广东省广州市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

广东省广州市第三中学2024-2025学年高二第一学期10月月考数学本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.注意事项1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的．1．若复数满足，则的虚部是（） A． B．1 C． D．22．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，为点，则异面直线与所成角的余弦值为（） A． B． C． D．3．已知，则（） A． B． C． D．4．已知直线，，“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（） A． B． C． D．6．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D．7．点在直线上运动，，则的最大值是（） A． B． C．3 D．48．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为（） A． B． C． D．二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．9．直线的方程为：，则（） A．直线斜率必定存在 B．直线恒过定点 C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为 D．时直线的倾斜角为10．在空间直角坐标系中，点，，，则（） A． B．点关于轴的对称点坐标为 C．向量在上的投影向量为 D．点到直线的距离为11．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段内的动点（含端点），则（） A．平面 B．存在点，使得 C．平面与底面所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分．12．对任意的实数，直线所过的定点为.13．，与直线平行，则直线与的距离为.14．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15.（本题满分13分）已知直线，直线（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值16.（本题满分15分）某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；（2）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．17.（本题满分15分）如图，是圆的直径，平面面，且（1）求证：平面；（2）若，求直线与面所成角的正弦值．18.（本题满分17分）已知平面内两点．（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．（3）已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程．19.（本题满分17分）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．（1）证明：平面．（2）求点到平面的距离．（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．广东省广州市第三中学2024-2025学年高二第一学期10月月考数学参考答案一、单选题12345678DDDAAAAA二、多选题91011BCBCACD三、填空题12．13．14．四、解答题15．【详解】（1）因为，所以，整理得，解得或。当时，，，重合当时，，，符合题意，故.（2）因为，所以，解得或.16．【详解】（1）根据直方图知组距为，由，解得．数学成绩的众数是分．由，得平均数为分．所以众数是分，平均数为分；（2）成绩落在中的学生人数为，成绩落在中的学生人数为；记成绩落在中的人为，成绩落在中的人为，则从成绩在的学生中任选人的基本事件有共个，其中人的成绩都在中的事件有共个，故所求概率为．17．【详解】（1）证明：因为平面⊥平面，且，平面∩平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为是圆锥的直径，所以．因为，平面，所以平面．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，设，，，．则，．设平面的法向量为，则，即，得出．而，设直线与平面所成角为，则，计算得．所以直线与平面所成角的正弦值为．18．【详解】解：（1）因为，，可得，所以过点且与直线垂直的直线的方程为，即；（2）AB的中点坐标为，因为，因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为，且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为，即，所以点在直线上，设点，由可得：，解得或，所以点坐标为或，则直线AC的方程为或；（3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，故直线的斜率为，所求直线方程为，即．②当直线不过原点时，设其方程，由题意可得，又经过点，有，解得，，则方程为，即．故所求直线的方程为，或．19．【详解】（1）在中，，为的中点，∴．又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面．（2）在中，，，∴．在直角梯形中，为的中点，∴，．以为坐标原点，