专题53 最值、范围问题原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题53最值、范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点1】最值问题 3【考点2】范围问题 4【分层检测】 6【基础篇】 6【能力篇】 8【培优篇】 9真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．二、解答题2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．考点突破考点突破【考点1】最值问题一、解答题1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程．(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．3．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.4．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.(1)求双曲线的方程及点的坐标；(2)过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.(1)求的准线方程；(2)求的最小值.6．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.(1)求的方程；(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.反思提升：处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【考点2】范围问题一、解答题1．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率；(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.2．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．3．（2025·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．(1)若点P是直线与圆的交点，求a；(2)求的取值范围．4．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.(1)若，试求直线的斜率;(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.5．（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：①点P的轨迹方程；②面积的取值范围.6．（2024·辽宁·模拟预测）在直角坐标系xOy中，点P到点(0，1)距离与点P到直线距离的差为﹣1，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)设点P的横坐标为.（i）求W在点P处的切线的斜率(用表示)；（ii）直线l与W分别交于点A，B．若，求直线l的斜率的取值范围(用表示).反思提升：解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（

）A． B． C．2 D．42．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（

）A．3 B．4 C．1 D．23．（2021·云南文山·模拟预测）已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2021·江西九江·一模）已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·山东济南·一模）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．的周长为12C．的最小值为3 D．的最大值为166．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（

）A．双曲线的方程为 B．C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为17．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，为抛物线上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点不在抛物线上（）A．若直线过点，且与轴垂直，则B．若的最小值为3，则C．若直线经过焦点，则直线，（为坐标原点）的斜率，满足D．若过，所作的抛物线的两条切线互相垂直，且，两点的纵坐标之和的最小值为2，则三、填空题8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为．9．（2021·山东德州·二模）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是．10．（2022·山东济南·二模）已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为．四、解答题11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．12．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.(1)求椭圆的方程；(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.【能力篇】一、单选题1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆，点在椭圆上，满足在椭圆上存在一点到直线的距离均为，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（

）A．椭圆的离心率为 B．的最小值为1C．的最大值为 D．三、填空题3．（2021·全国·模拟预测）已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是．四、解答题4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．【培优篇】一、单选题1．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则MN的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题2．（2024·广东广