2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[目标]1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会依据离散型随机变量的分布列求出均值.2.能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．[重点]离散型随机变量的均值的概念与计算；离散型随机变量的性质以及两点分布与二项分布的均值．[难点]离散型随机变量的性质与应用．学问点一离散型随机变量的均值[填一填]1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(2)数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量，(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.[答一答]1．随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？提示：随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依靠于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而改变．对于简洁随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．2．离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量的哪些内容？提示：离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值的单位是否相同？提示：由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同．学问点二两点分布、二项分布的均值[填一填]1．两点分布：若X听从两点分布，则E(X)＝p.2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.[答一答]4．若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次肯定会进8个球吗？提示：某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投一次可能胜利，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个球也没进，也可能进了几个球，但并不肯定会是8个，只是从平均意义上讲10次投篮进8个球．1．正确理解离散型随机变量的均值(1)随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位．(2)离散型随机变量的分布列全面地刻画了它的取值规律，而随机变量的均值是从一个侧面刻画随机变量的取值特点．2．离散型随机变量数学期望的性质设ξ是离散型随机变量，则其数学期望具有如下性质：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b(a，b∈R)；(2)E(ξ1＋ξ2)＝E(ξ1)＋E(ξ2)．3．求随机变量ξ的均值的一般步骤(1)写出ξ的分布列，在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关学问，如分布列、古典概型、独立事务的概率等；(2)由分布列求E(ξ)；(3)假如随机变量是线性关系或听从两点分布、二项分布、超几何分布，那么依据它们的期望公式计算．类型一求离散型随机变量的均值【例1】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为eq\f(1,2)，各局竞赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【解】(1)记A1表示事务“第2局结果为甲胜”，A2表示事务“第3局甲参与竞赛时，结果为甲负”，A表示事务“第4局甲当裁判”，则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(1,4).(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事务“第3局乙和丙竞赛时，结果为乙胜”，B1表示事务“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事务“第2局乙和甲竞赛时，结果为乙胜”，B3表示事务“第3局乙参与竞赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝eq\f(1,8)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)1·B3)＝P(eq\x\to(B)1)P(B3)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－eq\f(1,8)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,8).E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝eq\f(9,8).eq\a\vs4\al(求随机变量X的均值的方法和步骤：,①理解随机变量X的意义，写出X全部可能的取值；,②求出X取每个值的概率PX＝k；,③写出X的分布列；,④利用均值的定义求EX.)某班50位学生期中考试数学成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成果不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成果在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由频率分布直方图知成果不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成果在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.ξ可能取0,1,2三个值，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(2,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,22).ξ的分布列为：ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)故E(ξ)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).类型二离散型随机变量的均值的性质【例2】已知随机变量ξ的分布列为ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)m若η＝aξ＋3，E(η)＝eq\f(7,3)，则a＝()A．1B．2C．3D．4【分析】先由分布列的性质求出m，从而可求E(ξ)，利用期望的性质E(η)＝aE(ξ)＋3求出a.【解析】由分布列的性质得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋m＝1，∴m＝eq\f(1,6).∴E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－eq\f(1,3)a＋3＝eq\f(7,3)，∴a＝2.【答案】B若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.(1)设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)＝(A)A．35B．40C．30D．15解析：∵E(ξ)＝10，∴E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×10＋5＝35.(2)设ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝eq\f(32,3).解析：E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,6)＋eq\f(6,6)＋eq\f(8,6)＝eq\f(17,6).∴E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).类型三二项分布的均值【例3】某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为eq\f(1,2)，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列．(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．【分析】由题目可获得以下主要信息：①该顾客共消费2300元；②得奖券4张，且每张中奖率为eq\f(1,2)；③求ξ的分布列及η的数学期望．解答本题中的(1)可利用独立重复试验求解．(2)可先求出E(ξ)，进而求出E(η)．【解】(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B(4，eq\f(1,2))．∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，其分布列为ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)∵ξ～B(4，eq\f(1,2))，∴E(ξ)＝4×eq\f(1,2)＝2.又由题意可知η＝2300－100ξ，∴E(η)＝E(2300－100ξ)＝2300－100E(ξ)＝2300－100×2＝2100.即所求变量η的期望为2100元．1假如随机变量X听从两点分布，则其期望值EX＝pp为胜利概率.2假如随机变量X听从二项分布即X～Bn，p，则EX＝np，以上两特例可以作为常用结论，干脆代入求解，从而避开了繁杂的计算过程.某班将要实行篮球投篮竞赛，竞赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是eq\f(9,10)和eq\f(1,3).假如以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应当选择哪个区投篮？请说明理由．解：(1)设该选手在A区投篮的进球数为X，则X～B(2，eq\f(9,10))，故E(X)＝2×eq\f(9,10)＝eq\f(9,5)，则该选手在A区投篮得分的期望为2×eq\f(9,5)＝3.6.设该选手在B区投篮的进球数为Y，则Y～B(3，eq\f(1,3))，故E(Y)＝3×eq\f(1,3)＝1，则该选手在B区投篮得分的期望为3×1＝3.所以该选手应当选择在A区投篮．因不理解二项分布导致错误【例4】一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的期望为________．【错解】2.4【错因分析】二项分布的特征是事务的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明白随机变量并非听从二项分布．【正解】X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064.所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.【答案】2.376设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值E(ξ)＝eq\f(1,2).解析：由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22)，则依据期望公式可知ξ的期望值E(ξ)＝eq\f(1,2).1．随机变量ξ的分布列为ξ123P0.20.5m则ξ的数学期望是(B)A．2 B．2.1C．2.3 D．随m的改变而改变解析：∵0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.2．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝(D)A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解析：∵E(X)＝40×p＝16，∴p＝0.4.3．已知ξ的分布列如下，若η＝3ξ＋2，则E(η)＝eq\f(15,2).ξ123Peq\f(1,2)teq\f(1,3)解析：∵eq\f(1,2)＋t＋eq\f(1,3)＝1，∴t＝eq\f(1,6).∴E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(11,6).E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×eq\f(11,6)＋2＝eq\f(15,2).4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参与演讲，若用随机变量ξ表示选出的演讲者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝eq\f(4,7).(结果用最简分数表示)解析：ξ可取0,1,2，因此P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al