第9章 中心对称图形-平行四边形 小结与思考 单元复习课件

第9章中心对称图形---平行四边形八年级(下册)苏科版小结与思考1.回顾本章所学的知识及思想方法，能从不同的角度进行归纳，对本章知识有全面、系统的认识；2.进一步掌握综合法的证明格式以及分析和综合的思考方法.学习目标中心对称图形——平行四边形图形的旋转中心对称与中心对称图形平行四边形概念将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转性质旋转前后的两个图形全等对应点到旋转中心的距离相等两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等中心对称中心对称图形定义一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称性质对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分作图作已知图形关于某一点对称的图形把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形定义两组对边分别平行的四边形性质平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分判定一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分知识框架中心对称图形——平行四边形矩形、菱形、正方形三角形的中位线矩形有一个角是直角的平行四边形定义矩形的四个角都是直角，对角线相等性质三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形判定两条平行线之间的距离两条平行线之间的距离处处相等菱形定义有一组邻边相等的平行四边形性质菱形的四条边相等，对角线互相垂直判定四边相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形性质四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分判定有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形定义定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半知识框架考点一图形的旋转例

如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'、D、B在同一条直线上，则∠ABD的度数是

.BADCD'45°解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，∴∠ABD=22.5°.22.5°考点分析1.如图是香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 (

)A.45°B.60°C.72° D.108°C巩固练习2.如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是(

)A

B

C

DB巩固练习3.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B.若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为________.

ABCB´A´巩固练习4.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点)，画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后所得到的△A'B'C'.C´B´A´OABC巩固练习考点二中心对称与中心对称图形例

如图在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上.请仅用无刻度的直尺完成作图.(保留作图痕迹)在图①中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；A′B′C′考点分析1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)

A

B

C

DD巩固练习2.如图，△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心是(

)A.点C B.点DC.线段BC的中点 D.线段FC的中点DBADCEF巩固练习3.如图，已知四边形ABCD和点P，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称.DABCPA'C'B'D'巩固练习4.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.求证：DF=BE.OBADCEF

巩固练习考点三平行四边形的判定与性质例(2022·徐州)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF.求证：(1)

△ABE≌△CDF；BADCEF

考点分析BADCEF(2)

四边形AECF是平行四边形.解：(2)由(1)，得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∴

180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.∵AE＝CF，∴

四边形AECF是平行四边形.考点分析1.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________.14BADCO2.

(2022·淮安)如图，在▱ABCD中，CA⊥AB.若∠B＝50°，则∠CAD的度数是

40°

⁠.

40°

(1)BADC(2)巩固练习3.(2021·宿迁)在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，

(填写序号).

求证：BE=DF.②(答案不唯一)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.∵OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形.∴BE=DF.BADCOEF巩固练习4.(2023·无锡)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.求证：(1)

△CEF≌△AED；

BEDCAF巩固练习BEDCAF(2)

四边形DBCF是平行四边形.解：(2)

由(1)，得△CEF≌△AED，∴

∠FCE＝∠A.∴BD∥CF.∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC.∴

四边形DBCF是平行四边形.巩固练习5.(2022·扬州)如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G.(1)求证：BE∥DG，BE=DG；BEDCAFG

巩固练习(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积.BEDCAFG

巩固练习考点四矩形的判定与性质例

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，E是四边形ABCD外一点，连接EA、EB、EC、ED.(1)求证：AC、BD互相平分；BADCOE证明：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分．考点分析BADCOE(2)若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明.

考点分析1.(2023·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(

)A.AB∥CD

B.AD=BCC.∠A=∠B D.∠A=∠DC2.(2023·台州)如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为

.

BADCFE巩固练习3.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)如图①，若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为

.

(2)若AB=3，BC=4，E为BC上一动点.①如图②，连接AE交BD于点F，当AE⊥BD时，AF的长为

.

②如图③，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥AC于点N，则EM+EN的值为

.

BADCO①BADCOEF②BADCEOMN③4

巩固练习4.(2022·泰州)如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.(1)求证：AF与DE互相平分.

BADCFE巩固练习(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

BADCFE巩固练习考点五菱形的判定与性质例

如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.求证：(1)四边形AECF为菱形；BADCEF

O考点分析求证：(2)AE⊥DE.BADCEF

考点分析1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A.对角线相等 B.对角线互相垂直C.对角相等 D.对边平行B2.若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是(

)A.24 B.20C.10 D.5B巩固练习3.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________.

BADCOxy巩固练习4.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是

．2.5BADCEFP巩固练习5.如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC于点O，交AM于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.BADCOMN证明：∵AM∥BN，∴

∠DAC＝∠BCA.∵AC平分∠BAM，∴

∠BAC＝∠DAC.∴

∠BCA＝∠BAC.∴BC＝BA.∵BD⊥AC，∴

∠AOB＝∠AOD＝90°.∵

∠BAC＝∠DAC，∴

易得∠ABO＝∠ADO.∴AB＝AD.∴AD＝BC.∵AD∥BC，∴

四边形ABCD是平行四边形.又∵BD⊥AC，∴

四边形ABCD是菱形.巩固练习考点六正方形的判定与性质例

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上的一点，且EA=EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；ABCDE

考点分析(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形.ABCDE

考点分析1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为(

)A.50° B.55° C.65° D.70°CABCDOEF巩固练习2.

(2022·无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝

1

⁠.1

DABCGEH巩固练习3.

(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是

（2，⁠.

(2，5)BADCOxy巩固练习4.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：(1)

△AHE≌△BEF；解：(1)

∵

四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵AE＝BF＝DH，∴DA－DH＝AB－AE，即AH＝BE.∴

△AHE≌△BEF.ABCDHEFG巩固练习ABCDHEFG(2)

四边形EFGH是正方形.解：(2)

同理(1)，可得△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.∴EH＝FE＝GF＝HG，∠EHA＝∠HGD.∴

四边形EFGH是菱形.∵

∠HGD＋∠GHD＝90°，∴

∠EHA＋∠GHD＝90°.∴

∠EHG＝90°.∴

四边形EFGH是正方形.巩固练习5.

如图，正方形ABCD的边长为1，点F在边CD上，连接AF，延长AD到点E，使得DE＝DF，连接CE.(1)求证：△ADF≌△CDE；

ABCDEFG巩固练习ABCDEFG(2)若延长AF，与CE恰好相交于CE的中点G，求DE的长.

巩固练习考点七三角形的中位线例

如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF．BACEFHD(1)证明：∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.考点分析(2)求证：∠DHF=∠DEF．BACEFHD(2)证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．考点分析

1.(2022·德阳)如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列结论一定正确的是(

)CBACEFDGH巩固练习2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC边上的中点，连接CD、DE.如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD＋DE的长是_____m.BACDE4巩固练习3.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关BACDERPFC巩固练习4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形.ABCDEFHG

巩固练习(2)①当AB与CD满足条件

时，四边形EGFH是菱形，在(1)的基础上此时判定菱形的依据是________________________________.

②当AB与CD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？证明你的结论.ABCDEFHGAB=CD一组邻边相等的平行四边形是菱形解：②当AB⊥CD时，四边形EGFH是矩形.证明：由(1)知四边形EGFH是平行四边形.∵AB⊥CD，EG∥AB，FG∥CD，∴EG⊥FG.∴平行四边形EGFH是矩形.巩固练习5.

如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG.H为FG的中点，连接AF，DH.(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；BACEFDGH

巩固练习(2)

若CB＝CE，∠BAE＝60°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数.

BACEFDGH巩固练习考点八特殊四边形的动态判定例

如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；BACOEFNGM

考点分析(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；BACOEFNGM(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形.考点分析BACOEFNGM(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，四边形AECF为正方形．解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四边形AECF是正