事件的独立性练习 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

7.4事件的独立性练习-高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册一、单选题1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列结论错误的是（

）A．乙发生的概率为 B．丙的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件2．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若，是对立事件，则B．若，是互斥事件，，则C．若，且，则，是独立事件D．若，是独立事件，，则3．袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（

）A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件4．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（

）A．若是对立事件，则是互斥事件B．若事件相互独立，则与也相互独立C．若事件相互独立，则与不互斥D．若事件互斥，则与相互独立5．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲288枚，乙72枚C．甲240枚，乙120枚D．甲270枚，乙90枚6．甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列对各事件发生的概率判断正确的是（

）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题9．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为.10．已知下列各组事件：①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数；②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同；④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上．其中M、N是独立事件的序号为．11．两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是.12．事件的相互独立性（1）两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为.必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立.（2）相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么，与，与也都相互独立.（3）相互独立事件与互斥事件的概率计算概率A，B互斥A，B相互独立P（A∪B）P（A）＋P（B）1－P（）P（）P（AB）0P（A）P（B）P（）1－[P（A）＋P（B）]P（）P（）P（A∪B）P（A）＋P（B）P（A）P（）＋P（）P（B）四、解答题13．一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次(1)求摸出两球标号互质的概率；(2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立.14．（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；

（2）已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立.15．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响.(1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率；(2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率；(3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，）16．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．参考答案：题号12345678答案BCCDDDBCACD1．B【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，，故A正确.，，故B错误.而，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：B.2．C【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误；对于B，若是互斥事件，，则，B错误；对于C，，则，，又，则是独立事件，C正确；对于D，若是独立事件，则是独立事件，而，则，D错误.故选：C3．C【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C.【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个，其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故，事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故；事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故，事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故，因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确；因为,所以C与D不相互独立，故C错误.因为,所以C与D不互斥，故D正确.故选:C.4．D【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项.【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确；B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确；C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确；D.若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误.故选：D5．D【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可.【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为，假设两人继续进行比赛，甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢，故概率为，乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，故概率为，则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币，故选：D6．D【分析】由题意分析可知，后3局连续平局，第4局不是平局，前3局不是连续平局，再结合独立事件概率公式，即可求解.【详解】记第i次出拳是平局为事件，则，记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，所以．故选：D．7．BC【分析】根据独立事件概率公式，计算后，判断的ABD；根据古典概型概率公式，判断C.【详解】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A错误；对于B，用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B正确；对于C，从1，2，3，4中任取2个不同的数，共有种方法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，在概率，故C正确；对于D，易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D错误故选BC8．ACD【分析】根据第次不出现6和第次出现6，可得递推关系，结合递推关系即可求解ABD，根据得，两式相减结合递推关系即可求解C.【详解】在一次试验中，6点向上的概率为，不是6点向上的概率为，对于A，，故A正确，对于B,3次试验中,连续出现2次6点向上的概率为，所以，故B不正确，若第次不出现6，前面次没有连续出现2次6点的概率为，此时前次没有连续出现2次6点的概率为，若第次出现6，前面次没有连续出现2次6点的概率为，第不为6的概率为，此时前次没有连续出现2次6点的概率为，故前次没有连续出现2次6点的概率为，故D正确，对应C，由得，相减得，所以，故C正确，故选：ACD9．，【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式.【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，则，，，，由全概率公式得()．即，，所以，,所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，，故答案为：，10．③④【分析】根据独立事件的概念与性质逐一分析即可.【详解】①：，，故事件不是独立事件；②：事件的发生对事件有影响，故事件不是独立事件；③：，，故事件是独立事件；④：第一次的结果对第二次的结果不影响，故事件是独立事件.故答案为：③④.11．/【分析】利用独立乘法及对立事件概率求法求概率即可.【详解】他们至少有一人命中的概率是.故答案为：12．P（AB）＝P（A）P（B）独立与BA【分析】“事件的相互独立性”概念填空【详解】略13．(1)(2)不独立，理由见解析【分析】（1）记事件摸出两球标号互质，列举出样本空间，以及事件包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用独立事件的定义判断可得出结论.【详解】（1）讨论摸出两球的标号，记事件摸出两球标号互质，样本空间为，共个样本点，每个样本点出现的可能性相同，，共个样本点，故.因此，摸出两球标号互质的概率为.（2）样本空间为，共个样本点，，，，则，，所以，，所以，事件与事件不独立.14．（1）平均分；中位数为；（2）证明见解析【分析】（1）由已知求出，利用平均数和中位数的定义和公式求解即可；（2）利用相互独立事件概率公式和和事件概率公式推导即可.【详解】（1）由已知得，则，所以.该班学生数学成绩的平均分的估计值为：，因为，，所以中位数在内，故中位数为.（2）因为，因为事件，相互独立，所以，所以，则，所以事件，相互独立.15．(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为；(2)；(3)23次.【分析】（1）利用相互独立事件，结合已知求出乙，丙投篮一次且都命中的概率.（2）记甲、乙、丙各射击一次恰有两人击中目标为事件，再相互独立事件及互斥事件的概率公式计算求解.（3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，由，利用指数函数的性质及对数的运算性质计算得解.【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，依题意，，，则，，解得，所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为.（2）记甲、乙、丙各射击一次恰有两人击中目标为事件，则，则，所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率.（3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，由，得，两边取常用对数得，因此，则，所以乙至少要射击次.16．(1)0.52(2)0.648【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”