2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第10讲离散型随机变量的均值与方差含解析

PAGE1-第10讲离散型随机变量的均值与方差1.一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10(m≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数.若DX＝2.1，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率p＝()A.eq\f(44,45)B.eq\f(14,15)C.eq\f(7,9)D.eq\f(13,15)2.(2024年四川)同时抛掷两枚质地匀称的硬币，当至少有一枚硬币正面对上时，就说这次试验胜利，则在2次试验中胜利次数X的均值是________.3.(2024年上海)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的肯定值的1.4倍作为其奖金(单位：元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元).4.(2024年浙江)已知随机变量ξi满意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1—pi，i＝1,2.若0<p1<p2<eq\f(1,2)，则()A.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)5.(2024年浙江)设0<a<1，则随机变量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大6.(2024年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.37.(2024年宁夏高校附中统测)某人射击一次击中目标概率为eq\f(3,5)，经过3次射击，记X表示击中目标的次数，则方差D(X)＝()A.eq\f(18,25)B.eq\f(6,25)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,5)8.(2024年浙江)设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下：ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)则当p在(0,1)内增大时，()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小

9.(2024年新课标Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.10.某校从参与高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成果(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图X9­10­1所示部分频率分布直方图.视察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成果的中位数；(2)从被抽取的数学成果是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；(3)假设从全市参与高一年级期末考试的学生中，随意抽取4个学生，设这四个学生中数学成果为80分以上(包括80分)的人数为X(以该校学生的成果的频率估计概率)，求X的分布列和数学期望.图X9­10­1

11.随着经济的发展，个人收入的提高.自2024年10月1日起，个人所得税起征点和税率调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表(调整前)个人所得税税率表(调整后)免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率/%级数全月应纳税所得额税率/%1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20………………(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入/元[3000，5000)[5000，7000)[7000，9000)[9000，11000)[11000，13000)[13000，15000)人数/人304010875①先从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法学问宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，随机变量Z＝|a－b|，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？

12.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图X9­10­2①所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾难等级的频率分布条形图如图②所示.①②图X9­10­2(1)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生1级灾难的概率；(2)黄河济南段某企业，在8月份，若没受1、2级灾难影响，利润为500万元；若受1级灾难影响，则亏损100万元；若受2级灾难影响则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用/万元方案一无措施0方案二防控1级灾难40方案三防控1,2级灾难100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.

第10讲离散型随机变量的均值与方差1．B解析：依题意可得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(n,10)))，则DX＝10×eq\f(n,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,10)))＝2.1，又m≥n，则n≤5，从而n＝3，则p＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,15).2.eq\f(3,2)解析：同时抛掷两枚质地匀称的硬币，可能的结果有正正，正反，反正，反反，∴在1次试验中胜利次数ξ的取值为0,1,2，其中P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)，在1次试验中胜利的概率为P(ξ≥1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴在2次试验中胜利次数X的概率为P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16)，E(X)＝1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).3．0.2解析：赌金的分布列为ξ112345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)∴E(ξ1)＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3.奖金的分布列为ξ21.42.84.25.6Peq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)eq\f(3,C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)eq\f(2,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)∴E(ξ2)＝1.4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)×1＋\f(3,10)×2＋\f(1,5)×3＋\f(1,10)×4))＝2.8.E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.4．A解析：∵E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，∴E(ξ1)<E(ξ2)．∵D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，∴D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)<0.故选A.5．D解析：方法1：由分布列得E(X)＝eq\f(1＋a,3)，则D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－0))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－a))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)－1))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,6)，则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．方法2：则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝0＋eq\f(a2,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(a＋12,9)＝eq\f(2a2－2a＋2,9)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).故选D.6．B解析：D(X)＝10p(1－p)＝2.4,25p2－25p＋6＝0，p＝eq\f(2,5)或p＝eq\f(3,5).P(X＝4)<P(X＝6)⇒Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，(1－p)2<p2,1－p<p，即p>eq\f(1,2).∴p＝eq\f(3,5).7．A解析：某人射击一次击中目标概率为eq\f(3,5)，经过3次射击，记X表示击中目标的次数，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).∴D(X)＝3×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(18,25).故选A.8．D解析：E(ξ)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝p＋eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－p－\f(1,2)))2×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－p－\f(1,2)))2×eq\f(p,2)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)，∵eq\f(1,2)∈(0,1)，∴D(ξ)先增大后减小．故选D.9．解：(1)设A表示事务：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事务A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事务：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事务B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率为eq\f(3,11).(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为：X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.10．解：(1)∵各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3.直方图如图D271所示．中位数为70＋10×eq\f(0.1,0.3)≈73，估计这次考试的中位数是73分．图D271(2)[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数是18,15,3，∴从成果是70分以上(包括70分)的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：P＝eq\f(C\o\al(2,18)＋C\o\al(2,15)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,36))＝eq\f(29,70).(3)∵X～B(4,0.3)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)0.3k·0.74－k(k＝0,1,2,3,4)，∴其分布列为：X01234P(X＝k)0.24010.41160.26460.07560.0081数学期望为E(X)＝np＝4×0.3＝1.2.11．解：(1)调整前y关于x的表达式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤3500，,x－3500×0.03，x∈3500，5000]，,45＋x－5000×0.1，x∈5000，8000].))调整后y关于x的表达式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤5000，,x－5000×0.03，x∈5000，8000].))(2)①由频率分布表可知从[3000,5000)及[5000,7000)的人群中抽取7人，其中[3000,5000)中占3人，[5000,7000)的人中占4人．再从这7人中选4人，∴Z的取值可能为0,2,4. P(Z＝0)＝P(a＝2，b＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(Z＝2)＝P(a＝1，b＝3)＋P(a＝3，b＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(16,35)，P(Z＝4)＝P(a＝0，b＝4)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(4,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35).∴其分布列为Z024Peq\f(18,35)eq\f(16,35)eq\f(1,35)∴E(Z)＝0×eq\f(18,35)＋2×eq\f(16,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(36,35).②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×0.03＋2500×0.1＝295(元)，按调整后起征点应纳个税为2500×0.03＝75(元).比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，∴小李的实际收入增加了220元．12．解：(1)依据甲图，记黄河济南段8月份“水位小于40米”为事务A1，“水位在40米至50米之间”为事务A2，“水位大于50米”为事务A3，它们发生的概率分别为：P(A1)＝(0.02＋0.05＋0.06)×5＝0.65，P(A2)＝(0.04＋0.02)×5＝0.30，P(A3)＝0.01×5＝0.05.记黄河济南段8月份