专题38 空间直线、平面的平行原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题38空间直线、平面的平行（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】直线与平面平行的判定与性质 5【考点2】平面与平面平行的判定与性质 7【考点3】平行关系的综合应用 10【分层检测】 12【基础篇】 12【能力篇】 15【培优篇】 17考试要求：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.知识梳理知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化真题自测真题自测一、解答题1．（2024·全国·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.2．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．4．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．考点突破考点突破【考点1】直线与平面平行的判定与性质一、单选题1．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则或2．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（

）A．，平面B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是C．时，三棱锥的外接球表面积为D．时，直线l与平面所成角的正弦值为4．（2023·辽宁沈阳·二模）在正方体中，，点P在正方体的面内（含边界）移动，则下列结论正确的是（

）A．当直线平面时，则直线与直线成角可能为B．当直线平面时，P点轨迹被以A为球心，为半径的球截得的长度为C．若直线与平面所成角为，则点P的轨迹长度为D．当直线时，经过点B，P，的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为三、解答题5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．(1)设线段中点为，证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长．6．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，.(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；(2)若面面；求：（ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小；（ⅱ）求点A到平面CEF的距离.反思提升：(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.【考点2】平面与平面平行的判定与性质一、单选题1．（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（

）A．该截面多边形是四边形B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点C．平面D．平面平面2．（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一下·河南·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（

）A．直线平面B．在三棱柱中，点的曲率为C．在四面体中，点的曲率小于D．二面角的大小为4．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（

）

A． B．平面平面C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为三、解答题5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥中，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是底面的内接正方形，分别为的中点，过点的平面为.(1)证明：平面平面；(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为，设点在线段上运动，求三棱锥的体积.6．（2024·山东潍坊·三模）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．反思提升：1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.【考点3】平行关系的综合应用一、单选题1．（2022·北京朝阳·一模）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2021·新疆·二模）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，，，则D．若，，，则二、多选题3．（2024·湖南益阳·三模）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为C．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为D．若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为4．（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）

A．动点轨迹的长度为B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、解答题5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．(1)证明：∥平面；(2)若，求点到平面的距离．6．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点.(1)过点的平面平行于平面且与交于点，求；(2)若平面平面，且，求点到平面的距离.反思提升：三种平行关系的转化分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，，则2．（2024·贵州贵阳·二模）设为直线，为平面，则的一个充要条件是（

）A．内存在一条直线与平行 B．平行内无数条直线C．垂直于的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过3．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形二、多选题5．（2024·吉林·二模）已知为两条不同的直线，两个不同的平面，且，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为，底面的两条对角线恰好为圆的两条直径，分别为的中点，且，则下列说法中正确的有（

）A．平面B．平面平面C．D．直线与所成的角为7．（2020·山东泰安·一模）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等三、填空题8．（2023·四川凉山·三模）在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为．9．（2022·广西贵港·三模）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四个命题：①上底边的中点在平面内②直线与平面不平行③平面截正方体所得的截面面积为④点与点到平面的距离相等．错误的命题是．10．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断①点P的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．其中正确判断的序号为．四、解答题11．（2024·广西·模拟预测）在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F．(1)证明：F为的中点；(2)求直线AC与平面所成角的余弦值．

12．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【能力篇】一、单选题1．（2024·四川攀枝花·三模）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，①平面；②平面；③圆锥的侧面积为；④三棱锥的内切球表面积为．其中正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题2．（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（

）A．平面B．若平面，则动点的轨迹是一条线段C．若，则四面体的体积为定值D．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为三、填空题3．（2023·贵州黔东南·三模）如图，已知正方体的棱长为2，点是内（包括边界）的动点，则下列结论中正确的序号是.（填所有正确结论的序号）①若，则平面；②若，则直线与所成角的余弦值为；③若，则的最大值为；④若平面与正方体各个面都相交，且，则截面多边形的周长一定为.四、解答题4．（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．(1)证明：平面；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．【培优篇】一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为4，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶