15.1.1从分数到分式（解析版）

15.1.1从分数到分式一、单选题1．若分式的值为零，则的值等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出，且值需保证，即可得到答案．【详解】要使分式的值为零，必须，，解得，，故选：D．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．2．若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得，再两边同时平方后得出，即可计算出结果．【详解】由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a，∵a≠0，给a2+1＝3a两边同除以a，得，则，∴．故选：C．【点评】本题考查了求分式的值，根据已知求出是解题的关键．3．若，则的值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．【详解】∵，即ab=-3（a-b），∴原式==-3．故选：A．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．4．分式的值为0，则（）A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2【答案】B【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．【详解】由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，解得：x＝﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．5．分式有意义，则、满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】分式有意义，则x应满足的条件是x-3≠0，即x≠3，y为任意数．故选：B．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．6．下列各式中，分式有（）个，，，，，A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．【详解】∵中的分母是3，不含字母，∴不是分式；∵中的分母是n，是整式，且是字母，∴是分式；∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，∴是分式；∵中的分母是15，不含字母，∴不是分式；∵中的分母是，是整式，含字母x，y，∴是分式；∵中的分母是，是整式，含字母a，b，∴是分式；共有4个，故选A．【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．7．若分式有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．取任意实数【答案】C【分析】根据分式有意义的基本条件计算即可．【详解】∵分式有意义，∴x-2≠0，∴，故选C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键．8．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠0C．x≠±1 D．x为任意实数【答案】C【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x的取值范围．【详解】由题意，得x2−1≠0，解得：x≠±1，故选：C．【点评】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．二、填空题9．分式的值为0，则的值为_______________．【答案】【分析】根据分式的值为零的条件可得，且x+1≠0，再解即可．【详解】由题意得：，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个．【答案】2【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．+x，，分母中含有字母，因此是分式．分式有两个，故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式．11．已知x﹣＝1，则的值为_____．【答案】2【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．【详解】∵x﹣＝1∴x2﹣1＝x，∴x2＝x+1，∴原式＝＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式__．【答案】【分析】通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为．【详解】当n=8时，求得分式为：所以答案为：．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律．三、解答题13．已知,，求下列各式的值：（1）和；（2）+．【答案】（1）5，1；（2）【分析】（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解；（2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解．【详解】（1）∵,，∴①②①＋②得：∴①－②得：∴（2）+将和代入上式可得：原式【点评】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式求出和的值．14．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”得①，或②，解不等式组①得，x＞2，解不等式组②得，x＜﹣3，所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．阅读例题，尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，根据“两数相乘，同号得正”得①，或②，解不等式组①得，x＞3，解不等式组②得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；（2）由题得不等式，根据“两数相除，同号得正，异号得负”得①，或②，解不等式组①得，，不等式组②无解，∴原不等式的解集为．【点评】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．15．若a，b为实数，且，求3a﹣b的值．【答案】2【分析】根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值.【详解】∵，∴，解得，∴3a﹣b=6﹣4=2．故3a﹣b的值是2．【点评】本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.16．已知分式，试问：当m为何值时，分式有意义？当m为何值时，分式值为0？【答案】（1）且；（2）【分析】(1)根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式计算即可；(2)根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．【详解】由题意得，，解得，且；由题意得，且，解得，，则当时，此分式的值为零．【点评】本题考查了分式有意义和分式为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.17．若分式有意义，求x的取值范围.【答案】【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．【详解】∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0，解得：x≠﹣2、﹣3、﹣4．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．18．若分式的值为零，求x的值．莉莉的解法如下：解：分式的值为零．，．请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析．【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解．【详解】莉莉的解法不正确，正确的解法如下：分式的值为零，且，解得．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．19．观察下列等式：根据上述规律解决下列问题：①；②；③；④；……(1)完成第⑤个等式；(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)并证明其正确性．【答案】（1）；（2），详见解析【分析】(1)根据已知的等式即可写出第⑤个等式；（2）发现规律即可得到第个等式，根据分式的运算法则即可求解．【详解】（1）第5个等式为：（2）猜想：第n个等式为：证