2025届高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天教学案沪科版

PAGE20-第4讲万有引力与航天学问排查学问点一开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第肯定律(轨道定律)全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒其次定律(面积定律)对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关与中心天体有关的常量学问点二万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。2.表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)公式适用于质量分布匀称的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。学问点三宇宙速度1.三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1＝7.9km/s，是人造卫星的最小放射速度，卫星环绕地球的最大速度其次宇宙速度v2＝11.2km/s，使物体摆脱地球引力束缚的最小放射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，使物体摆脱太阳引力束缚的最小放射速度2.第一宇宙速度的求解第一宇宙速度是人造卫星在地面旁边绕地球做匀速圆周运动的速度，也称为最大环绕速度。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝7.9km/s学问点四时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而变更的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2.相对论时空观在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。小题速练1.思索推断(1)行星在椭圆轨道上运行速率是变更的，离太阳越远，运行速率越大。()(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。()(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。()(4)放射探月卫星的速度必需大于其次宇宙速度。()(5)若物体的速度大于其次宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.下列说法正确的是()A.伽利略发觉了万有引力定律，并测得了引力常量B.依据表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C.在由开普勒第三定律得出的表达式eq\f(r3,T2)＝k中，k是一个与中心天体有关的常量D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力解析牛顿发觉了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项A错误；表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)中，当r趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项B错误；表达式eq\f(r3,T2)＝k中，k是一个与中心天体有关的常量，故选项C正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项D错误。答案C3.(2024·全国卷Ⅱ，14)2024年1月，我国嫦娥四号探测器胜利在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变更关系的图象是()解析由万有引力公式F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，解除B、C；而F与h不是一次函数关系，解除A，选项D正确。答案D开普勒行星运动定律的理解和应用1.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。2.开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。3.运用开普勒行星运动定律分析求解椭圆轨道运动问题时，推断行星运动速度的变更，可结合功能关系进行分析。行星(或运动天体)处在离太阳(或所环绕的天体)越远的位置，速度越小；处在离太阳(或所环绕的天体)越近的位置，速度越大。教材引领1.[人教版必修2·P36·T1]地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位，依据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少天？解析行星绕太阳的运动按圆轨道处理，依据开普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,地日),Teq\o\al(2,地球公转))＝eq\f(req\o\al(3,火日),Teq\o\al(2,火星公转))，即Teq\o\al(2,火星公转)＝eq\f(req\o\al(3,火日),req\o\al(3,地日))Teq\o\al(2,地球公转)＝eq\f(1.53,13)×3652，所以T火星公转＝eq\r(1.53)×365天≈671天。答案671天真题闯关2.(2024·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴安排”预料放射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为()A.2∶1 B.4∶1C.8∶1 D.16∶1解析由开普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k，故eq\f(TP,TQ)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(RP,RQ)))\s\up12(3))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,4)))\s\up12(3))＝eq\f(8,1)，C正确。答案C3.(多选)(2024·全国卷Ⅱ)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A.从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B.从Q到N阶段，机械能渐渐变大C.从P到Q阶段，速率渐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为eq\f(1,2)T0，依据开普勒其次定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq\f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；依据开普勒其次定律可知，从P到Q阶段，速率渐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。答案CD万有引力定律的理解及应用1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是供应物体随地球自转的向心力F向，如图2所示。图2(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。(4)越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2.星体表面上的重力加速度(1)在地球表面旁边的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)考法万有引力的计算【例1】如图3所示，有一个质量为M，半径为R，密度匀称的大球体。从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零)()图3A.Geq\f(Mm,R2) B.0C.4Geq\f(Mm,R2) D.Geq\f(Mm,2R2)解析若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分别出半径为eq\f(R,2)的球，易知其质量为eq\f(1,8)M，则剩余匀称球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分别出的球对其的万有引力，依据万有引力定律，F＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正确。答案D考法与重力加速度有关的计算【例2】(2024·江西抚州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”胜利对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、其次。若地球半径为R，把地球看作质量分布匀称的球体。“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为()图4A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(（R－d）2,（R＋h）2)C.eq\f(（R－d）（R＋h）2,R3) D.eq\f(（R－d）（R＋h）,R2)解析令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝Geq\f(M,R2)。由于地球的质量为M＝ρ×eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(\f(4,3)G·ρπR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR。依据题意有，质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)。所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)。依据万有引力供应向心力Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)，eq\f(g′,a)＝eq\f(（R－d）（R＋h）2,R3)，故C正确，A、B、D错误。答案C1.在行星表面，测得以初速度10m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1m，而行星的半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g取10m/s2)()A.5∶2 B.2∶5C.1∶10 D.10∶1解析依据h＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)和g＝eq\f(GM,R2)可得，M＝eq\f(R2veq\o\al(2,0),2Gh)，即ρeq\f(4,3)πR3＝eq\f(R2veq\o\al(2,0),2Gh)，行星平均密度ρ＝eq\f(3veq\o\al(2,0),8πGRh)∝eq\f(1,Rh)，在地球表面以初速度10m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g地)＝5m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。答案D2.已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布匀称的球体，半径为R。则地球的自转周期为()A.T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN)) B.T＝2πeq\r(\f(ΔN,mR))C.T＝2πeq\r(\f(mΔN,R)) D.T＝2πeq\r(\f(R,mΔN))解析在北极，物体所受的万有引力与支持力大小相等，在赤道处，物体所受的万有引力与支持力的差值供应其随地球自转的向心力，由题意可得ΔN＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))，选项A正确。答案A中心天体质量和密度的估算1.“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2.“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。卫星绕天体表面运行时，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。教材引领1.[人教版必修2·P43·T3]某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103km，周期是5.6×103s，试从这些数据估算地球的质量。(已知万有引力常数G＝6.67×10－11N·m2/kg2)解析卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力供应，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，得地球质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2×（6.8×106）3,6.67×10－11×（5.6×103）2)kg＝5.9×1024kg。答案5.9×1024kg拓展提升2.近年来，人类放射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。假如火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)()A.ρ＝eq\f(k,T) B.ρ＝kTC.ρ＝kT2 D.ρ＝eq\f(k,GT2)解析由万有引力定律供应向心力知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，联立M＝ρ·eq\f(4,3)πR3和r＝R，解得ρ＝eq\f(3π,GT2)，3π为一常数，设为k，故选项D正确。答案D3.(2024·济南模拟)酷爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。依据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为()月球半径R0月球表面处的重力加速度g0地球和月球的半径之比eq\f(R,R0)＝4地球表面和月球表面的重力加速度之比eq\f(g,g0)＝6A.3∶2 B.2∶3C.4∶1 D.6∶1解析在星球表面旁边，万有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得星球质量M＝eq\f(gR2,G)，再由密度公式ρ＝eq\f(M,V)，体积公式V＝eq\f(4,3)πR3，联立解得地球和月球的密度之比eq\f(ρ地,ρ月)＝eq\f(g,g0)·eq\f(R0,R)＝eq\f(3,2)，选项A正确。答案A真题闯关4.(2024·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面旁边绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即eq\f(GM地m,R2)＝mg，得M地＝eq\f(gR2,G)，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；依据eq\f(GM地m卫,R2)＝m卫eq\f(v2,R)和T＝eq\f(2πR,v)，得M地＝eq\f(v3T,2πG)，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；依据eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，得M地＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；依据eq\f(GM太m地,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r，得M太＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题选项D正确。答案D5.(2024·全国卷Ⅱ，16)2024年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发觉毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量匀称分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A.5×109kg/m3 B.5×1012kg/m3C.5×1015kg/m3 D.5×1018kg/m3解析毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力供应其表面物体做圆周运动的向心力，依据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3π,GT2)，代入数据解得ρ≈5×1015kg/m3，C正确。答案C卫星运行参量的比较与计算1.物理量随轨道半径变更的规律eq\a\vs4\al(规,律)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2)))\a\vs4\al(越,高,越,慢),mg＝\f(GMm,Req\o\al(2,地))（近地时）→GM＝gReq\o\al(2,地)))2.卫星的运行轨道(1)赤道轨道(2)极地轨道(3)其他轨道图5留意：轨道平面肯定通过地球的球心。3.利用万有引力定律解决卫星运动的技巧(1)一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。(2)两组公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mamg＝eq\f(GMm,R2)(g为天体表面处的重力加速度)(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同确定，全部参量的比较，最终归结到半径的比较。教材引领1.[人教版必修2·P48·T1]“2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船在酒泉卫星放射中心胜利放射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空。飞船绕地球飞行14圈后，于10月16日6时23分平安着陆在内蒙古主着陆场。”依据以上消息，近似地把飞船从放射到着陆的全部运动看做绕地球的匀速圆周运动，试估算神舟五号绕地球飞行时距地面的高度(已知地球的质量M＝6.0×1024kg，地球的半径R＝6.4×103km)。解析神舟五号绕地球运动的向心力由其受到地球的万有引力供应，则Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r,得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，其中周期T＝eq\f(24×60－（2×60＋37）,14)min＝91.64min，解得r＝eq\r(3,\f(6.67×10－11×6.0×1024×（91.64×60）2,4π2))m＝6.7×106m；所以其距地面的高度为h＝r－R＝6.7×106m－6.4×106m＝3×105m＝300km。答案300km拓展提升2.(多选)设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.卫星的线速度为eq\r(\f(gR0,2)) B.卫星的角速度为eq\r(\f(g,8R0))C.卫星的加速度为eq\f(g,9) D.卫星的周期为2πeq\r(\f(27R0,g))解析卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，由牛顿其次定律得Geq\f(m0m,req\o\al(2,2))＝meq\f(v2,r2)＝mω2r2＝meq\f(4π2r2,T2)＝ma，在地球表面处有Geq\f(m0m,req\o\al(2,1))＝mg，其中r1＝R0，r2＝3R0，解以上各式得v＝eq\r(\f(gR0,3))，ω＝eq\r(\f(g,27R0))，a＝eq\f(g,9)，T＝2πeq\r(\f(27R0,g))，选项A、B错误，C、D正确。答案CD3.(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图6中纵坐标表示行星对四周空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2四周的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则()图6A.P1的平均密度比P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小C.s1的向心加速度比s2的大D.s1的公转周期比s2的大解析由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a＝Geq\f(M,r2)可知P1质量大于P2，则P1密度大于P2，故A正确；第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，所以P1的“第一宇宙速度”大于P2的，故B错误；卫星的向心加速度为a＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以s1的向心加速度大于s2，故C正确；由eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得T＝eq\r(\f(4π2（R＋h）3,GM))，故s1的公转周期比s2的小，故D错误。答案AC真题闯关4.(2024·全国卷Ⅲ，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定()A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金解析行星绕太阳做圆周运动，由牛顿其次定律和圆周运动学问可知Geq\f(mM,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)由Geq\f(mM,R2)＝meq\f(v2,R)得速度v＝eq\r(\f(GM,R))由于R金＜R地＜R火所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。答案A5.(多选)(2024·天津理综)2024年2月2日，我国胜利将电磁监测试验卫星“张衡一号”放射升空，标记我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，依据以上数据可以计算出卫星的()图7A.密度大小 B.向心力的大小C.离地高度的大小 D.线速度的大小解析卫星做圆周运动的向心力由万有引力供应，设卫星离地面的高度为h，则有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)(R＋h)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B项错误；又Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，联立两式可得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，C项正确；由v＝eq\f(2π,T)(R＋h)，可计算出卫星的线速度的大小，D项正确。答案CD活页作业(时间：40分钟)基础巩固练1.(2024·山东等级考模拟卷)2024年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同始终线，此时是视察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为()A.eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))R0 B.eq\r(\f(T3,Teq\o\al(3,0)))R0C.eq\r(3,\f(Teq\o\al(2,0),T2))R0 D.eq\r(\f(Teq\o\al(3,0),T3))R0解析由开普勒第三定律知eq\f(T2,R3)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),Req\o\al(3,0))，得R＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))R0，故A正确。答案A2.(2024·北京理综，17)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的状况下，须要验证()A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60解析若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满意Geq\f(Mm,r2)＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误。答案B3.“嫦娥四号”于2024年1月3日10时26分胜利完成人类首次月球背面软着陆。为了实现地球与月球背面的通信，先期放射了一枚拉格朗日L2点中继卫星。拉格朗日L2点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，是五个拉格朗日点之一，位于日地连线上、地球外侧约1.5×106km处。已知拉格朗日L2点与太阳的距离约为1.5×108km，太阳质量约为2.0×1030kg，地球质量约为6.0×1024kg。在拉格朗日L2点运行的中继卫星，受到太阳引力F1和地球引力F2大小之比为()A.100∶3 B.10000∶3C.3∶100 D.3∶10000解析太阳对中继卫星的引力为F1＝Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))，地球对中继卫星的引力为F2＝Geq\f(M地m,req\o\al(2,2))，所以两力之比为F1∶F2＝Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))∶Geq\f(M地m,req\o\al(2,2))＝100∶3。答案A4.地球的近地卫星线速度约为8km/s，已知月球质量约为地球质量的eq\f(1,81)，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是()A.在月球上放射卫星的最小速度约为8km/sB.月球卫星的环绕速度可能达到4km/sC.月球的第一宇宙速度约为1.8km/sD.“近月卫星”的速度比“近地卫星”的速度大解析依据第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，月球与地球的第一宇宙速度之比为eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2R1,M1R2))＝eq\r(\f(4,81))＝eq\f(2,9)，月球的第一宇宙速度约为v2＝eq\f(2,9)v1＝eq\f(2,9)×8km/s≈1.8km/s，在月球上放射卫星的最小速度约为1.8km/s，月球卫星的环绕速度小于1.8km/s。“近月卫星”的速度1.8km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确。答案C5.(多选)质量为m的人造卫星在地面上未放射时的重力为G0，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的()A.周期为4πeq\r(\f(2mR,G0)) B.速度为eq\r(\f(2G0R,m))C.动能为eq\f(1,4)G0R D.重力为eq\f(1,2)G0解析由万有引力供应向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma①由题意可知，r＝2R②质量为m的人造卫星在地面上未放射时的重力为G0，依据万有引力等于重力得：GM＝gR2＝eq\f(G0,m)R2③由①②③解得：周期T＝4πeq\r(\f(2mR,G0))，则A正确；由①②③解得速度v＝eq\r(\f(G0R,2m))，则B错误；动能为Ek＝eq\f(1,4)G0R，则C正确；由a＝eq\f(GM,r2)，则重力为ma＝eq\f(G0,4)，则D错误。答案AC6.(多选)宇航员在地球表面以肯定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面旁边的重力加速度为g′，地球的质量为M地该星球的质量为M星，空气阻力不计。则()A.g′∶g＝1∶5B.g′∶g＝5∶2C.M星∶M地＝1∶20D.M星∶M地＝1∶80解析由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，选项A正确，B错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′Req\o\al(2,星),gReq\o\al(2,地))＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,80)，选项C错误，D正确。答案AD7.(2024·天津卷，1)2024年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天幻想的嫦娥四号探测器胜利放射，“实现人类航天器首次在月球背面巡察探测，领先在月背刻上了中国踪迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()图1A.周期为eq\r(\f(4π2r3,GM)) B.动能为eq\f(GMm,2R)C.角速度为eq\r(\f(Gm,r3)) D.向心加速度为eq\f(GM,R2)解析探测器绕月运动由万有引力供应向心力，对探测器，由牛顿其次定律得，Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，动能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，C错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，D错误。答案A综合提能练8.(2024·西安联考)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为RA和RB。两颗行星四周卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图2所示；T0为卫星环绕行星表面运行的周期。则()图2A.行星A的质量小于行星B的质量B.行星A的密度小于行星B的密度C.行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D.当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度解析依据万有引力供应向心力得出Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，依据图象可知，行星A的eq\f(r3,T2)比行星B的大，所以行星A的质量大于行星B的质量，故选项A错误；由图象可知，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,0))，所以行星A的密度等于行星B的密度，故选项B错误；第一宇宙速度v＝eq\f(2πR,T)，行星A的半径大于行星B的半径，卫星环绕行星表面的周期相同，则行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，故选项C错误；依据Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，当两行星的卫星轨道半径相同时，A的质量大于B的质量，则行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度，故选项D正确。答案D9.(多选)(2024·山东青岛二中模拟)2024年1月，我国在西昌卫星放射中心用长征三号乙运载火箭以“一箭双星”方式胜利放射第26、27颗北斗导航组网卫星，两颗卫星属于中轨道卫星，运行于半径为10354km的圆形轨道上。卫星轨道平面与赤道平面成55°倾角。关于这两颗卫星，以下说法正确的是()A.两颗卫星的周期相等、运行速率相等B.两颗卫星均为通信运用，故均为地球同步卫星C.两颗卫星从地球上看是移动的，但每天经过特定的地区上空D.两颗卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析两颗卫星的轨道半径及轨道平面相同，则运行的周期相等、运行速率相等，选项A正确；因两颗卫星的轨道平面不与赤道重合，则两颗卫星不行能是地球的同步卫星，选项B错误；两颗卫星从地球上看是移动的，但因不是地球的同步卫星，则每天不行能经过特定的地区上空，选项C错误；依据a＝eq\f(GM,r2)可知，两颗卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，选项D正确。答案AD10.我国实施“嫦娥三号”的放射和落月任务，进一步获得月球的相关数据。假如该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，依据以上数据估算月球的质量是()图3A.eq\f(t2,Gs3) B.eq\f(s3,Gt2)C.eq\f(Gt2,s3) D.eq\f(Gs3,t2)解析由题意可知，该卫星的线速度v＝eq\f(s,t)，角速度ω＝eq\f(1,t)，转动半径R＝eq\f(v,ω)＝s，由万有引力供应向心力得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得M＝eq\f(s3,Gt2)，选项B正确。答案B11.20世纪人类最宏大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推动器，测出飞船在短时间Δt内速度的变更为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽视)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是()图4A.eq\f(FΔv,Δt)，eq\f(v2R,G) B.eq\f(FΔv,Δt)，eq\f(v3T,2πG)C.eq\f(FΔt,Δv)，eq\f(v2R,G) D.eq\f(FΔt,Δv)，eq\f(v3T,2πG)解析依据牛顿其次定律可知F＝ma＝meq\f(Δv,Δt)，所以飞船质量为m＝eq\f(FΔt,Δv)。飞船做匀速圆周运动的周期T＝eq\f(2πr,v)，得半径为r＝eq\f(Tv,2π)，依据万有引力供应向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得星球质量M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(v3T,2πG)，故选项D正确。答案D12.(多选)据报道，中国在2024年底放射全球首颗专业夜光