2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷一.选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，将正确答案在答题卡上相应题号下涂黑．题目很简单，请同学们仔细答题．每小题3分，共30分．）1．（3分）为了普及科学抗疫防控病毒知识，设计了一些防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，下面图形中，图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（）A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠±1 D．x≠03．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，5）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣5） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，5）4．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x2+3x＝﹣x（x﹣3） B．9x2﹣y2＝（9x+y）（9x﹣y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝（﹣x﹣1）2 D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝75°，∠BAC＝75°，则∠E的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°7．（3分）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）下列各式中，一定能成立的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC＝6，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，三条高AD，BE，CF交于点G，已知AF＝8，BF＝6，则CG长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3二、填空题（每小题3分，共12分．）11．（3分）当分式的值为0时，x的值为．12．（3分）中国今年芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知1nm＝0.0000001cm，则7nm用科学记数法表示为cm．13．（3分）计算（﹣2a2b）3÷4a3b3＝．14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知AB＝12，则CE的最小值是．三、解答题（本大题共10道题，共78分。题目简单，请同学们细心作答，要按步骤答题，即使结果错误，只要步骤做对也会有过程分哦！）15．（8分）计算：（1）；（2）．16．（8分）因式分解：（1）3x2﹣12xy+12y2；（2）x2﹣3xy﹣10y2．17．（5分）如图，AB＝AC，F，E分别在AB，AC上，且AE＝AF．求证：∠B＝∠C．18．（5分）解不等式：（a+3）（a﹣5）＞（a﹣3）2．19．（10分）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．20．（6分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．21．（6分）观察下列等式：第1个等式：a1＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，…按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第4个等式：a4＝，并通过计算验证结果是否正确；（2）第n个等式：an＝，并通过计算证明结果；（3）计算a1+a2+a3+…+a99．22．（9分）进入冬季，新冠病毒趋于活跃，佩戴口罩，降低新冠传染．某药店用4500元购进若干只医用外科口罩，很快售完，该店又用9000元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的只数比第一批多50%，每只口罩的进价比第一批每只的进价多0.5元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批医用口罩有多少只？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每只的最高售价是多少元？23．（9分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线，CE是高，CE交AD于点F．（1）求证：△CDF是等腰三角形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，连接FG，求证：DG＝FG．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使AB＝BC，∠ABC＝90°，点C在第一象限．（1）若点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足，则a＝，b＝，点C的坐标为；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于点D，BE平分∠ABC，交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点G，求证：CG垂直平分EF；（3）试探究（2）中OD，OE与DF之间的关系，并说明理由．

2021-2022学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，将正确答案在答题卡上相应题号下涂黑．题目很简单，请同学们仔细答题．每小题3分，共30分．）1．（3分）为了普及科学抗疫防控病毒知识，设计了一些防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，下面图形中，图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．2．（3分）要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（）A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠±1 D．x≠0【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵x+1≠0，∴x≠﹣1，故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．3．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，5）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣5） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，5）【分析】根据关于y轴对称点的坐标特征是解题的关键．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣2，5）关于y轴对称点的坐标为（2，5），故选：C．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据同类二次根式的定义可以判断A；根据合并同类二次根式的方法可以判断B；根据二次根式的除法可以判断C；根据二次根式的乘法可以判断D．【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不符合题意；3﹣＝2，故选项B错误，不符合题意；÷＝，故选项C错误，不符合题意；＝，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．（3分）下列因式分解结果正确的是（）A．﹣x2+3x＝﹣x（x﹣3） B．9x2﹣y2＝（9x+y）（9x﹣y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝（﹣x﹣1）2 D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）【分析】根据因式分解﹣十字相乘法，提公因式法与公式法进行分解，即可判断．【解答】解：A．﹣x2+3x＝﹣x（x﹣3），故A符合题意；B.9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y），故B不符合题意；C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，故C不符合题意；D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝75°，∠BAC＝75°，则∠E的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根据三角形的内角和定理得到∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠B＝75°，∠BAC＝75°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，∵△ABC≌△ADE，∴∠E＝∠C＝30°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．7．（3分）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变判断即可．【解答】解：A选项，是最简分式，故该选项不符合题意；B选项，并不清楚a是否为0，不能分子分母都乘a，故该选项不符合题意；C选项，＝﹣，故该选项不符合题意；D选项，原式＝＝，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．8．（3分）下列各式中，一定能成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的有意义的条件即可求出答案．【解答】解：A、原式＝|a|•＝﹣a，故A符合题意．B、当a＜0时，此式子不成立，故B不符合题意．C、原式＝＝|x﹣1|，故C不符合题意．D、当x≤﹣3时，此式子不成立，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC＝6，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由含30°角的直角三角形的性质可求BC＝12，结合角平分线的定义，平行线的性质可得BE＝3DE，进而可求解．【解答】解：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6，∴BC＝2AC＝12，∠ACB＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A＝90°，∠BCD＝∠ACD＝∠EDC，∴BE＝2DE，DE＝CE，∴BC＝BE+CE＝3DE＝12，∴DE＝4．故选：B．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用含30度角的直角三角形的性质求解角的度数是解题的关键．10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，三条高AD，BE，CF交于点G，已知AF＝8，BF＝6，则CG长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【分析】根据已知条件推出△AFC与△AEB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【解答】解：∵三条高AD，BE，CF交于点G，∴CF⊥AB，BE⊥AC，∵∠BAC＝45°，∴△AFC与△AEB是等腰直角三角形，∵AF＝8，BF＝6，∴AB＝14，AC＝AF＝8，∴AE＝AB＝×14＝7，∴CE＝AC﹣AE＝8﹣7＝，∵∠CEG＝90°，∠ACF＝45°，∴CG＝CE＝2，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共12分．）11．（3分）当分式的值为0时，x的值为2．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2＝0且2x+1≠0．解得：x＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．12．（3分）中国今年芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知1nm＝0.0000001cm，则7nm用科学记数法表示为7×10﹣7cm．【分析】首先根据：1nm＝0.0000001cm，可得：7nm＝0.0000007cm；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，把7nm用科学记数法表示即可．【解答】解：∵1nm＝0.0000001cm，∴7nm＝0.0000007cm＝7×10﹣7cm．故答案为：7×10﹣7．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．（3分）计算（﹣2a2b）3÷4a3b3＝﹣2a3．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣8a6b3÷4a3b3＝﹣2a3．故答案为：﹣2a3．【点评】此题主要考查了整式的除法以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知AB＝12，则CE的最小值是6．【分析】连接BD，由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由直角三角形的性质求出BH的值，则可得出答案．【解答】解：连接BD，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，∵点D在直线MN上一动点，∴点D与点H重合时，BD有最小值，∵AC⊥MN，∴∠ACM＝90°，∴∠BCM＝30°，∴BH＝BC＝6，∴CE的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．三、解答题（本大题共10道题，共78分。题目简单，请同学们细心作答，要按步骤答题，即使结果错误，只要步骤做对也会有过程分哦！）15．（8分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式的除法和去绝对值的方法可以解答本题；（2）根据乘法分配律先将式子展开，然后化简即可．【解答】解：（1）＝2×1+﹣＝2+﹣＝2；（2）＝﹣2＝﹣2＝4﹣6．【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．16．（8分）因式分解：（1）3x2﹣12xy+12y2；（2）x2﹣3xy﹣10y2．【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；（2）原式＝（x﹣5y）（x+2y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．17．（5分）如图，AB＝AC，F，E分别在AB，AC上，且AE＝AF．求证：∠B＝∠C．【分析】证明△ABE≌△ACF（SAS），由全等三角形的性质可得出∠B＝∠C．【解答】证明：在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△ACF是解题的关键．18．（5分）解不等式：（a+3）（a﹣5）＞（a﹣3）2．【分析】分别根据多项式乘多项式的运算法则以及完全平方公式展开，再根据不等式的性质解答即可．【解答】解：a2﹣2a﹣15＞a2﹣6a+9，4a＞24，a＞6．【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．19．（10分）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．【分析】（1）先提出xy，再代入求值；（2）先化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），原式＝＝1×2＝2；（2）原式＝＝＝，当m＝﹣2时，原式＝．【点评】本题考查了整式、分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键．20．（6分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作．（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，点P即为所求作．（3）如图，点Q即为所求作．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，角平分线的性质，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（6分）观察下列等式：第1个等式：a1＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，…按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第4个等式：a4＝＝﹣2，并通过计算验证结果是否正确；（2）第n个等式：an＝＝，并通过计算证明结果；（3）计算a1+a2+a3+…+a99．【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式，然后根据平方差公式将分母有理化，即可验证结果是否正确；（2）根据题目的式子可以写出第n个等式，然后根据平方差公式将分母有理化，即可验证结果是否正确；（3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可．【解答】解：（1）a4＝＝﹣2，＝＝＝，故答案为：＝﹣2；（2）由题意可得，an＝＝，＝＝＝，故答案为：＝；（3）a1+a2+a3+…+a99＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第n个等式．22．（9分）进入冬季，新冠病毒趋于活跃，佩戴口罩，降低新冠传染．某药店用4500元购进若干只医用外科口罩，很快售完，该店又用9000元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的只数比第一批多50%，每只口罩的进价比第一批每只的进价多0.5元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批医用口罩有多少只？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每只的最高售价是多少元？【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有x只，则购进的第二批医用口罩有（1+50%）x只，根据单价＝总价÷数量结合第二批每只的进价比第一批每只的进价多0.5元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设药店销售该口罩每只的售价是y元，根据利润＝销售收入﹣进货成本结合售完这两批口罩的总利润不高于3500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】（1）设购进的第一批医用口罩有x只，则购进的第二批医用口罩有（1+50%）x只，依题意得：，解得：x＝3000，经检验，x＝3000是原方程的解，且符合题意，答：购进的第一批医用口罩有3000只；（2）设药店销售该口罩每只的售价是y元，依题意得：[3000+3000×（1+50%）]y﹣4500﹣9000≤3500，解得：y≤，答：药店销售该口罩每只的最高售价是元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（9分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线，CE是高，CE交AD于点F．（1）求证：△CDF是等腰三角形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，连接FG，求证：DG＝FG．【分析】（1）根据直角三角形的性质及角平分线的定义推出∠ADC＝∠EFA，结合对顶角相等得到∠ADC＝∠DFC，即可根据“等角对等边”得解；（2）根据角平分线的性质得到CD＝DG，利用HL判定Rt△ACD≌Rt△AGD，则AC＝AG，利用SAS证明△ACF≌△AGF，根据全等三角形的性质等量代换即可得解．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ADC+∠DCA＝90°，∵CE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠EFA+∠EAF＝90°，∵AD是角平分线，∴∠DAC＝∠EAF，∴∠ADC＝∠EFA，又∠DFC＝∠EFA，∴∠ADC＝∠DFC，∴CF＝CD，∴△CDF是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，∴CD⊥AC，∵AD是角平分线，DG⊥AB于点G，∴CD＝DG，在Rt△ACD和Rt△AGD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AGD（HL），∴AC＝AG，在△ACF和△AGF中，，∴△ACF≌△AGF（SAS），∴CF＝FG，∵CF＝CD，CD＝DG，∴DG＝FG．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质定理、角平分线的性质是解题的关键．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使AB＝BC，∠ABC＝90°，点C在第一象限．（1）若点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足，则a＝﹣4，b＝8，点C的坐标为（8，4）；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于点D，BE平分∠ABC，交x轴于点E，交