专题36 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题36基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 4【考点突破】 5【考点1】基本立体图形 5【考点2】表面积与体积 7【考点3】与球有关的切、接问题 9【分层检测】 11【基础篇】 11【能力篇】 14【培优篇】 16考试要求：1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.知识梳理知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.正方体与球的切、接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3.正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).4.直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．32．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题6．（2023·全国·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体三、填空题7．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．8．（2023·全国·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．9．（2023·全国·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．10．（2023·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．11．（2023·全国·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为．12．（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．考点突破考点突破【考点1】基本立体图形一、单选题1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（

）A． B． C． D．2．（2022·重庆·模拟预测）十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（

）

A．12 B．20 C．32 D．40二、多选题3．（2024·山西晋中·模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（

）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的表面积为4．（2024·新疆喀什·二模）如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（

）A．线段B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5三、填空题5．（21-22高三上·广东潮州·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为.6．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

反思提升：空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.(3)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(4)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.(5)几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.【考点2】表面积与体积一、单选题1．（2024·天津红桥·二模）如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（

）

A． B． C． D．2．（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（

）A． B．1 C． D．3二、多选题3．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（

）A．该玉琮的体积为() B．该玉琮的体积为()C．该玉琮的表面积为() D．该玉琮的表面积为()4．（2024·吉林长春·三模）某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（

）A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为三、填空题5．（2024·山西吕梁·二模）已知圆台的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为.6．（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为.反思提升：1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.【考点3】与球有关的切、接问题一、单选题1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东佛山·二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（

）（参考数据：，，，）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（

）

A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为4．（2022·全国·模拟预测）三棱锥中，平面平面ABC，，，则（

）A．B．三棱锥的外接球的表面积为C．点A到平面SBC的距离为D．二面角的正切值为三、填空题5．（2024·广东肇庆·模拟预测）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是，它的外接球表面积的最小值为.6．（2023·江苏·模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为.反思提升：(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.(3)“切”的问题处理规律：找准切点，通过作过球心的截面来解决；体积分割是求内切球半径的通用方法.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·河南商丘·模拟预测）在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与的上、下底面及侧面均相切，则的体积为（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆·三模）若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．4．（2024·广东·模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·云南红河·二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（

）A．圆锥的轴截面为直角三角形B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为D．圆锥的体积与球的体积之比为6．（2024·河北邯郸·三模）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（

）

A．共有18个顶点 B．共有36条棱C．表面积为 D．体积为7．（2021·重庆·三模）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（

）A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为三、填空题8．（2023·江西九江·一模）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为

9．（2024·陕西·模拟预测）如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长，以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面的面积为.10．（23-24高二下·浙江·期中）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为．四、解答题11．（22-23高二下·陕西榆林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.12．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积．【能力篇】一、单选题1．（2024·广东茂名·模拟预测）若正四面体的棱长为，M为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如