《机械优化设计（第7版）》课件 孙靖民 第7章多目标及离散变量优化；第8章机械优化设计实例

机械优化设计第七章

多目标和离散变量优化方法第一节多目标优化问题第二节多目标优化方法第三节离散变量优化问题第四节

离散变量优化方法机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题

——多目标优化设计问题多目标优化问题的类型：

(1)整体多目标优化

(2)分层(步)多目标优化多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别:①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解）②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不易于比较其优劣。第一节多目标优化问题TlRxRxxfxfxfxFnn)]()(),([)(21minmin..ÎÎ=判别方案的优劣：单目标：只要用f(x)去比较即可绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到最优的解。绝对最优解几乎不可能找到，因为各分目标函数有时会相互矛盾。非劣解(有效解)：指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目标函数值fi(x)比fi(x*)更好，而其余(m-1)个目标函数值不变坏，则称x*为非劣解（有效解）;多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步，以便取得较好的方案。

多目标：（j=1,2,…l）例1在最优解为：但两者无共同的最优解内两单目标函数]2,0[Îx①内，(若，对任意都有，则x*是多目标优化的绝对最优解)③若，且不存在使，则x*为非劣解。的所有点均为非劣解。是绝对最优解。内，a’，a点都是劣解（若，存在，有②则x*成为劣解。）Dxx*Î例如b点。一、主要目标法基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标，而其它目标则只需满足一定的要求即可，即将目标转化为约束条件目标函数转化为：二、统一目标法基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为多目标优化问题的评价函数。第二节多目标优化方法式中，fimin和f

imax为第i个目标函数的上、下限。一般只有单边限制1．线性加权法基本思想：将各个分目标函数依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组构成一新的统一的目标函数F(x)wi——加权因子(wi≥0，i=1,2,…，l)加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法）、功效系数法和极大极小法等。加权因子，,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l)的线性组合，为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x)转化为无量纲等量级目标函数再组成统一目标函数。wi——按各分目标的重要程度来决定如各分目标有相同的重要性，则取wi=1(i=1,2,…,l)—称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子，取将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数的方法①将各分目标转化后加权加权因子wi确定的方法:设各分目标函数值的变动范围为：②即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数，它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消除了各分目标在数量级上的差别。其中，w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目标函数值同步下降。③直接加权法一个分目标函数fi(x)变化越快，的值越大，将加权因子分成两部分一般取：wi=w1i·w2i

(i=1,2,…,l)基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调整，定出各分目标的最合理值（也可以是最优值），再构造新的统一的式中，除如引入加权系数wi，则目标函数为：2．理想点法（目标规化法）是为使目标函数无量纲化。目标函数：V——其中，则统一目标函数为即要求位于分子的各分目标函数应尽量小，而位于分母的各分目标函数应尽量大。一般要求各分目标函数fi(x)在D上均取正值。3．分目标乘除法多目标混合优化问题：基本思想：对应每一目标函数都用功效系数来表示该项指标的好坏总功效系数（评价函数）C值越大越好，C=1---方案最满意C=0---表示此方案不能被接受。只要有一个方案，Ci=0，此方案都不能被接受功效系数类型：1）Ci与fi成正比，即要求目标函数越大越好2）Ci与fi成反比，即要求目标函数越小越好3）fi取某适当值时，Ci就越大；否则Ci就越小。4．功效系数法功效系数的确定方法：①直线法②折线法③指数法功效系数法的优点：

1、各分目标函数的值数量级大小对优化无影响

2、评价函数比较直观、易于调整

3、适于要求目标函数取值适中的情况基本思想：多目标优化问题中，存在目标函数间相互矛盾的情况，一个（些）目标函数值的减小，将导致另一个（些）目标函数值的增大。因此，各分目标函数值之间需要进行协调，以便取得合理的方案。如图所示，两维双目标函数f1(x)、f2(x)的等值线和两个不等式约束曲面.三、协调曲线法f1(x)最优点T点，f2(x)最优点P点可行域中任意一点R.

从R点起沿f1(x)=5等值线，向约束面移动f2(x)不断改善，直至边界上S点。从R点起沿f2(x)=8等值线，向约束面f1(x)移动不断改善，直至边界上Q点。f1(x)=5时，对应f2(x)的最佳点为S点由此可得f1(x)（或f2(x)）为定值时对应的最佳f2(x)（或f1(x)）的点关系曲线T-Q-S-P—协调曲线。f2(x)=8时，对应f1(x)的最佳点为Q点。均为约束边界点S、Q点都比R点优该曲线反映了两个设计目标全部最佳方案的调整范围,再建立一个衡量设计方案满意程度的准则，建立一组反映不同满意程度的曲线u(f1,f2)，使随着满意度增加，同时使目标函数f1(x)和f2(x)都有所下降。满意度曲线与协调曲线的切点，即为最优设计方案。如图所示O点满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。基本思想：将多目标优化问题的各目标函数按重要程度排列，然后，依次对各个目标函数求最优解，而后一目标函数应在其前面目标函数最优解的集合域内寻优。1、分层序列法设分目标函数重要程度次序为：f1(x)、f2(x)，…则首先对f1(x)寻优：在的集合内对f2(x)寻优：四、分层序列法和宽容分层序列法问题：如其中第k个目标函数的最优解为唯一时，再往下求解就失去意义，而后面l-k个目标函数也没法得到最优化解。以下类推。2、宽容分层序列法基本思想：即先对各目标函数的最优值取一定的宽容量ε1，ε2，…，εl(>0)，使求后一个目标函数最优值时，对前一些目标函数的约束扩大为在其最优值附近的某一范围内。②③……④①如图，两目标优化问题，不作宽容时，为最优解，即f1(x)的严格最优解，给定宽容值ε1，则最优解为x(1)例1用宽容分层序列法求解式中，解：如图所示，由给定ε1=0.052，解∴V—

等间隔的离散变量非均匀间隔离散变量→特例：整数变量—整数规划问题最简单处理办法：按连续变量处理，得最优解后，再圆整为最近的离散值问题：①圆整后的点在非可行域;②圆整为哪一个附近的离散值难于确定;③有些情况下设计变量不允许最后取整。第三节离散变量优化问题一、概述离散变量式中——离散变量子集合xD为空集时，为连续变量型问题xC为空集时，为全离散变量型问题——连续变量子集合约束非线性混合离散变量优化问题的数学模型：一、约束非线性离散变量的优化方法常用方法：

1)以连续变量优化为基础的方法：

圆整法、拟离散法、离散型罚函数法

2)离散变量随机优化方法：随机试验法，随机离散搜索法

3)离散变量搜索优化方法：

组合优化法，整数梯度法

4)其它离散变量优化方法：

非线性隐枚举法，分支定界法第四节离散变量优化方法(一)以连续变量优化为基础的方法1、整型化、离散化法（圆整法、凑整法）

基本思想：先按连续变量方法求得最优解x*，再进一步寻找整型量或离散量优化解。设最优点的n个实型分量为，则最靠近的两个离散量（或整型量）由这些离散（整型）分量的不同组合，便构成了最邻近于实型最优点x*的两个整型（离散）分量及其相应一组离散（整型）点群共2n个设计点。去除不在可行域内点，其余在可行域内的若干点中，选取一个目标函数值最小的点作为最优解输出。问题：如中图:x*点（通常在约束边界上）附近的离散点（整型点）均不在可行域内的情况如右图:离x*较远的点P为离散最优点的情况。如左图，x*点附近整型（离散）点群为ABCD。B点在可行域外，C点为最优点。2．拟离散法

基本思想：在求得连续变量最优解x*后，在x*点附近按一定方法进行搜索来求得优化离散解。

(1)交替查找法：适于全整数变量优化问题（略）

(2)离散分量取整，连续分量优化法：适用于混合离散变量优化问题（略）基本思想：将设计变量的离散性视为对该变量的一种约束条件，再用连续变量的优化方法来计算离散变量问题的优化解。

1）构造一个具有下列性质的离散惩罚函数项Qk(xD)3、离散惩罚函数法RD—设计空间离散点的集合其意义为：当离散变量趋于离散值时，惩罚函数值为零离散惩罚函数定义方法:其中，xi为相邻两离散点xij和xij+1间任一点坐标。Qk(xD)为规范化的对称函数，其最大值为1，xi取xij或xij+1时为0。如图,对βk≥1情形，在离散值之间范围内，函数的一阶导数是连续的。(1)2）将离散惩罚函数项Qk(xD)加到内点法SUMT的惩罚项中，得离散惩罚函数为：其中，s(k)为离散惩罚因子，

∴时例1求f(x)=x/2的最小整数优化解，约束函数

g1(x)=1.3-x≤0如图所示，分别表示k不同时，离散优化点

最终离散最优解为[x]2

变化情况随着k不断变化，r减小，s增加

方法缺点：离散惩罚函数易出现病态，使优化搜索带来困难。(二)离散变量搜索型方法——离散复合形法特点：在离散空间直接搜索，每次得到的复合形顶点都是离散点，通过不同的搜索方法来改变其形状，使复合形逐步向离散最优点趋近。算法步骤：1)在n维空间产生由2n+1个顶点构成的初始复合形，并将各顶点移到各自附近的离散点上。2)将各项点按目标函数值由大到小排列，找出最坏点AH3)找出除最坏点外复合形的几何中心，并求出最坏点AH相对于中心点的反射点Ap并移到附近离散点上。4)如Ap点可行，且目标函数值比AH点好，则用Ap替代AH点，组成新复合形→转步骤2。否则，沿反射的反方向搜索定新点。5)如用上述方法失败，则依次用次坏点…代替最坏点作为映射点，转步骤3）6)如用最好点代替AH作为映射点，仍找不到好点，或复合形退化到n-1维空间时，表示算法收敛。此时，取复合形顶点中最好的点作为离散优化解。(三)分支定界法离散变量的分支定界法是一种解线性整数规划问题的有效方法。此法与线性整数规划的分支定界法相似，步骤如下：1）设所讨论问题为求极小化的问题，先求出元问题不考虑整数或离散约束的非线性问题的连续变量解。2）对非整数变量，可将分解为整数部分和小数部分。3）构造两个子问题：上界约束，下界约束4）将上述两个子问题按连续变量非线性问题求优化解。5）重复上述过程，不断分支，并求得分支产生的子问题的优化解，直到求得一个离散解为止。6）在上述求解过程中，每个节点最多能分出两个新的节点。7）当下列情况出现时，则认为相应的节点以及它以后的节点已考察清楚8）当所有节点都考察清楚后，寻求工作结束，此时最好的整数解或离散解就是该问题的离散优化解。(四)离散变量型网格法

1.离散变量型普通网格法基本思想：以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算在可行域内每个网格节点上的目标函数值，比较其大小，再以目标函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，并计算各节点上的目标函数值，直至网格小到满足精度——网格节点密度与离散点密度相等。开始时→网格比较稀疏→网格节点密度逐渐增加→直至按一个离散增量划分网格节点为止。2．离散变量型正交网格法普通网格法的缺点：变量维数增加时，计算工作量大大增加正交网格法基本思想：根据正交试验法的原理，利用正交表均匀地选取网格法中一部分有代表性的网格点作为计算点，又称随机正交网格法。正交网格法的特点：只计算部分网格点的目标函数值，计算工作量少。(五)离散变量的组合型法（MDCP法）

——工程离散优化通用方法基本思想：以离散复合形法为基础，采用多种离散搜索策略，形成的具有多种功能的组合型算法。适于求解非线性混合离散变量优化问题1．初始离散复合形顶点的形成复合形顶点数k=2n+1给定初始离散点x(0)，x(0)须满足变量值的边界条件，但不必满足约束条件，即式中，ximin，ximax分别为第i个变量的下、上限点号数分量号数复合形的2n+1个顶点按下面方法产生第1个顶点：第2至n+1个顶点：第n+2至2n+1个顶点：如此产生的复合形顶点，不要求全是可行点，如图，5个初始复合形顶点中，C、D两点为不可行点。例如二维：2、离散一维搜索产生新点将复合形顶点目标函数值排队，找出目标函数值最大的点为最坏点，x(b)以x(b)为基点，向其余各顶点的几何中心x(e)方向作一维搜索，采用映射、延伸或收缩等步骤搜索搜索方向S的各分量Si计算式为：离散一维搜索得到的新点为x(t)其各分量为：取离散一维搜索得到的新点为x(t)其各分量为：取其中表示取最靠近离散一维搜索方法可采用离散一维搜索进退对分法，步长为单位离散步长的整倍数。的离散值。T-步长因子在产生初始复合形顶点及一维离散搜索时，均未考虑约束条件，为保证复合形迭代限制在可行域内，定义一个有效目标函数EF(x)3．约束条件的处理式中，M——数量级比f(x)大得多的常数SUM——为一特殊函数，其值与所有违反约束量的总和成正比。常数如图所示为一维变量EF(x)的几何图形。若新点在可行域外，沿EF(x)的下降方向进行一维离散搜索时，搜索点会自动滑入深井内；当在可行域内搜索时，可行域的边界M犹如一堵高墙，一到边界就会被挡住。从而保证离散一维搜索始终在可行域内进行。4．离散变量组合形的调整（重新启动技术）当沿组合形的调优方向S得不到新点时，则需要调整组合形的形状。调整方法：

1）用次坏点（也可以是第2、3…坏的顶点）与其余顶点几何中心的连线方向取代原搜索方向继续进行调优迭代；

2）上述方法失败，则将每个顶点都向好点方向收缩1/3，构成新组合形继续进行迭代。5．组合型算法的终止准则在连续变量的复合形法中的收敛准则：复合形各顶点目标函数值与几何中心点目标函数值的均方根差小于某个很小的正数，或者复合形“边长”很小时。但在离散变量的组合形算法中，由于各个设计分量的离散增量差距较大，所以这两个准则均无效。

令第i个坐标方向上的长度为：取连续变量的精度值（或称拟增量）为εi，各离散变量的增量值为Δi。预先给定的一个期望个数EN(n/2≤EN≤n)。将di与Δi或εi进行比较，如满足di≤Δi

(或εi)的分量个数RN大于EN。

RN≥EN，则认为已经收敛。这时表明离散复合形各顶点坐标值不再产生有意义的变化，将最好顶点作为离散变量的优化解输出。机械优化设计第八章机械优化设计实例×前面我们较系统地学习了机械优化设计的理论和方法。本章将首先介绍机械优化设计中的注意事项和应用技巧；接着通过几个典型机械优化设计实例，来说明在解决一个工程实际优化问题时，建立优化设计数学模型、选择适当的优化方法、编程、最终得出复合要求的优化设计结果等问题第一节应用技巧一、机械优化设计的一般过程1）建立优化设计的数学模型2）选择适当的优化方法3）编写计算机程序4）准备必要的初始数据进行上机计算5）对计算机求得结果进行必要的分析优化方法的选择数学模型问题规模目标函数和约束函数的性态计算精度问题种类第一节应用技巧优化方法总的选用原则有以下几点：1、算法的通用性，即在一定精度要求下，是否对各种不同特性的优化问题都能获得成功。优化问题的特性一般表现在目标函数的性质上，例如：变量的数目、非线性的程度、各变量间的交互作用程度、是单峰还是多峰、是否利用梯度信息、初始点是否可以任选等。2、其次看计算目标函数的次数。在同样精度下，希望计算目标函数的次数越少越好。3、第三要看在同样精度的情况下，算法收敛所需的计算机时间，即：计算效率，当然越快越好。二、建立数学模型的基本原则在能够确切反映工程实际问题的基础上力求简洁1、设计变量的选择①设计参数的取舍——尽量减少设计变量的数目一个机械设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。为了进行机械产品设计，都要寻找并确定最佳的设计参数。这些参数中，有的可根据标准、规定等选定，在设计过程中始终保持不变，在优化设计中可认为是设计常量.例如：材料的机械性能参数状态参数：如功率、温度、应力、应变、挠度、压力、速度等可由设计对象的尺寸、载荷以及构件间的运动关系等计算得出②设计变量间应相互独立，否则会使目标函数出现“病态”——“山脊”，“沟谷”第一节应用技巧2、目标函数的确定目标函数——一项设计所追求的指标的数学反映要求：能够用来评价设计的优劣必须是设计变量的可计算函数第一节应用技巧1）、优化目标的选择：应当对所追求的各项指标进行细致分析，从中选择最重要、最具代表性的指标作为优化目标2）、优化指标矛盾的处理第一节应用技巧在机械设计中，可作为参考目标函数的有：一般机械：体积最小、重量最轻应力集中现象突出的构件：应力集中系数最小精密仪器：精度最高或误差最小若对机构的动态特性有专门要求，则应针对其动力学参数建立目标函数；对于要求再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹误差最小建立目标函数。

第一节应用技巧3、约束条件的确定约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件，也是设计变量的可计算函数。约束条件的分类1）性能约束：根据设计性能或指标要求而定的一种约束条件，例如：零件的强度、刚度、稳定性等2）边界约束：是对设计变量取值范围的限制。也称为侧面约束。例如齿轮的模数，齿数的上下限等。在性能约束中，又有复杂和简单之分约束函数有的很简单，可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，这类约束叫做显式约束。例如设计曲柄连杆机构时的曲柄存在约束条件有的只能表示成隐式形式，例如复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元或动力学计算求得，机构的运动误差要用数值积分来计算，这类约束叫做隐式约束。第一节应用技巧选择约束条件时应避免相互矛盾的约束，从而使可行域为空集，使问题无解；还要尽量减少不必要的约束，否则增加计算量，减小可行域的范围，影响寻优效果。第一节应用技巧三、数学模型的尺度变换在工程实际问题中，不同的设计变量，其量纲一般是不同的，数量集的差别往往也很大；在优化迭代中，这种差别对计算数值变化的灵敏性、收敛性、稳定性，都有不同程度的影响。为了提高优化收敛速度，提高计算稳定性，在机械优化设计中，常采用尺度变换措施。第一节应用技巧尺度变换——通过放大或缩小各坐标的比例尺，以达到改善数学模型性态，使之易于求解的技巧1、目标函数的尺度变换在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使函数性态恶化，此时，无论采用何种优化方法，其计算效率都不会高，而且计算稳定性差。这时就需要对目标函数进行尺度变换。第一节应用技巧尺度变换前的等值线图尺度变换后的等值线图2、设计变量的尺度变换——对设计变量进行重新标度，使它们称为无量纲和规格化的设计变量。方法：原设计变量尺度变换因子新设计变量第一节应用技巧尺度变换因子：3、约束函数的规格化——约束函数的尺度变换在机械优化设计中，约束条件都是根据工程实际问题拟定的，因此，约束函数值的数量级往往会相差很大。对于设计变量的微小变化，它们的灵敏度也完全不同，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到满足，灵敏度低的就很难满足，因此需要对数量级相差很大的约束条件进行尺度变换第一节应用技巧对于刚度、强度等性能约束，可建立如下约束条件：这样就使得各约束函数的取值范围都限制在[0,1]区间内，从而使搜索过程稳定进行并加快收敛速度。第二节机床主轴结构优化设计一、数学模型的建立

在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。

对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件。当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定。不作为设计变量。故设计变量取为机床主轴优化设计的目标函数为再确定约束条件在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数,其值按下式计算

刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可不考