x2-ax+1(如何去绝对值?利用g(x)=0的Δ=a2-4来讨论),方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,.②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**),考向3零点的代数式问题

D又曲线y=(x+1)2的对称轴为直线x=-1,在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=a的图象,因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,即曲线y=f(x)与直线y=a有四个交点,所以0<a≤1,由图可知[对点训练2](1)(2024云南昆明模拟)已知x1是函数f(x)=xlnx-2024的一个零点,x2是函数g(x)=xex-2024的一个零点,则x1·x2的值为(

)A.1012 B.2024 C.4048 D.8096B(2)(多选题)(2024广东深圳模拟)已知函数

下列关于函数y=f(|f(x)|)-2的零点个数的判断,其中正确的是(

)A.当k>0时,有2个零点B.当k<0时,至少有2个零点C.当k>0时,有1个零点D.当k<0时,可能有4个零点ABD解析

设|f(x)|=t,若k>0时,由f(t)=2,可得t=9,即|f(x)|=9,画出y=|f(x)|的大致图象如图所示,则直线y=9与y=|f(x)|的图象有两个交点.(3)已知g(x)和h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=2023x+log2023(x+),若函数f(x)=2023-|x-2023|-λg(x-2023)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为(

)D考点三函数模型及其应用例5(1)(2024江苏一模)德国天文学家开普勒提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的椭圆轨道长半轴长的(

)A.2倍

B.4倍

C.6倍

D.8倍B(2)(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(

)A.p1≥p2

B.p2>10p3 C.p3=100p0

D.p1≤100p2ACD[对点训练3](1)(2024四川宜宾二模)根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型,其中y(单位:万辆)为第x年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为(

)(结果四舍五入保留整数,参考数据ln0.887≈-0.12,ln0.30≈-1.2)A.65万辆 B.64万辆C.63万辆 D.62万辆B(2)(多选题)(2024重庆模拟预测)放射性物质在衰变中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注,已知放射性物质数量随时间t的衰变公式为

N0表示物质的初始数量,τ是一个具有时间量纲的数,研究放射性物质常用到半衰期,半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间,已知ln2≈0.7,表中给出了铀的三种同位素τ的取值:若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1,T2,T3,则(

)物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A.T=τln