2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝x2通过平移，得到抛物线y＝x2+1，则该平移方式正确的是（）A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位3．（3分）在一次篮球比赛中，每两个班级进行一场比赛，如果一共进行55场，则参加篮球比赛的班级数为（）A．9个 B．10个 C．11个 D．12个4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝4，圆心O到AB的距离OC＝1，则⊙O的半径长为（）A．2 B．2 C． D．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根是0，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．06．（3分）李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm2的无盖工具箱，根据题意可列方程为（）A．100×60﹣4x2＝3200 B．100×60﹣4x2﹣（100+60）x＝3200 C．（100﹣x）（60﹣x）＝3200 D．（100﹣2x）（60﹣2x）＝32007．（3分）如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＜mx+n，则x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＜0或x＞3 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞38．（3分）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A． B． C．8 D．9．（3分）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝60°，则∠COD的度数（）A．60° B．45° C．70° D．90°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③16a+c＜0；④a+b+c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二.填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）求抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为．12．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则ab＝．13．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为m．14．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于．15．（3分）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．则小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式为．（提示：本题中，距离＝平均速度时间t，，其中，v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度．）三.解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．（7分）解下列方程：（1）2x2+1＝3x；（2）x2﹣2x﹣3＝0．17．（7分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．18．（7分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？四.解答题（二）：大题共3小题，每小题9分，共27分。19．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，．（1）求∠ADB的度数．（2）若AB＝2，，求AD的长度．20．（9分）阅读以下信息，探索完成任务．凤凰快讯1“乐学雷锋好榜样，爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动，同学们用自己的手工制作表达爱心，随着同学们的技术变得娴熟，该手工作品9月份生产100个，11月份生产144个．凤凰快讯2该手工作品的生产成本为30元/个，义卖一段时间后发现，当义卖价格为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上义卖价格每上涨1元，则月销售量将减少10个．问题解决任务1求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率；任务2若该月捐出善款（去除成本后）10000元，而且尽可能让更多的人能够献出爱心，请问该手工作品应该定价为多少元？21．（9分）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数≈0.618．”探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：．问题解决：（1）如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点A1，满足关系式＝A1B•AB．请你计算AA1的长度，并判断AA1的长度是否为黄金分割数．（2）如图2，若在线段AA1上再取一个点A2，满足＝A2A1•AA1；在线段AA2上取一点A3，＝A3A2•AA2，…以此类推，在线段AAn﹣1上取一点An满足＝AnAn﹣1•AAn﹣1．请你直接写出AAn的长度．五.解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）【知识技能】（1）如图1，点E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，若正方形边长为3，DE＝1，求EF的长．【数学理解】（2）如图2，点E是正方形ABCD内部一点，连接BE，CE，将△BCE绕点B逆时针方向旋转90度得到△BAF，延长CE交AF于点H，连接BH，请证明：．【拓展探索】（3）如图3，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，将△BCE绕点B逆时针旋转一周，当∠AEB＝45°时，求AE的长度．23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P．（1）小明在图1按要求已完成了①的作图，并确定了M1，M2，M3的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的P1，P2，P3，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想：曲线L的形状是．（2）对于曲线L上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是（x，y），试求出x，y满足的函数关系式．（3）点F坐标为（1，0），点G是曲线L上的一动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、F、G、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点，，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，直接写出点D的纵坐标y的取值范围．

2024-2025学年广东省珠海市香洲区凤凰中学九年级（上）期中数学试卷参考答案一.选择题，本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移1个单位即可得到抛物线y＝x2+1．故选：A．3．【解答】解：设参加篮球比赛的班级数为x个，由题意得：x（x﹣1）＝55，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），即参加篮球比赛的班级数为11个，故选：C．4．【解答】解：根据题意，OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝AB＝2，在Rt△AOC中，OA＝＝＝，即⊙O的半径长为．故选：C．5．【解答】解：把x＝0代入x2+2x+m﹣1＝0得m﹣1＝0，解得m＝1，即m的值为1．故选：A．6．【解答】解：根据题意得，裁剪后的底面的长为（100﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，∴（100﹣2x）（60﹣2x）＝3200．故选：D．7．【解答】解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），∴当0＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n．故选：A．8．【解答】解：如图，AB垂直平分OC，连接OA，∵AB平分OC，∴OH＝OC＝6，∴AH＝＝＝6，∵OC⊥AB，∴AB＝2AH＝12，∴垂半径等于12的圆中，直平分半径的弦长为12，故选：D．9．【解答】解：连接AO，BO，OE，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°，∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴∠ACO＝∠ECO，∠BDO＝∠EDO，∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠COE+∠EOD＝∠AOB＝60°．故选：A．10．【解答】解：①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故①错误，不符合题意；②抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；③抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣，则b＝﹣2a，当x＝4时，y＝ax2+bx+c＝16a+4b+c＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，∵a＜0，故16a+c＜0正确，符合题意；④当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＞0，正确，符合题意，故选：B．二.填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．【解答】解：把x＝0代入y＝x2﹣2x+1得y＝1，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；故答案为（0，1）．12．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴ab＝﹣3，故答案为：﹣3．13．【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2，得x＝±8，∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），∴AB＝16m．即水面宽度AB为16m．故答案为：16．14．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD＝BC＝1，AF＝FC′＝sin45°AC′＝AC′＝1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．故答案为：﹣1．15．【解答】解：由已知得vt＝0+1.6t＝1.6t，∴，∴，故答案为：s＝0.8t2．三.解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．【解答】解：（1）2x2+2＝3x，2x2﹣3x+2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝0，2x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1．17．【解答】解：（1）△AB1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．18．【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．四.解答题（二）：大题共3小题，每小题9分，共27分。19．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝45°；（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵＝，∴AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝＝．20．【解答】解：任务1：设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝144，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为20%；任务2：设该手工作品应该定价为y元，则每件的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y），根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝50，y2＝80，又∵要尽可能让更多的人能够献出爱心，∴y＝50．答：该手工作品应该定价为50元．21．【解答】解：（1）∵线段AB的长为1，线段AB上的点A1，满足关系式＝A1B•AB，设AA1＝x，则A1B＝1﹣x，∴x2＝（1﹣x）×1，解得或（舍去），∴AA1的长度为黄金分割数；（2）由（1）可得AA2的长是AA1的长的一个黄金分割数，即，AA3的长是AA2的长的一个黄金分割数，即，……以此类推，，由（1）可得，∴AAn＝．五.解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，正方形边长为3，∴BC＝CD＝AB＝3，∠ABC＝∠D＝∠C＝90°，根据旋转可得∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF＝1，∴∠ABF+∠ABC＝180°，CE＝3﹣1＝2，∴点F，B，C三点共线，∴FC＝4，∴；（2）证明：如图，在CE上截取CG＝AH，连接BG，根据旋转可得△AFB≌△CEB，∴∠1＝∠2，∵AH＝CG，∠1＝∠2，AB＝CB，∴△HAB≌△GCB（SAS），∴BH＝B