考点巩固15 空间中的平行垂直与共线面问题(六大考点)2025年高考一轮复习(原卷)

高中数学精编资源2/2考点巩固卷15空间中的平行垂直与共线面问题（六大考点）考点01：判断平行与垂直的有关命题①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》 ②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》 ③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》 ④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》1．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，，则D．若，，则2．已知平面满足，下列结论正确的是（

）A．若直线，则或B．若直线，则与和相交C．若，则，且D．若直线过空间某个定点，则与成等角的直线有且仅有4条3．已知a，b是不同的直线，，是不同的平面，下列说法中正确的是（

）A．若，平面，则平面B．若平面，平面，则C．若平面，平面，平面平面，则D．若平面，平面，，则平面平面4．设是三个不同平面，且，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．下列说法正确的是（

）A．若直线l,m,n两两相交，则直线l,m,n共面B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个6．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则8．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．，，，则9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则考点02：空间中证明平行的五种思路方法一：中位线型：例1、如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：方法二：构造平行四边形例2、如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行例3、如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。例4、已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．例5．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。例6、如图=6\*GB2⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系．设，则，．因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面．11．正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC，，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（

）①点C与点B到平面AEF的距离相等；

②直线与平面AEF平行；③平面AEF截正方体所得的截面面积为；

④直线与直线EF所成的角的余弦值为.A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④12．如图，正方体中，M是的中点，则（

）A．直线与直线相交，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线AC异面，直线平面D．直线与直线垂直，直线∥平面13．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．14．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法不正确的是（

）A．点的轨迹是一条线段B．与是异面直线C．与不可能平行D．三棱锥F−ABD15．在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（

）A．平面PAM内任意一条直线都不与平行B．平面和平面的交线不与平面平行C．平面内存在无数条直线与平面PAM平行D．平面PAM和平面的交线不与平面平行16．如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（

）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定17．如图，在三棱柱中，点、、、分别为、、、的中点，G为的重心，从、、、中取一点作为使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则为（

）A．K B．H C．G D．18．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（

）A．与不可能平行B．与是异面直线C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值19．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则（

）A．直线都与平面平行B．直线都与平面相交C．直线与平面平行，直线与平面相交D．直线与平面相交，直线与平面平行20．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（

）A．直线和平面所成的角为定值B．点到平面的距离为定值C．异面直线和所成的角为定值D．直线和平面平行考点03：空间中异面直线垂直情况第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长第三步：利用余弦定理求出待求角第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求21．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．22．已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．23．下列说法正确的是（

）A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行C．若空间中四条不同的直线满足，则D．若为异面直线，平面平面，且与相交，若直线满足，则必平行于和的交线24．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．25．如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．26．如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（

）A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线27．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．717 B． C． D．28．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（

）

A．直线与是异面直线 B．平面平面C．该几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为29．已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（

）A． B． C． D．30．如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．考点04：空间中证明垂直的两种情况证明垂直：线线垂直线面垂直面面垂直必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系31．如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（

）①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④32．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．33．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点.下列说法正确的个数是（

）①直线与直线是异面直线；②若，则与一定不垂直；③若，则三棱锥的体积为；④三棱柱外接球的表面积的最大值为.A． B． C． D．34．已知四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱上的点，且.若点在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点的轨迹长度为（

）

A． B． C． D．35．在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．36．坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向与直线的最大夹角的度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°37．如图，正方体的棱长为，在棱上运动(不含端点)，则下列说法错误的是（

）A．为中点时，三棱锥体积不变B．平面与平面所成二面角为C．运动到的中点时，上存在点，使平面D．侧面中不存在直线与垂直38．如图，边长为3的正方形所在平面与矩形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．39．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）

A． B．4 C． D．40．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，、，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中四面体的体积为（

）．A． B．1 C． D．考点05：空间中多线共点处理技巧41．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点.42．如图，在直三棱柱中，，为线段上一点，平面交棱于点．(1)求证：直线共点；(2)若点为中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：三棱锥体积为；条件②：三棱柱的外接球半径为．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．43．如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．

(1)证明：直线BG，EF，共点；(2)当时，求二面角的余弦值．44．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．45．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，AB的中点．(1)求证：四边形EFCD1是梯形；(2)证明：直线D1E，DA，CF共点．46．如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：（1）四点共面；（2）直线共点.考点06：空间中点共面处理技巧经常利用三角形中位线性质和平行四边形性质模型1：如图，在四棱锥中，已知，，，，平面.如图，点分別为棱的中点，点为靠近的四等分点，求证：四点共面；破解：取中点，连接，为上靠近的四等分点，为中点，又为中点，；分别为中点，，又，，四边形为平行四边形，，又，，四点共面；47．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．(1)若，，求证：，，，四点共面；(2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．48．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面ABCD，．点E在线段PC上．(1)若，在PB上找一点F，使得E,F,A,D四点共面，并说明理由；(2)求点A到平面PBC的距离；(3)若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面