13.1.1轴对称（解析版）

13.1.1轴对称一、单选题1．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（）A．0 B．5C．6 D．7【答案】B【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】连接，如图，∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴当不在同一条直线上时，即当在同一条直线上时，故选：B【点评】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键2．下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得到答案．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，故本选项正确；D.不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠后可完全重合即为轴对称图形．3．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折叠可知，，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和分别表示出和，进而得出，最终得出答案．【详解】如图，如图，设直线与分别交于点，点，令与的交点为，且，沿直线翻折，点落在点上，，在中，，在中，，，，即故选：C．【点评】本题主要考查了翻折变换与三角形外角性质得综合应用，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．4．是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折，得到，则点B对应点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点B的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B1的坐标，再沿y轴翻折，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）．【详解】∵点B坐标为（4，5）向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3），再沿y轴翻折，点B′（-4，3），故选择A．【点评】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．5．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为（）A．38° B．48° C．50° D．52°【答案】D【分析】由对称的性质得，根据∠BAC＝90°可得，再根据直角三角形两锐角关系求解即可．【详解】∵△ABD与△ADB’关于直线AD对称，∴∵∠BAC＝90°，∠B’AC＝14°∴∴∴故选D．【点评】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键．6．现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中也有些具有对称性，下列美术字既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．吕 B．人 C．甲 D．日【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、“吕”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、“人”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、“甲”字是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、“日”字既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，准确分析是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（）A．57° B．58° C．59° D．60°【答案】B【分析】求出∠CDB的度数，再根据翻折求出∠ADE的度数即可．【详解】∵∠C＝90°，∠CBD＝26°，∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°，∴∠ADB=116°，由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°；故选：B．【点评】本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题．8．一张正方形纸片按图1，图2对折后，再按图3打出一个半圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】依据轴对称的性质，将纸片依次展开还原，即可得到正确结论．【详解】将图3展开可得小孔位于图2中虚线的左右两侧，且关于该虚线对称；把图2展开可得小孔位于图1中虚线的上下两侧，且关于该虚线对称；故选：D．【点评】本题主要考查了剪纸问题．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题9．如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．【答案】【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．【详解】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．10．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则___________度．【答案】230【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．【详解】如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°，∵CD∥AB，∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF，∵DF∥CG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，∴2x+2（x+10°）=180°，x=40°，∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°，故答案为：230．【点评】此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．在平面直角坐标系中有一个轴对称图形只有一条对称轴，其中点和点是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点，则点的对称点的坐标是________．【答案】【分析】先根据点A(1,−2)和点A′(−9,−2)是这个图形上的一对称点找到相应的对称关系，再根据该对称关系找到点B的对称点的坐标即可．【详解】∵点A(1,−2)和点A′(−9,−2)是这个图形上的一对称点，∴点A与点A′关于直线x=−4对称，∴点B(,3)关于直线x=−4对称为（），故答案为：．【点评】此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度一般．12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的大小为_______度．【答案】60【分析】由折叠的性质可得∠3=∠1=30°，从而求得∠4=120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD=∠4=120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2=60°．【详解】如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3=∠1=30°，∴∠4=180°-30°-30°=120°，∵CD∥BE，BE∥AF，∴∠ACD=∠4=120°，又∵AC∥BD，∴∠2=180°-∠ACD=180°-120°=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．13．将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图（1），，，设（1）_______（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿折叠成图（2），________（用含x的代数式表示）．【答案】【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出；（2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出．【详解】（1）如图1所示：，，，又，，又，，又，；（2）如图2所示：，，又，故答案为：（1）；（2）．【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．14．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段．（1）当点和点C重合时，m的值为______________．（2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是___________．【答案】或【分析】（1）根据折叠的性质可知，当点与点重合时，点是的中点，过点作于点，求出和的长，依此可得点坐标，再根据中点坐标公式即可求解；（2）分线段在线段的上面和线段在线段的下面两种情况讨论即可求解．【详解】（1）过点作于点．在中，，，，，在中，，，，点坐标为，，点坐标为，当点与点重合时，点坐标为，，的值为；（2）线段在线段的上方，，，，，则；线段在线段的下方，．综上所述，或．故答案为：；或．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运用．三、解答题15．如图，数轴上、、三个数所对应的点分别为、、，已知，与距离2个单位，与距离6个单位．

（1）①直接写出数、的值；②求代数式的值；（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数．【答案】（1）①，；②4；（2）5【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离可求；②将代数式利用完全平方公式化简后，将a、b的值代入后可求；（2）根据轴对称的性质，设点B与点M重合，利用线段的中点的性质，求出线段DM的长度即可求出点M表示的数．【详解】（1）①∵

∴，．②原式=．（2）设AC的中点为D．∵AC=AB+BC=2+6=8，∴．∴．设折叠后点B与点M重合，且点M表示的数为m，如图所示．

∴．∴．∴．∴与点重合的点表示的数5．【点评】本题考查了数轴、求代数式的值、轴对称等知识点，熟知数轴上两点间的距离的计算和轴对称的性质是解题的关键．16．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，．（1）求出的长度；（2）求的度数．【答案】（1）＝3cm；（2）＝18°【分析】（1）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC＝ED，即可求出的值；（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD＝∠BAC，即可解决问题；【详解】（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，

∴BC＝ED＝4cm，

∴BF＝BC−FC＝3cm．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，

∴∠EAD＝∠BAC＝76°，

∴∠CAD＝∠EAD−∠EAC＝76°−58°＝18°．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路．【答案】见解析【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线．【详解】如图所示：运动路线：．【点评】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，A(-1，4)，B(3，2)，C(-1，0)

(1)点A关于y轴的对称点的坐标为，点B关于x轴的对称点的坐标为，线段AC的垂直平分线与y轴的交点D的坐标为．(2)求(1)中的△的面积．【答案】（1）、、；（2）5；【分析】（1）依据对称的性质可得点的坐标；然后利用垂直平分线的性质可得点D的坐标；（2）如图所示，将补为直角梯形，直角梯形面积，即可；【详解】（1）由题知点关于y对称的点为，由对称性质可得：点的坐标：；同理可得点于x对称的点为，由对称性质可得：点的坐标：；又AC的垂直平分线为：y=2，与y轴的交点为D，∴点；（2）将补为直角梯形，如下图所示：

∴；；；∴；【点评】本题考查平面坐标、对称的性质及不规则三角形的面积，关键不规图形的面积割补求法；19．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；【答案】（1）90°；（2）105°．【分析】（1）由对折得EN平分∠AEF，EM平分∠BEF，可得∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF，从而可得：∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB，结合平角的定义可得答案；（2）由对折可得EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，证明∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，可得∠NEF+∠MEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG），从而可得答案．【详解】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，角的和差，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．20．如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由．【答案】见解析【分析】由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可，作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则此时△MNP的周长最小．【详解】作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则PN=P′N，由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可；∵此时MN+PN=MN+P′N=MP′，MN+PN最小，∴此时△PMN的周长