二元一次方程和一次函数案例分析

二元一次方程和一次函数（一）教学案例分析前卫中学：潘莹一、教学目标：1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；2、在学生思考和操作中，理解把握二元一次方程的图象解法，培养学生数、形结合意识和能力。二、教学重点：二元一次方程和一次函数关系及二元一次方程的图象解法。三、教学难点：方程与函数之间的对应关系。四、教学过程：(一)回顾与思考[投影]

回忆：“x+y=5”是什么方程？它的解有多少个？你能说出它的几个解来吗？[投影]

操作：请画出一次函数y=5-x的图象，你是怎样画的？与同伴交流。（二）探究二元一次方程和一次函数图象之间关系[师

]满足关系式y=5-x的x，y所有对应点（x,y）在同一条直线上。这是真的吗？不妨，我们在电脑上来做一做。（电脑演示）

[投影]

思考2：满足关系式y=5-x的x，y所有对应的点（x,y）都在直线上。反之,是不是这条直线上的所有点的坐标都满足这个关系式呢?请举例验证。[师

]

再如，（电脑演示）在直线上任取两点A、B，它们所对应的点的坐标分别为将这两组值代入直线方程能使方程成立。由此我们得到如下结论：[投影]

结论：二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：。②反之，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。一次函数代数表达式与它的图象是一一对应的。（三）探索二元一次方程组的图象解法（应用结论）

[投影]

做做、说说：在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？交点坐标与方程组的解有什么关系？说说理由。[师

]指导同位同学分工合作：一个同学画图象，另一个同学解方程组。并进行小组交流讨[投影]

思考3：（1）两条直线在什么条件下组成相应的方程组无解？

（2）一个二元一次方程组对应一个解，反之，一个解只能对应一个二元一次方程组吗？为什么？[投影]

解二元一次方程组新的方法———图象法。

[投影]

例题：

用作图象的方法解方程组[

师]

用图象法解二元一次方程组，应该分几个步骤进行？

[投影]

解：由可得同理，由，可得在同一直角坐标系内作出一次函数的图象l1和的图象l2，如图所示，观察图象，得l1，l2的交点为P（2，2）。（四）巩固练习1、用作图象的方法解下列方程组：(1)

（2）2、下图中的两直线l1，l2交点坐标可以看作方程组

的解。[师]

此题与第一道题相比，有什么不同？

[师]

根据前面所学，如果我们能求出这两条直线的函数表达方式，那么它们所对应的方程组也就被确定了。根据图象，能求出它们的函数表达式吗？3、如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）匀速行走的路程S与时间T的关系，观察图象并回答下列问题。

(1)乙出发时,与甲相距

千米;

(2)走了一段路程后,乙的自行车发生故障,停下来修理,修车的时间为

时;(3)乙从出发起,经过

时与甲相遇;(4)甲行走的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数关系式是

；[提问]第②小题：你是怎样看的？第③小题：什么？为（师画线段图加以解释）第④小题：如何求？第⑤小题：“不出故障”意味什么？它的图象应该是什么样子？由图象直接得到的解是什么？此解精确吗？要想得到精确的解，如何做？

[投影]讨论：二元一次方程组图象解法与代数解法，哪一种方法优越？在实际情境中如何选择的？（五）探究活动（六）小结收获（七）课后书面作业

七、教学反思

这节课以“回顾、联想”为先导，以“操作、思考”为手段，以“数、形结合”为要求，以“引导探究”为主线，处处呈现出师生互动、生生互动的景象，较好地体现了新的课程理念与要求。具体地说：（一）从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。教学一开始，首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的个数，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备；接着对方程进行变形，巧设一个“联想”自然转换到一次函数，并对一次函数图象画法的讨论，进入新课第一个环节———探究二元一次方程与一次函数的关系。结构安排自然、紧凑。（二）在操作中，提出问题、深化认识。一切知识来自于实践。只有实践，才能发现问题、提出问题；只有实践，才能把握知识、深化认识。为此，教者先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：“以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。”接着引导学生反思：“一次函数图象上的点坐标都适合相应的二元一次方程吗？”通过举例，验证了自己的猜想，得出了结论。同样，在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会；使他们在自主探索、合作交流中找到了快乐，深化了认识。（三）以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。能力培养是以自主探究为平台。“自主”不是一盘散沙，“探究”不是漫无边际。要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。为达到这一目的，教案中设计了“联想”“反思”和三个“思材是个案不是教案。新课程理念指出：教师是课程的