新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第18题（原卷版）

椭圆大题考点2年考题考情分析解析几何之椭圆大题2023年天津卷第18题2022年天津卷第19题近两年高考对于椭圆的考察整体难度中等，利用题干给的信息进行分析，得到需要的方程求解，分析难度整体不大，计算量较大。圆锥曲线椭圆大题的难度多来自联立方程之后的计算，往往需要考生有比较扎实的计算功底。题型一椭圆18．（15分）（2023•天津）设椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点SKIPIF1<0是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的二倍，求直线SKIPIF1<0的方程．19．（15分）（2022•天津）椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0、右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求椭圆的离心率SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆有唯一公共点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0异于SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求椭圆的标准方程．1．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.2.常用结论已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)通径的长度为eq\f(2b2,a).(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则SKIPIF1<0.(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.3.做题技巧1若直线经过x轴上一点SKIPIF1<0时可以考虑解设直线方程为SKIPIF1<0。2如果直线不明确经过椭圆内一点时，需要考虑计算△。3直线与椭圆相切时△=0,此外切点的横坐标SKIPIF1<01．设椭圆SKIPIF1<0的离心率等于SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的一个顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆的左右顶点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的两点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0经过定点．2．已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0重合，抛物线的准线被SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问：在SKIPIF1<0轴上是否存在一个定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值？若存在，求出SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，焦距是短半轴长的SKIPIF1<0倍．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的三个不同点，线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0异于坐标原点SKIPIF1<0．且总有SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积相等，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值．4．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的左焦点为点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）设不过原点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．5．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点，再过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0．证明：直线SKIPIF1<0恒过定点，并求出该定点的坐标．6．已知椭圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有相同的离心率，椭圆SKIPIF1<0焦点在SKIPIF1<0轴上且经过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点，经过原点的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点分别为点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0取值范围．7．已知椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间），直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．8．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一动点，且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点），证明：直线SKIPIF1<0恒过一定点．9．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到椭圆右焦点距离等于焦距．（1）求椭圆方程；（2）过点SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴分别交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的值．10．设椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0一点（不与顶点重合），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面积是△SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍，求直线SKIPIF1<0的斜率．11．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是坐标平面内一点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的垂直平分线在SKIPIF1<0轴上截距的最大值．12．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左，右顶点和坐标原点，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一动点，SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，过线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范围；②求证：SKIPIF1<0为定值．13．已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的离心率；（2）直线SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在第一象限）．且SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求椭圆SKIPIF1<0的方程；SKIPIF1<0若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求证：以SKIPIF1<0为直径的圆恒过右焦点SKIPIF1<0．14．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与椭圆相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且△SKIPIF1<0的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆SKIPIF1<0的左，右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，若过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0在第一象限相交于点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．15．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切，切点SKIPIF1<0在第二象限，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在第二象限），直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．16．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的动点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．17．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左，右顶点分别为SKIPIF1<0，SK